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文檔簡介
1.2量子力學(xué)基本假設(shè)
微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)表示法----波函數(shù)
力學(xué)量和算符本征態(tài)、本征值和Schrodinger方程態(tài)疊加原理保里原理微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)表示法----波函數(shù)
比較經(jīng)典物理波(電磁波)和物質(zhì)波
波電磁波物質(zhì)波(幾率波)定義反映空間各點(diǎn)電場(磁場)強(qiáng)度的分布反映實(shí)物微粒在空間各點(diǎn)的幾率密度分布
波函數(shù)U(x,y,z,t)—表示t時(shí)刻在(x,y,z)點(diǎn)的電場(或磁場)強(qiáng)度。
Ψ(x,y,z,t):表示物質(zhì)波的一種運(yùn)動(dòng)狀態(tài),沒有具體的物理意義波函數(shù)的平方[U(x,y,z,t)]2∝t時(shí)刻在(x,y,z,)點(diǎn)的波強(qiáng)
[Ψ(x,y,z,t)]2∝t時(shí)刻在(x,y,z,)點(diǎn)的波強(qiáng)∝t時(shí)刻該點(diǎn)微粒出現(xiàn)的幾率密度
量子力學(xué)假設(shè)Ⅰ
對于一個(gè)微觀體系,它的狀態(tài)和有關(guān)情況可用波函數(shù)Ψ(x,y,z,t)表示。波函數(shù)Ψ是關(guān)于坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。對含一個(gè)粒子的體系,可用Ψ(x,y,z,t)表示;對含兩個(gè)粒子的體系,應(yīng)包含兩個(gè)粒子的坐標(biāo)變量,用Ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2,t)表示。對定態(tài)的原子、分子體系,能量有確定值(能量不隨時(shí)間而變);故用Ψ(x,y,z)或表示,稱為定態(tài)波函數(shù)。
∣Ψ∣2∝幾率密度
Ψ可以是實(shí)數(shù),也可以是復(fù)數(shù)。如Ψ=a+bi則Ψ*=a–bi所以∣Ψ∣2=Ψ*Ψ=a2+b2
因此∣Ψ∣2為實(shí)數(shù)
因?yàn)楱OΨ∣2∝幾率密度
所以K∣Ψ∣2=幾率密度粒子在微體積元dτ(dτ=dx?dy?dz)中出現(xiàn)的幾率:K∣Ψ∣2dτ粒子在體積τ中出現(xiàn)幾率=∫τK∣Ψ∣2dτ粒子在全空間出現(xiàn)的幾率=∫∞K∣Ψ∣2dτ=1所以K=1/∫∞K∣Ψ∣2dτ當(dāng)∫∞K∣Ψ∣2dτ=1時(shí),稱歸一化條件此時(shí)K=1,即∫∞∣Ψ∣2dτ=1時(shí),Ψ稱歸一化函數(shù)。注意:“幾率”與“幾率密度”區(qū)別:幾率密度:與體積無關(guān)密度幾率:與體積有關(guān)
質(zhì)量合格波函數(shù)的性質(zhì)
波函數(shù)必須是連續(xù)的;波函數(shù)必須是單值的;波函數(shù)必須是有限的。特性:ψ與cψ描述同一個(gè)狀態(tài)(c是常數(shù))。因?yàn)槌松舷禂?shù)c后,粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率密度不變,而粒子在全空間出現(xiàn)的幾率最大值為1,所以粒子在各體積元的幾率也不變。所以粒子所處的物理狀態(tài)不變。力學(xué)量和算符
假設(shè)Ⅱ:對一個(gè)微觀體系的每個(gè)可觀測的力學(xué)量都對應(yīng)著一個(gè)線性自軛算符。算符:作用于一個(gè)函數(shù)而得到另一個(gè)函數(shù)的運(yùn)算符號(hào)。
如d/dx,sin,log等,可用英文字母加上角號(hào)“∧”表示。如?表示算符。?f1=f2f1、f2是函數(shù)如?=d/dx,f1=6x2–2x則?f1=d(6x2–2x)/dx=12x–2=f2線性自軛算符線性算符:若?(Ψ1+Ψ2)=?Ψ1+?Ψ2則稱?為線性算符。自軛算符(厄米算符、厄米爾算符):若∫Ψ1*?Ψ1dτ=∫Ψ1(?Ψ1)*dτ或∫Ψ1*?Ψ2dτ=∫Ψ2(?Ψ1)*dτ則稱?為自厄算符。量子力學(xué)采用線性自厄算符,可使算符對應(yīng)的物理量的值為實(shí)數(shù)。表1·1若干力學(xué)量及其算符
力學(xué)量算符位置(坐標(biāo))x,y,z勢能V,時(shí)間t
動(dòng)量分量Px,Py,PZ動(dòng)能T=P2/2m角動(dòng)量z軸分量Mz
總能E=T+V
其他物理量算符的求法將物理量的表達(dá)式寫成關(guān)于時(shí)間、坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù)如Q(x,y,z,t,Px,Py,PZ)把表達(dá)式中的動(dòng)量換成其算符的形式,即可得到物理量對應(yīng)的算符。Q(x,y,z,t,Px,Py,PZ)→本征態(tài)、本征值和
Schrodinger方程
假設(shè)Ⅲ:若力學(xué)量A的算符?作用與某一狀態(tài)函數(shù)Ψ后,得到常數(shù)a乘以Ψ,即?Ψ=aΨ則該狀態(tài)(Ψ)下,a稱為算符?的本征值,力學(xué)量A具有確定值a,狀態(tài)函數(shù)Ψ稱為?的本征函數(shù)或本征態(tài)。方程稱為本征方程。這一假定把量子力學(xué)的計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測量值溝通起來。定態(tài)薜定格Schrodinger方程把能量算符作用到定態(tài)波函數(shù)上,也可以得到本征方程:(1)(2)(3)這就是定態(tài)薜定格方程,它描述了定態(tài)下實(shí)物微粒的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。定態(tài):幾率密度、能量不隨時(shí)間而變化的狀態(tài)。意義:對于一個(gè)質(zhì)量為m的粒子,當(dāng)處于位能為V的場中運(yùn)動(dòng)時(shí),它的每一個(gè)定態(tài)可以用滿足這個(gè)方程合理解的波函數(shù)Ψ來描述,與每一個(gè)Ψ相對應(yīng)的本征值E就是粒子處在該定態(tài)時(shí)的總能量。含時(shí)的薜定格Schrodinger方程非定態(tài)采用含時(shí)的Schrodinger方程:或本書僅要求學(xué)習(xí)定態(tài)薛定格方程。本征函數(shù)的正交歸一性
若某一體系存在n個(gè)狀態(tài)Ψ1,Ψ2,……,Ψn,則這狀態(tài)波函數(shù)之間滿足正交歸一性。
歸一性:∫Ψi*?Ψidτ=1
反映粒子在全空間出現(xiàn)的幾率為1。正交性:∫Ψi*?Ψjdτ=0
由波函數(shù)對稱性所決定。態(tài)疊加原理
假設(shè)Ⅳ:若ψ1,ψ2,……,ψn為某一微觀體系的可能狀態(tài),由它們線性組合所得的Ψ也是體系可能存在的狀態(tài)。Ψ=C1ψ1+C2ψ2+……+CNψn=∑Ciψi
式中C1,C2,C3,……,Cn為任意常數(shù)。系數(shù)絕對值的大小,反映ψi對Ψ的貢獻(xiàn)大小。例如原子中的電子可能以S軌道存在,也可能以P軌道存在,將S和P的波函數(shù)進(jìn)行線性組合,所得的雜化軌道(SPn)也是該電子可能存在的狀態(tài)。力學(xué)量的平均值
本征態(tài)的力學(xué)量的平均值(確定值)設(shè)某一物理量A在Ψ狀態(tài)下對應(yīng)的本征值分別為a,物理量A的平均值為:
ā=∫Ψ*?Ψdτ=a
非本征態(tài)的力學(xué)量的平均值若狀態(tài)Ψ不是力學(xué)量A的算符?的本征態(tài),則?Ψ≠aΨ這時(shí)力學(xué)量A沒有確定值,只能求平均值:
Ψ=∫Ψ*?Ψdτ(Ψ已歸一化)
非本征態(tài)的力學(xué)量的平均值
設(shè)某一物理量A對應(yīng)的狀態(tài)Ψ為非本征態(tài),根據(jù)態(tài)疊加原理,可以展開為n個(gè)本征態(tài)ψ1,ψ2,……,ψn的線性組合,若ψ
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