材料力學(xué)練習(xí)題

第二章軸向拉伸與壓縮一、拉、壓桿的應(yīng)力和變形計算1、拉、壓桿的內(nèi)力為沿桿件軸線的力，故稱為軸力(axialforce)，記為FN

。內(nèi)力符號：拉為正，壓為負。軸力圖：2、橫截面上的應(yīng)力：橫截面上的應(yīng)力是均勻分布的。FNF3、軸向拉伸或壓縮時的強度計算許用應(yīng)力(Allowablestress)——等直桿：2設(shè)計截面：1強度校核：3確定許可載荷：

解決三類問題：安全經(jīng)濟的原則：σmax不超過[σ]的5%。縱向絕對變形量:縱向線應(yīng)變:虎克定律:FN,l一定時，EA值愈大，變形愈小，因此，EA值反映了桿件抵抗拉伸(或壓縮)變形的能力，稱之為桿件的抗拉剛度。4、拉伸或壓縮時的變形一、縱向變形和線應(yīng)變橫向絕對變形為：由試驗可知：ν為材料的橫向變形系數(shù)或泊松比

⑵應(yīng)力不超過比例極限時：二、橫向變形和線應(yīng)變⑴

二橫向線應(yīng)變相等，二、拉壓超靜定問題

１超靜定次數(shù)n：n=未知力數(shù)－獨立的平衡方程數(shù)２超靜定問題的解題方法步驟：

(1)靜力學(xué)關(guān)系－－列靜力平衡方程

(2)幾何關(guān)系（變形協(xié)調(diào)條件）－－列幾何方程

(3)物理關(guān)系（胡克定律）－－列物理方程

(4)補充方程：由幾何方程和物理方程得到

(5)解由平衡方程和補充方程組成的方程組。(3)裝配應(yīng)力:桿件尺寸誤差引起的應(yīng)力。(2)溫度應(yīng)力(1)拉壓超靜定問題[例2-1]變截面圓鋼桿ABCD。已知F1=20KN，F(xiàn)2=35KN，F(xiàn)3=35KN

，l1=l3=300mm，l2=400mm

，d1=12mm，d2=16mm

，d3=24mm，E=210GPa，試求（1）作AD桿的軸力圖；（2）桿的最大正應(yīng)力max；(3)B截面的軸向位移△B及AD桿的伸長△lAD。F3

l1ABCDF1

F2

l3l2d1

d2

d3

20KN15KN50KNFN

－+

（1）軸力圖（2）桿的最大正應(yīng)力max求全桿總變形（縮短）求B截面的位移BC段AB段CD段(3)B截面的軸向位移△B及AD桿的伸長△lAD。[例2-2]剛性梁ABC由圓桿CD懸掛在C點，B端作用集中載荷F=25kN，已知CD桿的直徑d=20mm，許用應(yīng)力[σ]=160MPa。試校核CD桿的強度。并求：1.結(jié)構(gòu)的許用載荷[F]；

2.若F=50KN，設(shè)計CD桿的直徑d。2aaFABCDdFNCD

FABCＦAx

ＦAy

解：取剛性梁為研究對象。1.結(jié)構(gòu)的許用載荷[F]

2.若F=50KN，設(shè)計CD桿的直徑d。根據(jù)強度條件：取d=25mmABCDQ

鋼絲

鋁絲

=30°=30°[例2-3]重物Q由鋁絲CD懸掛在鋼絲AB之中點C，已知鋁絲直徑d1=2mm，許用應(yīng)力[σ]1=100MPa,鋼絲直徑d2=1mm,許用應(yīng)力[σ]2=240MPa，且=30°，試求許用載荷[Q]。解：1設(shè)鋁絲軸力FN1；鋼絲軸力FN22求許可載荷

當鋁絲達到許用應(yīng)力時當鋼絲達到許用應(yīng)力時許可載荷Q=188N。

即，當時，許可載荷Q=314N。為提高結(jié)構(gòu)承載能力，應(yīng)減少鋼絲的受力。在之間，鋼絲受力隨角的增加而減小。當時，拉壓[例2-6-1]一階梯軸鋼桿如圖，AB段A1＝200mm2，BC和CD段截面積相同A2＝A3＝500mm2；l1=l2=l3=100mm。荷載F1＝20kN，F(xiàn)2＝40kN，彈性模量E＝200GPa。試求：(1)各段的軸向變形；(2)全桿AD的總變形；(3)A和B截面的位移。解：(1)求各段軸力，作軸力圖(2)求各段變形BC段AB段+-20kN20kNF1F2ADCB332211拉壓(3)求全桿總變形（縮短）(4)求A和B截面的位移CD段F1F2ADCB332211解:由（1）、（2）式得作桿軸力圖。[例2-４]作圖示等直桿的軸力圖。F2FF2FFAFBFN

－+

[例2-5]

剛性梁AB如圖。桿1、2的截面積和彈性模量分別為A1、A2；E1、E2。求各桿內(nèi)力。解：1)以剛性梁為研究對象，列靜力平衡方程：2)變形幾何協(xié)調(diào)條件:

FABaaal12FAyF1F2FABFAx3)力與變形間的物理關(guān)系：聯(lián)解上各式得：即增加桿1后，桿2內(nèi)力減小，變形Δl2減小，梁轉(zhuǎn)過的角度也減小，故：靜不定結(jié)構(gòu)可減小構(gòu)件內(nèi)力，減小結(jié)構(gòu)變形。（4）若去掉桿1，成為靜定結(jié)構(gòu)，則：討論:（1）若二桿抗拉剛度相同，即

E1A1=E2A2=EA，則（2）若E1A1>>E2A2，則（3）若E1A1<<E2A2，則FABaaal12FAyF1F2FAx[例2---7]如圖剛性梁懸掛于3根平行桿上，l＝2m,F＝40kN，a=1.5m，b=1m，c=0.25m，δ＝0.2mm。1桿由黃銅制成，A1=2cm2，E1=100GPa，

。2桿和3桿由碳鋼制成，A2=1cm2，A3=3cm2，E2=E3=200GPa，。設(shè)溫度升高20℃，試求各桿應(yīng)力。F123baδlcAB解：分析，各桿中即有由外載荷F引起的應(yīng)力，也有裝配應(yīng)力，還有溫度應(yīng)力。設(shè)三桿最終變形分別為Δl1、Δl2、Δl3

。取剛性梁為研究對象，受力如圖所示。(1)

列靜力平衡方程:F123baδlcABFABFN1FN3FN2Δl1Δl2－δΔl3(2)

幾何方程:(3)

物理方程:聯(lián)解（1）－（6）式得:（4）三桿應(yīng)力分別為:P的單位為kW，n的單位r/min一、外力偶矩的計算；P的單位為Ps，n的單位r/min扭矩、扭矩圖扭矩的符號規(guī)定：右手拇指指向外法線方向為正(+),反之為負(-)MTxxaaMxaa右手螺旋法則正(+)正(+)第四章扭轉(zhuǎn)(Torsion)

（1）剪應(yīng)力互等定理：acddxbdy′′tz在單元體相互垂直的兩個截面上，剪應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩個面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。二、圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與變形剪切虎克定律：當剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時（≤p)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比。（2）剪切虎克定律：各向同性材料：p（3）等直圓桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力實心圓截面：空心圓截面：（4）等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形GIp—截面的抗扭剛度2.單位扭轉(zhuǎn)角：1.相對扭轉(zhuǎn)角

：等截面圓軸：([]稱為許用剪應(yīng)力)強度條件：（1）強度條件：三、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度、剛度條件（2）剛度條件：[]稱為單位長度許用扭轉(zhuǎn)角。[例4.1]某傳動軸轉(zhuǎn)速n=200r/min，軸上裝有5個輪子，主動輪2輸入的功率為60KW，從動輪1，3，4，5，依次分別輸出18KW，12KW，22KW和8KW。作軸的扭矩圖。解:[例4.1]某傳動軸轉(zhuǎn)速n=200r/min，軸上裝有5個輪子，主動輪2輸入的功率為60KW，從動輪1，3，4，5，依次分別輸出18KW，12KW，22KW和8KW。作軸的扭矩圖。－+

1400N·m300N·mlABCl[例4.2]

一傳動軸如圖所示。作用在主動輪A上的外力偶矩MeA＝1700Nm，作用在從動輪B、C上的外力偶矩MeB＝1400Nm，MeC＝300Nm,BA段和AC段的長度

l=1.5m,傳動軸的直徑d=50mm，材料的剪切彈性模量G=80GPa。計算軸的最大剪應(yīng)力及C截面相對B截面的扭轉(zhuǎn)角。解：(1）求出各段扭矩，并畫扭矩圖如下。1400N·m300N·mlABCl（2）∵等截面，又BA段有最大扭矩

∴τmax發(fā)生在BA段的外邊緣各點1400N·m300N·mlABCl（3）求C截面對A、B截面的相對扭轉(zhuǎn)角[例4.3]

如圖所示的空心圓軸，外徑D＝100mm，內(nèi)徑d=80mm,l=500mm,M1=6kNm,

M2=4kNm,G=80GPa。(1)繪軸的扭矩圖；（2）求τmax,并指出其位置；（3）求C截面對A、B截面的相對扭轉(zhuǎn)角。llM1M2ACB解：(1）用截面法求出各段扭矩，并畫扭矩圖如下。（2）∵等截面，又BC段有最大扭矩

∴τmax發(fā)生在BC段的外邊緣各點＋-4kN·m2kN·mllM1M2ACB（3）求C截面對A、B截面的相對扭轉(zhuǎn)角＋-4kN·m2kN·m[例4.4]圓截面橡膠棒的直徑d=40mm,受扭后,原來表面上的圓周線和縱向線間夾角由900變?yōu)?80。若桿長l=300mm，試求兩端截面間的扭轉(zhuǎn)角；若材料的剪切彈性模量G=2.7MPa，試求桿橫截面上最大剪應(yīng)力和桿端的外力偶矩Me。解：由[例4.5]

傳動軸直徑d=3cm，受力如圖。材料的剪切彈性模量G=80GPa，許用剪應(yīng)力

[]=40MPa,[θ]=1.8°/m。試校核軸的強度和剛度。解：(1)求扭矩并畫扭矩圖(2)強度校核(3)剛度校核90Nm270Nm180Nm+-90Nm180Nm∴由（1）、（2）知強度和剛度均符合條件。[例4.6]傳動軸傳遞外力偶矩Me＝5kN·m，材料的[τ]=30MPa，G=80GPa，[θ]=0.50/m，試選擇軸的直徑d。解：（1）強度條件：（2）剛度條件：故取軸的直徑d＝95mm。ⅠⅡⅢ[例4.7]階梯形圓軸直徑d1=4cm，d2=7cm，軸上裝有個3皮帶輪，已知由輪Ⅲ輸入的功率Pk3＝30KW，輪Ⅰ輸出的功率PK1＝13KW，軸作勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速n＝200r/min，材料的剪切彈性模量G=80GPa，[]=60MPa，[]=2o/m，試校核軸的強度和剛度。1432.35Nm620.685NmT解:

(1)作扭矩圖(2)強度計算：只需校核AC段和DB段(3)剛度計算：1432.35Nm620.685NmT軸滿足強度和剛度條件[例4.9]長為l=2m的圓軸受均布力偶m=20Nm/m的作用，若軸的內(nèi)外徑之比為

=0.8，G=80GPa，許用剪應(yīng)力[]=30MPa，試設(shè)計軸的外徑；若[]=2o/m，試校核此軸的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。解:

(1)設(shè)計軸的外徑T40Nm畫軸的扭矩圖如下(2)校核剛度T40Nm(3)右端面轉(zhuǎn)角：內(nèi)力的正負規(guī)定:①剪力FS:繞研究對象順時針轉(zhuǎn)為正；反之為負。左上右下的FS為正，反之相反。②彎矩M：使梁變成凹形的彎矩為正；使梁變成凸形的彎矩為負。左順右逆的M為正，反之相反。

FS(–)FS(–)FS(+)FS(+)M(+)M(+)M(–)M(–)二、彎曲內(nèi)力——剪力和彎矩彎曲內(nèi)力平面彎曲：當所有外力(或者外力的合力)作用于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時，桿件的軸線在對稱面內(nèi)彎曲成一條平面曲線。

一、平面彎曲的概念另外還可以直接利用外力簡化法求解內(nèi)力。內(nèi)力與外力之間的大小關(guān)系規(guī)律：（1）橫截面上的剪力在數(shù)值上等于該截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上所有外力在軸線垂直方向投影的代數(shù)和。（2）橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上所有外力對截面形心取矩的代數(shù)和。內(nèi)力符號與外力方向之間的關(guān)系規(guī)律：（1）“左上右下”的外力引起正值剪力，反之則相反。（2）“左順右逆”的外力偶引起正值彎矩，反之則相反。（3）所有向上的外力均引起正值彎矩，反之則相反。四、荷載集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系三、剪力、彎矩方程和剪力、彎矩圖FSF1Meq<0CBAq>0DFEGHF2FAFEM1.

無荷載段：2.有荷載段q：

FS圖水平直線或為0q>0：上升斜直線q<0：下降斜直線上凸曲線

M圖斜直線或水平線下凸曲線q(x)向上為正q(x)向上為正3.力F作用點處4.力偶Me作用點處FS圖突變不受影響M圖折點突變5.q起點及終點處不受影響相切6.彎矩最大絕對值處：FS＝0或集中力作用截面處或集中力偶作用處F1Meq<0CBAq>0DFEGHF2FAFEMFS作圖步驟1.求支座反力，2.分段描述：判斷各段形狀（水平線、斜直線、曲線），分段原則：集中力、集中力偶、支座、分布荷載起點及終點處3.求每一段控制截面的FS、M值，4.按規(guī)律連線。

[例4-4]圖示外伸梁,q=3KN/m,Me=3KNm，試作剪力圖和彎矩圖.CABD2mqMe4m2m解：支座反力FS6KNM6.04kNm－+－+－8.5KN7kNm6kNm4kNm4.83m3.5KN

[例4-5]圖示外伸梁,q=2KN/m,Me=10KNm，F(xiàn)=2KN，試作剪力圖和彎矩圖.解：支座反力CABD2mqMe4m2mFS5KN－+1.5m2KN3KN+M6kNm4kNm4kNm2.25kNm+－+－aaqABCMqa2/2qa2/2qaqa/2qa/2[例5-4]

試作圖示剛架的彎矩圖。aaqABCMqa/2qa/2[例5-5]

試作圖示剛架的彎矩圖。[例5-6]

試作圖示剛架的彎矩圖。[例5-8]

試作圖示剛架的彎矩圖。[例5-11]

試作圖示剛架的彎矩圖。lABDl/3C2l/3l/3Eq解：FAFBFD1、二、作圖題aaaFaFFFSM－FFa彎曲內(nèi)力2、qFSMaa2a2qa2qa2qa5qa2qa3qaqa2qa22qa2－+彎曲內(nèi)力－+3、FSMqa/2－+qqa2/2qaaqa/2qa/2qa/2qaqa2/2qa2/8彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力4、qaqqa2/2aaaqaqaFSqaqaMqa2/2qa2/2－+－+彎曲內(nèi)力5、2qaqaa5qa/47qa/4FS－+7qa/43qa/45qa/4M5qa2/4+作圖示梁的內(nèi)力圖例題4.9kNkNm4.51.55.5kNkNm例題4.10用直接法作圖示梁的內(nèi)力圖例題4.11kNmkNσ符號：拉為正，壓為負。zyxM一、平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力第六章彎曲應(yīng)力最大正應(yīng)力：抗彎截面模量

D對于跨高比l/h>5梁，剪力Fs的影響很小，可推廣使用純彎曲梁的正應(yīng)力公式。橫力彎曲：平面假設(shè)和單向受力假設(shè)不再成立。梁的橫截面不對稱于z

軸(中性軸)：y1y2yzM若則強度校核:

載荷設(shè)計:

截面設(shè)計:

二、彎曲正應(yīng)力的強度條件若則且zxbhy一、矩形截面梁1．彎曲剪應(yīng)力分布假設(shè)(1)方向均與剪力Fs的方向平行(2)沿矩形截面的寬度均勻分布Fsτdd1y三、彎曲剪應(yīng)力剪應(yīng)力互等定理：b─所求剪應(yīng)力處橫截面的寬度；Sz*為距中性軸為y的橫線以下(或以上)的面積對中性軸z

的靜矩。67y1dy1h/2bh/2zyy3．剪應(yīng)力沿截面高度的變化規(guī)律y

=0，中性軸上：例：

已知

l=1m，q=6kN/m，10號槽鋼。求最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。解：（1）作彎矩圖（2）由型鋼表查得，10號槽鋼（3）求最大應(yīng)力[例6-1]受均布載荷作用的簡支梁如圖，試求：（1）1-1截面上1、2兩點的正應(yīng)力；（2）1-1截面上的最大正應(yīng)力；（3）全梁的最大正應(yīng)力；（4）已知E=200GPa，求1-1截面的曲率半徑。解：畫M圖：1120180302yz20ql2/8M+q=60kN/m

1m2m11BA求應(yīng)力求曲率半徑1120180302yz20q=60kN/m

1m2m11BA67.560(kNm)M+[例6-2]鋼板尺厚0.8mm，長252mm，彈性模量E=200GPa。求當鋼板尺彎成π/3圓弧時，鋼板尺內(nèi)的最大正應(yīng)力。解：[例6-3]如圖所示圓軸，在A、B兩處的軸承可簡化為鉸支座，軸的外伸部分是空心圓軸。試求軸內(nèi)的最大正應(yīng)力。解：(1)求支反力，并畫彎矩圖

RA=2.93kN;RB=5.07kN(2)計算抗彎截面模量實心圓軸Wz

：危險截面可能在C、B截面空心圓軸Wz’：ABC5kN3kN4003001000φ60φ43RARB-+0.90kNm1.17kNmM(3)計算最大正應(yīng)力C截面的最大正應(yīng)力：B截面的最大正應(yīng)力：軸的最大正應(yīng)力發(fā)生在B截面處，其值為57.7MPa。最大彎曲正應(yīng)力不一定發(fā)生在彎矩最大的截面上，即彎矩最大的截面不一定是危險截面。ABC5kN3kN4003001000φ60φ43RARB-+0.90kNm1.17kNmM

長為2.5m的工字鋼外伸梁，如圖示，其外伸部分為0.5m，梁上承受均布荷載，q=30kN/m，試選擇工字鋼型號。已知工字鋼抗彎強度［σ］=215MPa。kNkNm查表N012.6工字鋼WZ=77.5cm3練習(xí)6.4例：20a工字鋼梁。若，試求許可荷載

F

。FAFB解：（1）計算支反力（2）作彎矩圖（3）確定許可荷載

鑄鐵制作的懸臂梁，尺寸及受力如圖示，圖中F＝20kN。梁的截面為T字形，形心坐標yc=96.4mm。已知材料的拉伸許用應(yīng)力和壓縮許用應(yīng)力分別為[σ]+＝40MPa，[σ]－＝100MPa。試校核梁的強度是否安全。AB練習(xí)6.6

為了起吊重量為F＝300kN的大型設(shè)備，采用一臺150kN和一臺200kN的吊車，以及一根工字形軋制型鋼作為輔助梁，組成臨時的附加懸掛系統(tǒng)，如圖示。如果已知輔助梁的長度l=4m，型鋼材料的許用應(yīng)力[σ]＝160MPa

，試計算：1.F加在輔助梁的什么位置，才能保證兩臺吊車都不超載？2.輔助梁應(yīng)該選擇多大型號的工字鋼？輔助梁1.確定F加在輔助梁的位置FAFB令:練習(xí)6.7

為了起吊重量為F＝300kN的大型設(shè)備，采用一臺150kN和一臺200kN的吊車，以及一根工字形軋制型鋼作為輔助梁，組成臨時的附加懸掛系統(tǒng)，如圖示。如果已知輔助梁的長度l=4m，型鋼材料的許用應(yīng)力[σ]＝160MPa

，試計算：1.F加在輔助梁的什么位置，才能保證兩臺吊車都不超載？2.輔助梁應(yīng)該選擇多大型號的工字鋼？輔助梁FAFB％％2.確定工字鋼型號

承受相同彎矩Mz的三根直梁，其截面組成方式如圖所示。圖（a）的截面為一整體；圖（b）的截面由兩矩形截面并列而成（未粘接）；圖（c）的截面有兩矩形截面上下疊合而成（未粘接）。三根梁中的最大正應(yīng)力分別為σmax（a）、σmax（b）、σmax（c）。關(guān)于三者之間的關(guān)系有四種答案，試判斷哪一種是正確的。練習(xí)6.12(a)(b)(c)zzzzB[例6-4]

T形截面鑄鐵梁，許用拉應(yīng)力[]+=30MPa，許用壓應(yīng)力為[]-=60MPa。已知中性軸位置y1=52mm