高中數(shù)學人教A版本冊總復習總復習 章末綜合測評2

章末綜合測評(一)集合與函數(shù)的概念(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．(2023·杭州模擬)設(shè)全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，則?U(A∪B)等于()A．{1,4} B．{1,5}C．{2,5} D．{2,4}【解析】由題意得A∪B＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U＝{1,2,3,4,5}，∴?U(A∪B)＝{2,4}．【答案】D2．(2023·臨沂高一檢測)下列各式：①1∈{0,1,2}；②??{0,1,2}；③{1}∈{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}，其中錯誤的個數(shù)是()A．1個 B．2個C．3個 D．4個【解析】①1∈{0,1,2}，元素與集合之間用屬于符號，故正確；②??{0,1,2}，空集是任何集合的子集，正確；③{1}∈{0,1,2}，集合與集合之間不能用屬于符號，故不正確；④{0,1,2}＝{2,0,1}，根據(jù)集合的無序性可知正確．故選A.【答案】A3．下列各圖形中，是函數(shù)的圖象的是()【解析】函數(shù)y＝f(x)中，對每一個x值，只能有唯一的y與之對應，∴函數(shù)y＝f(x)的圖象與平行于y軸的直線最多只能有一個交點，故A，B，C均不正確，故選D.【答案】D4．集合A＝{x|y＝eq\r(x－1)}，B＝{y|y＝x2＋2}，則如圖1陰影部分表示的集合為()【導學號：97030070】圖1A．{x|x≥1} B．{x|x≥2}C．{x|1≤x≤2} D．{x|1≤x＜2}【解析】易得A＝[1，＋∞)，B＝[2，＋∞)，則題圖中陰影部分表示的集合是?AB＝[1,2)．故選D.【答案】D5．已知函數(shù)f(2x＋1)＝3x＋2，則f(1)的值等于()A．2 B．11C．5 D．－1【解析】由f(2x＋1)＝3x＋2，得f(1)＝f(2×0＋1)＝3×0＋2＝2，故選A.【答案】A6．下列四個函數(shù)：①y＝x＋1；②y＝x－1；③y＝x2－1；④y＝eq\f(1,x)，其中定義域與值域相同的是()A．①②③ B．①②④C．②③ D．②③④【解析】①y＝x＋1，定義域R，值域R；②y＝x－1，定義域R，值域R；③y＝x2－1，定義域R，值域(－1，＋∞)；④y＝eq\f(1,x)，定義域(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域(－∞，0)∪(0，＋∞)．∴①②④定義域與值域相同，故選B.【答案】B7．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0,fx＋2，x<0，))則f(－3)的值為()A．5 B．－1C．－7 D．2【解析】依題意，f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1＋1＝2，故選D.【答案】D8．定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有eq\f(fx2－fx1,x2－x1)<0，則()A．f(3)＜f(－2)＜f(1)B．f(1)＜f(－2)＜f(3)C．f(－2)＜f(1)＜f(3)D．f(3)＜f(1)＜f(－2)【解析】任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有eq\f(fx2－fx1,x2－x1)<0.∴f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，又f(x)是偶函數(shù)，故f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞增．且滿足n∈N*時，f(－2)＝f(2)，3＞2＞1＞0，由此知，此函數(shù)具有性質(zhì)：自變量的絕對值越小，函數(shù)值越大，∴f(3)＜f(－2)＜f(1)，故選A.【答案】A9．定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當x＞0時，f(x)＝3，則奇函數(shù)f(x)的值域是()A．(－∞，－3] B．[－3,3]C．[－3,3] D．{－3,0,3}【解析】∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，設(shè)x＜0，則－x＞0，f(－x)＝－f(x)＝3，∴f(x)＝－3，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，x>0,0，x＝0,－3，x<0，))∴奇函數(shù)f(x)的值域是{－3,0,3}．【答案】D10．(2023·承德高一檢測)已知f(x)＝x5－ax3＋bx＋2且f(－5)＝17，則f(5)的值為()A．－13 B．13C．－19 D．19【解析】∵g(x)＝x5－ax3＋bx是奇函數(shù)，∴g(－x)＝－g(x)，∵f(－5)＝17＝g(－5)＋2，∴g(5)＝－15，∴f(5)＝g(5)＋2＝－15＋2＝－13.【答案】A11．(2023·瀏陽高一檢測)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3－ax)，若f(x)在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()【導學號：97030071】A．(0,3] B．[0,3]C．(0,1] D．[3，＋∞)【解析】函數(shù)f(x)＝eq\r(3－ax)，若f(x)在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù)，則t＝3－ax在區(qū)間(0,1]上為減函數(shù)，且t≥0，分析可得a＞0，且3－a≥0，解可得0＜a≤3，∴a取值范圍為(0,3]．【答案】A12．己知奇函數(shù)y＝f(x)在(－∞，0)上為減函數(shù)，且f(2)＝0，則不等式(x－1)f(x－1)＞0的解集為()A．{x|－3＜x＜－1}B．{x|－3＜x＜1或x＞2}C．{x|－3＜x＜0或x＞3}D．{x|－1＜x＜1或1＜x＜3}【解析】由題意畫出f(x)的草圖如下，因為(x－1)f(x－1)＞0，所以(x－1)與f(x－1)同號，由圖象可得－2＜x－1＜0或0＜x－1＜2，解得－1＜x＜1或1＜x＜3，故選D.【答案】D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13．設(shè)全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，則(?UA)∪(?UB)＝________.【解析】全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，所以?UA＝{c，d}，?UB＝{a}，所以(?UA)∪(?UB)＝{a，c，d}．【答案】{a，c，d}14．若函數(shù)f(x)＝(a－2)x2＋(a－1)x＋3是偶函數(shù)，則f(x)的增區(qū)間是________.【導學號：97030072】【解析】∵函數(shù)f(x)＝(a－2)x2＋(a－1)x＋3是偶函數(shù)，∴a－1＝0，∴f(x)＝－x2＋3，其圖象是開口方向朝下，以y軸為對稱軸的拋物線．故f(x)的增區(qū)間為(－∞，0]．【答案】(－∞，0]15．奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的解析式是f(x)＝x(x－1)，則在(－∞，0)上的解析式是________．【解析】x∈(－∞，0)時，－x∈(0，＋∞)，因為f(x)在(0，＋∞)上的解析式是f(x)＝x(x－1)，所以f(－x)＝－x(－x－1)，因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)＝－x(－x－1)，所以f(x)＝－x(x＋1)．【答案】f(x)＝－x(x＋1)16．(2023·蘇州高一檢測)函數(shù)f(x)的定義域為A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)時總有x1＝x2，則稱f(x)為單函數(shù)，例如，函數(shù)f(x)＝2x＋1(x∈R)是單函數(shù)．下列命題：①函數(shù)f(x)＝x2(x∈R)是單函數(shù)；②函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x－1)是單函數(shù)；③若f(x)為單函數(shù)，x1，x2∈A且x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)；④在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)．其中的真命題是________．(寫出所有真命題的編號)【解析】①函數(shù)f(x)＝x2(x∈R)不是單函數(shù)，例如f(1)＝f(－1)，顯然不會有1和－1相等，故為假命題；②函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x－1)是單函數(shù)，因為若eq\f(x1,x1－1)＝eq\f(x2,x2－1)，可推出x1x2－x2＝x1x2－x1，即x1＝x2，故為真命題；③若f(x)為單函數(shù)，x1，x2∈A且x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)為真，可用反證法證明：假設(shè)f(x1)＝f(x2)，則按定義應有x1＝x2，與已知中的x1≠x2矛盾；④在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)為真，因為單函數(shù)的實質(zhì)是一對一的映射，而單調(diào)的函數(shù)也是一對一的映射，故為真．【答案】②③④三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)(2023·大同高一檢測)設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．(1)求?U(A∩B)；(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，滿足B∪C＝C，求實數(shù)a的取值范圍．【解】(1)由集合B中的不等式2x－4≥x－2，解得x≥2，∴B＝{x|x≥2}，又A＝{x|－1≤x＜3}，∴A∩B＝{x|2≤x＜3}，又全集U＝R，∴?U(A∩B)＝{x|x＜2或x≥3}．(2)由集合C中的不等式2x＋a＞0，解得x＞－eq\f(a,2)，∴C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞－\f(a,2)))))，∵B∪C＝C，∴B?C，∴－eq\f(a,2)＜2，解得a＞－4.18．(本小題滿分12分)(2023·南昌高一檢測)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x2－1)，(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,3]上的值域.【導學號：97030073】【解】(1)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x2－1)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減，證明如下：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(1,x\o\al(2,1)－1)－eq\f(1,x\o\al(2,2)－1)＝eq\f(x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1),x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1)＝eq\f(x2－x1x2＋x1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1)，∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，又∵x1，x2∈(1，＋∞)，∴x2＋x1＞0，xeq\o\al(2,1)－1>0，xeq\o\al(2,2)－1>0，∴eq\f(x2－x1x2＋x1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1)＞0，即f(x1)＞f(x2)．由單調(diào)性的定義可知函數(shù)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減．(2)由(1)知函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)的最大值為f(2)＝eq\f(1,3)，最小值為f(3)＝eq\f(1,8)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,3]上的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,3))).19．(本小題滿分12分)某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需要增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)：R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400,80000，x>400，))其中x是儀器的月產(chǎn)量．當月產(chǎn)量為何值時，公司所獲得利潤最大？最大利潤是多少？【解】由于月產(chǎn)量為x臺，則總成本為20000＋100x，從而利潤f(x)＝R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x－\f(1,2)x2－20000，0≤x≤400,60000－100x，x>400，))當0≤x≤400時，f(x)＝－eq\f(1,2)(x－300)2＋25000，所以當x＝300時，有最大值25000；當x＞400時，f(x)＝60000－100x是減函數(shù)，所以f(x)＝60000－100×400＜25000.所以當x＝300時，有最大值25000，即當月產(chǎn)量為300臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是25000元．20．(本小題滿分12分)已知f(x)在R上是單調(diào)遞減的一次函數(shù)，且f[f(x)]＝4x－1.(1)求f(x)；(2)求函數(shù)y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1,2]上的最大值與最小值．【解】(1)由題意可設(shè)f(x)＝ax＋b，(a＜0)，由于f[f(x)]＝4x－1，則a2x＋ab＋b＝4x－1，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4,ab＋b＝－1，))解得a＝－2，b＝1.故f(x)＝－2x＋1.(2)由(1)知，函數(shù)y＝f(x)＋x2－x＝－2x＋1＋x2－x＝x2－3x＋1，故函數(shù)y＝x2－3x＋1的圖象開口向上，對稱軸為x＝eq\f(3,2)，則函數(shù)y＝f(x)＋x2－x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))上為減函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))上為增函數(shù)．又由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq\f(5,4)，f(－1)＝6，f(2)＝－1，則函數(shù)y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1,2]上的最大值為6，最小值為－eq\f(5,4).21．(本小題滿分12分)(2023·聊城高一檢測)已知函數(shù)f(x)＝x2＋4ax＋2a(1)若函數(shù)f(x)的值域為[0，＋∞)，求a的值；(2)若函數(shù)f(x)的函數(shù)值均為非負數(shù)，求g(a)＝2－a|a－1|的值域．【解】(1)由于函數(shù)的值域為[0，＋∞)，則判別式Δ＝16a2－4(2解得a＝－1或a＝eq\f(3,2).(2)由于函數(shù)f(x)的函數(shù)值均為非負數(shù)，則Δ＝16a2－4(2a＋6)解得－1≤a≤eq\f(3,2)，則－2≤a－1≤eq\f(1,2)，∴g(a)＝2－a|a－1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a＋2，－1≤a≤1,－a2＋a＋2，1<a≤\f(3,2)，))①當－1≤a≤1時，g(a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(7,4)，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≤g(a)≤g(－1)，∴eq\f(7,4)≤g(a)≤4.②1＜a≤eq\f(3,2)時，g(a)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(9,4)，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))≤g(a)＜g(1)，∴eq\f(5,4)≤g(a)＜2，綜上，函數(shù)g(a)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，4)).22．(本小題滿分12分)