高中數(shù)學(xué)人教A版2第二章推理與證明合情推理與演繹推理 優(yōu)質(zhì)課獎

課題《歸納推理》的教學(xué)設(shè)計（人教A版·數(shù)學(xué)選修2-2第二章第一節(jié)）福建省永安一中一、教學(xué)設(shè)計前思為什么很多命題不要求證明，而代之以直觀感知、操作確認(rèn)？為什么很多內(nèi)容不是直抵目標(biāo)，而是螺旋式上升？這些課堂教學(xué)的困惑，需要我們處理好數(shù)學(xué)的抽象性和學(xué)生的理解力之間的矛盾，呼喚我們?nèi)フJ(rèn)真思考教材的編寫意圖，了解學(xué)生的原有知識儲備，確定相應(yīng)的教學(xué)方法和教學(xué)策略。筆者根據(jù)《歸納推理》的教學(xué)設(shè)計與反思，談?wù)勅绾翁鼋滩目唇滩?，在把握教材底蘊的基礎(chǔ)上，對教材進(jìn)行再加工。二、教學(xué)設(shè)計1內(nèi)容和內(nèi)容解析（1）內(nèi)容：人民教育出版社《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書A版·數(shù)學(xué)選修2-2》第74頁，歸納推理。（2）內(nèi)容解析：本節(jié)課的內(nèi)容無論在已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，或是在現(xiàn)實生活中都存在大量的素材，而且有歷史背景支撐，如歌德巴赫猜想，費馬猜想等等。許多推理是學(xué)生熟悉的，如醫(yī)生對病人病情的診斷，氣象學(xué)家對天氣的推斷等都與推理有關(guān)。因此，需要精選既能反映合情推理數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，又有助于學(xué)生理解的素材。本節(jié)課的教學(xué)的重點是：從理性上認(rèn)識歸納推理，即了解歸納推理的概念、了解歸納推理的思維過程、理解歸納推理的特點和作用。2目標(biāo)和目標(biāo)解析（1）目標(biāo)：結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活中的實例，了解合情推理的含義，能進(jìn)行歸納推理的簡單應(yīng)用，體會并認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用。（2）目標(biāo)解析：本節(jié)課的素材較多，很容易設(shè)計成習(xí)題講評課的模式，突顯歸納推理的技巧，沖淡從理性上認(rèn)識歸納推理的主題。合情推理第一課時的關(guān)鍵是通過學(xué)生的積極參與，經(jīng)歷歸納推理概念的形成。讓學(xué)生通過欣賞一些偉大猜想產(chǎn)生的過程，體會并認(rèn)識如何利用歸納推理去猜測和發(fā)現(xiàn)一些新的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生歸納推理的思維方式。體會歸納推理在日?；顒雍涂茖W(xué)發(fā)現(xiàn)的作用，養(yǎng)成認(rèn)真觀察事物，善于發(fā)現(xiàn)問題以及探求新知識的習(xí)慣。3教學(xué)問題診斷分析數(shù)學(xué)的抽象性與學(xué)生的理解力是一對矛盾。雖然本節(jié)課的素材學(xué)生比較熟悉，但理性認(rèn)識不夠，因此，需要通過調(diào)動學(xué)生有價值的思維活動，突出概念的形成過程，讓學(xué)生參與知識的建構(gòu)，對概念進(jìn)行抽象和概括。本節(jié)課的教學(xué)的難點：從理性上認(rèn)識歸納推理，對概念進(jìn)行抽象和概括。4教學(xué)支持條件分析本節(jié)課涉及現(xiàn)實生活中的大量感性素材，因此必須借助信息技術(shù)手段提前將需要再現(xiàn)的素材準(zhǔn)備好，充分利用有限的課堂教學(xué)資源。提前做好移動圓環(huán)教具，設(shè)計好為本節(jié)課服務(wù)的學(xué)案。5教學(xué)過程設(shè)計與實踐引言：今天我們所要探索的知識不僅在數(shù)學(xué)中的作用無可替代，在今后的生產(chǎn)和生活中可以說是無處不在。請看狄仁杰在江西彭澤縣斷案的一個片段。設(shè)計意圖：從現(xiàn)實生活中感受推理的含義。創(chuàng)設(shè)問題情境，走進(jìn)現(xiàn)實生活，讓學(xué)生產(chǎn)生情感共鳴，激勵學(xué)生的求知欲望，吸引學(xué)生積極參與知識的再創(chuàng)造和自主建構(gòu)。問題1先看下面的幾個推理案例，分析它們的異同點。=1\*GB2⑴鐵、銅、鋁等金屬容易導(dǎo)電由此猜想：所有的金屬都容易導(dǎo)電。=2\*GB2⑵吃肥肉、花生、芝麻等高脂肪食品容易發(fā)胖。由此猜想：所有吃高脂肪食品的人都容易發(fā)胖=3\*GB2⑶1，3，5，7，…，由此猜想出n第個數(shù)是2n-1。=4\*GB2⑷地球上有生命，火星具有一些與地球類似的特征，由此猜想：火星上也有生命.=5\*GB2⑸因為所有人都會死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底也會死.設(shè)計意圖：學(xué)生通過對熟悉的數(shù)學(xué)實例和生活中的實例進(jìn)行辨析，能對推理的內(nèi)容做適當(dāng)?shù)姆诸?，能初步了解合情推理與演繹推理的特點，著重理解歸納推理的含義和特點?；顒臃绞剑簩W(xué)生先獨立思考，之后小組交流，從中隨機(jī)選一位學(xué)生發(fā)表看法。預(yù)設(shè)結(jié)果：學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)案例=1\*GB2⑴、=2\*GB2⑵、=3\*GB2⑶是特殊到一般，案例=4\*GB2⑷是從特殊到特殊，案例=5\*GB2⑸是從一般到特殊。實際情況：學(xué)生1：案例=5\*GB2⑸一定是正確的學(xué)生2：前3個案例是個別到整體，案例=4\*GB2⑷是一對一的，案例=5\*GB2⑸是從一般到個別。緊接著通過與教科書概念的對比，學(xué)生能正確把握歸納推理的概念及特點。問題2歸納推理的模式（即歸納推理的一個算法）設(shè)計意圖：注重知識的前后聯(lián)系，將具體的不同的對象進(jìn)行抽象、概括，統(tǒng)一用字母表示。培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括的能力?；顒臃绞剑簬熒餐?gòu)，預(yù)設(shè)結(jié)果：學(xué)生對題意理解有一定的困難。實際情況：學(xué)生不理解題意，教師舉例一元二次方程求根公式的本質(zhì)是“符號化”后，學(xué)生才理解題意，教師提出：鐵表示成事物S1，容易導(dǎo)電即具有性質(zhì)P，之后學(xué)生很快完成相應(yīng)的步驟。鐵容易導(dǎo)電；銅容易導(dǎo)電；鐵容易導(dǎo)電；銅容易導(dǎo)電；鋁容易導(dǎo)電?！F、銅、鋁都是金屬由此猜想：金屬容易導(dǎo)電。事物S2具有性質(zhì)P,事物S3具有性質(zhì)P,……S1、S2、S3都是S類事物的對象結(jié)論：S類事物具有性質(zhì)P。問題3（1）根據(jù)所探索的歸納推理知識完成練習(xí)1和練習(xí)2。練習(xí)1、請同學(xué)們生活中或數(shù)學(xué)中舉出歸納推理的例子。練習(xí)2、已知不等式，試歸納出一般性的結(jié)論（2）根據(jù)練習(xí)2所得到的結(jié)論思考上述的歸納推理是怎樣進(jìn)行的？(即總結(jié)出歸納推理的步驟)設(shè)計意圖：通過完成練習(xí)1幫助學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活息息相關(guān)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注身邊的數(shù)學(xué)問題。通過完成練習(xí)2，鞏固所探究的知識，加深對知識的理解，為后繼知識的學(xué)習(xí)埋下伏筆?；顒臃绞剑簩W(xué)生先獨立思考，之后小組討論，接著教師從中選出有代表性（正確的和錯誤的）的解答，利用展臺展示，講評糾錯。預(yù)設(shè)結(jié)果：學(xué)生能夠舉出歸納推理的例子,生活中:如一葉落而知天下秋;瑞雪兆豐年等。數(shù)學(xué)中：2，4，6，8，…，由此猜想出第n個數(shù)是2n。學(xué)生能夠得出多種一般性結(jié)論：或?qū)W生能通過發(fā)現(xiàn)一般性結(jié)論的過程中概括出歸納推理的步驟：實驗、觀察概括、推廣猜測一般性結(jié)論檢驗猜想。實際情況：學(xué)生1：綠豆中含有淀粉，黃豆中含有淀粉，紅豆中含有淀粉，由此猜想所有豆類都含有淀粉。學(xué)生2：我站在站臺上發(fā)現(xiàn)：第一輛7路車15分鐘后到；第二輛7路車15分鐘后到；第一三輛7路車15分鐘后到；由此猜想7路車每15分鐘發(fā)車一趟。學(xué)生3：2，4，6，8，…，由此猜想出n第個數(shù)是2n。學(xué)生4：一般性結(jié)論：學(xué)生4認(rèn)為歸納推理的步驟是：觀察----找規(guī)律---概括一般性結(jié)論。問題4偶然發(fā)現(xiàn)3＋7=10，5＋11=16，11＋13=24改寫為:10＝3＋7，16＝5＋11，24＝11＋13由此，你能發(fā)現(xiàn)到什么一般性結(jié)論。設(shè)計意圖：根據(jù)總結(jié)出歸納推理的步驟，感受哥德巴赫猜想的形成過程，激發(fā)學(xué)生的求知欲。不盲從權(quán)威，只要用心學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)家就在我們當(dāng)中?；顒臃绞剑簩W(xué)生先獨立思考，完成猜想，教師點評。預(yù)設(shè)結(jié)果：學(xué)生不一定想到質(zhì)數(shù)之和，或許是奇數(shù)之和，但都是一種猜想實際情況：學(xué)生1：偶數(shù)=奇數(shù)+奇數(shù)學(xué)生2：偶數(shù)=質(zhì)數(shù)+質(zhì)數(shù)學(xué)生3：偶數(shù)=奇質(zhì)數(shù)+奇質(zhì)數(shù)有學(xué)生說這就是哥德巴赫猜想，不難想到。接著教師展示200年來，數(shù)學(xué)家對哥德巴赫猜想所研究的成果，極大提高了學(xué)生的探索欲望。問題5歸納推理的可靠性如何？設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會用批判的角度看問題，不盲從權(quán)威。通過學(xué)生熟悉的例子，感受歸納推理的第二個特點：具有或然性（即不能作為猜測的依據(jù)）?；顒臃绞剑豪蠋熗ㄟ^生活中的例子和費馬猜想，讓學(xué)生感受歸納推理的特點。預(yù)設(shè)結(jié)果：學(xué)生能夠體會猜測的一般性結(jié)論不一定成立。實際情況：學(xué)生1、吃肥肉、花生不一定就會發(fā)胖。學(xué)生2、火星上不一定有生命。教師再與學(xué)生一起探討費馬猜想，達(dá)到對知識的建構(gòu)。問題6歸納推理所得到的結(jié)論并不可靠，為什么還要學(xué)習(xí)歸納推理呢？設(shè)計意圖：預(yù)見并幫助學(xué)生解決心理困惑：即推理所得到的結(jié)論并不可靠，為什么還要學(xué)習(xí)歸納推理呢？通過學(xué)生熟悉的例子，感受歸納推理的作用活動方式：通過課件展示萬有引力定律、元素周期律的發(fā)現(xiàn)感受歸納推理的作用。預(yù)設(shè)結(jié)果：學(xué)生能夠體會到歸納推理可以發(fā)現(xiàn)新的事實。實際情況：學(xué)生1：歸納推理可以發(fā)現(xiàn)新的事實。問題7例1已知數(shù)列的首項，且有，試歸納出這個數(shù)列的通項公式。設(shè)計意圖：學(xué)會應(yīng)用歸納推理解題，進(jìn)一步理解歸納推理得到的結(jié)論不一定正確?；顒臃绞剑簩W(xué)生先獨立思考，之后利用展臺展示交流。預(yù)設(shè)結(jié)果：大多數(shù)學(xué)生能夠用歸納推理得到結(jié)論，個別學(xué)生會利用數(shù)列的知識得到結(jié)論。實際情況：學(xué)生1、，，，，由此猜想：。學(xué)生2、兩邊倒數(shù)，可以構(gòu)造成等差數(shù)列。教師再次強(qiáng)調(diào)，歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，并闡述歸納推理得到的結(jié)論運用的是不完全歸納法，結(jié)論的正確性有待與我們后續(xù)知識的進(jìn)一步研究（完全歸納法），但它的作用是為我們提供了一個新的研究方向。問題8傳說在古老的印度有一座神廟，神廟中有三根針和套在一根針上的64個圓環(huán).古印度的天神指示他的僧侶們按下列規(guī)則,把圓環(huán)從一根針上全部移到另一根針上，第三根針起“過渡”的作用.1.每次只能移動1個圓環(huán)；2.較大的圓環(huán)不能放在較小的圓環(huán)上面.如果有一天，僧侶們將這64個圓環(huán)全部移到另一根針上，那么世界末日就來臨了.請你試著推測：把1個圓環(huán)從1號針移到3號針,最少需要移動多少次?圓環(huán)個數(shù)最少需要移動次數(shù)n=1n=2n=3n=4…n=64設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生合作意識，共同探究的能力。活動方式：4個同學(xué)組成一個小組，利用圓環(huán)教具完成預(yù)設(shè)結(jié)果：當(dāng)n=4時學(xué)生會有不同的結(jié)果，但最少的只有15次。通過小組間的合作與交流，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)結(jié)論。實際情況：學(xué)生積極參與，當(dāng)n=4時得到15次的小組不多。有學(xué)生提出世界末日是不是很快就來了。教師給出解答見以下內(nèi)容反思2六、目標(biāo)檢測設(shè)計作業(yè)：P83習(xí)題A組1，2，3。到圖書館借閱《數(shù)學(xué)與猜想第一卷》看1-3章。設(shè)計意圖：鞏固所學(xué)知識的同時體現(xiàn)課堂教學(xué)的延伸。二、教學(xué)實踐心得《歸納推理》的的教學(xué)價值的挖掘與思考一、關(guān)注學(xué)生原有的知識儲備與所教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系。通過本節(jié)課的教學(xué)實踐，筆者體會到教材簡單不等于教學(xué)簡單，要關(guān)注學(xué)生原有的知識儲備，因為學(xué)生是根據(jù)自己已有的知識經(jīng)驗來建構(gòu)新的知識體系。在概念的探究中，筆者選用的是學(xué)生熟悉的素材，如鐵、銅、鋁等金屬容易導(dǎo)電由此猜想：所有的金屬都容易導(dǎo)電。以及課前導(dǎo)入環(huán)節(jié)的狄仁杰斷案也是學(xué)生非常興趣的歷史知識。二、對學(xué)生可能存在的困惑要有預(yù)見性。數(shù)學(xué)的抽象性與學(xué)生的理解力是一對矛盾，當(dāng)學(xué)生的理解力還不能在老師的引導(dǎo)下去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)時，就要發(fā)揮傳統(tǒng)的教學(xué)方法優(yōu)勢，啟示學(xué)生進(jìn)行模仿和再創(chuàng)造。例如在探索歸納推理的模式時，筆者估計學(xué)生對“模式”的理解存在困惑，這時教師通過例舉一元二次方程的求根公式，引導(dǎo)學(xué)生理解歸納推理的模式就是將推理進(jìn)行“符號化”。再如學(xué)生舉不出諺語中歸納推理的例子時，三、要時刻根據(jù)課堂情況進(jìn)行機(jī)智性調(diào)整。要時刻關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)識過程，隨時修改自己的教學(xué)設(shè)計，調(diào)整教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求，改變教學(xué)策略，選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法實施教學(xué)，例如探索哥德巴赫猜想時學(xué)生困惑于為什么要對式子“3＋7=10，5＋11=16，11＋13=24””改寫。教師例舉，學(xué)生通過練習(xí)領(lǐng)悟到，適當(dāng)?shù)母膶懹兄谡乙?guī)律。再比如通過圓環(huán)實驗得到的結(jié)論，學(xué)生充滿困惑，感覺世界末日不久就來到，教師通過演算與學(xué)生分析，假如一位熟練的僧侶每秒可以移動一片金屬片，日以繼夜不眠不休地工作，那么大概要花上584,942,417,355年，即約5850億年的時間，學(xué)生的困惑立刻消除。四、要把握教材底蘊，對教材進(jìn)行再加工。將課本的引例“歌德巴赫”猜想做了兩個變化。（1）把數(shù)據(jù)3＋7=10，7＋13=20，11＋19=30，改為3＋7=10，5＋11=16，11＋13=24。原數(shù)據(jù)容易把學(xué)生引到整十整百數(shù)中，甚至探索個位為數(shù)之間的關(guān)系，浪費了寶貴的課堂資源—時間。因為歌德巴赫是數(shù)論的專家，他很自然的會從素數(shù)的角度中去考慮問題。（2）把“歌德巴赫”猜想引例的位置放到歸納推理思維過程的探索中，這樣既可對之前探索的知識作簡單的應(yīng)用，又可讓學(xué)生體會成功的喜悅，感覺數(shù)學(xué)家就在我們身邊，進(jìn)而為滲透數(shù)學(xué)文化作了鋪墊。將課本河內(nèi)塔游戲做了三個變化。（1）制作圓環(huán)教具，讓學(xué)生小組探究。這樣既降低了教學(xué)難度，又能提高學(xué)生的積極性。做到“寓教育于樂”（2）題目中增加一個表格，學(xué)生在數(shù)學(xué)課中就象做物理實驗報告一樣。（3）放置第一課時。這樣滲透化歸思想，又為下節(jié)課的類比推理埋下伏筆。五、遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，注重設(shè)計與生成的結(jié)合。本節(jié)課內(nèi)容層次分明，通過“問題鏈”引發(fā)學(xué)生探究。把握概念的內(nèi)涵和外延，處理好學(xué)生的認(rèn)知沖突，既關(guān)注知識又關(guān)注學(xué)生。合理利用寶貴的課堂資源（指時間）讓學(xué)生獨立思考，合作探究。在活動中使學(xué)生從接受知識到理解知識。筆者認(rèn)為，教學(xué)設(shè)計的作用正如牧羊人一般，牧羊人只要將羊領(lǐng)到草地上，接著讓羊自己跑，它們知道哪兒草肥，哪兒草嫰，自己會吃飽、吃足。關(guān)鍵是要把它們帶到草地上，要是將它們帶到沙漠中，它們就會餓死、干死。三、專家點評（點評教師：唐為民省學(xué)科帶頭人）一、聯(lián)系實際，滲透文化。首先，創(chuàng)設(shè)導(dǎo)入情境，走進(jìn)現(xiàn)實生活。一開始播放央視熱播的《神探狄仁杰》激發(fā)學(xué)生的求知欲。其次，聯(lián)系生活實際，搜索現(xiàn)實素材。展示5個推理案例，學(xué)生從非常熟悉的推理案例中對合情推理和演繹推理有一個整體的把握。再次，追溯歷史背景，突出人文氣息。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》提出：“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值”是高中數(shù)學(xué)新課程的一個基本理