高中數(shù)學蘇教版1第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3．2導(dǎo)數(shù)的運算 學業(yè)分層測評16

學業(yè)分層測評(十六)函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、填空題1.設(shè)f(x)＝lna2x(a>0且a≠1)，則f′(1)＝________.【解析】∵f(x)＝lna2x＝2xlna，∴f′(x)＝(2xlna)′＝(2x)′lna＋2x(lna)′＝2lna，故f′(1)＝2lna.【答案】2lna2.函數(shù)y＝(2＋x3)2的導(dǎo)數(shù)為________.【導(dǎo)學號：24830077】【解析】∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，∴y′＝6x5＋12x2.【答案】6x5＋12x23.函數(shù)y＝eq\f(x,ex)的導(dǎo)數(shù)是________.【解析】y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,ex)))′＝eq\f(x′ex－x·ex′,ex2)＝eq\f(1－x,ex).【答案】eq\f(1－x,ex)4.設(shè)f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，則x0的值為________.【解析】f′(x)＝lnx＋x·eq\f(1,x)＝lnx＋1，因為f′(x0)＝2，所以lnx0＋1＝2，lnx0＝1，x0＝e.【答案】e5.函數(shù)f(x)＝(x＋1)2(x－1)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)等于________.【解析】f(x)＝(x＋1)2(x－1)＝x3＋x2－x－1，f′(x)＝3x2＋2x－1，f′(1)＝3＋2－1＝4.【答案】46.已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)的值為________.【解析】∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.【答案】－47.若曲線y＝e－x上點P處的切線平行于直線2x＋y＋1＝0，則點P的坐標是________.【解析】設(shè)點P的坐標為(x0，y0)，y′＝－e－x.又切線平行于直線2x＋y＋1＝0，所以－e－x0＝－2，可得x0＝－ln2，此時y0＝2，所以點P的坐標為(－ln2,2).【答案】(－ln2,2)8.設(shè)f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\f(1,2)，則a＝________，b＝________.【解析】∵f′(x)＝2ax－bcosx，f′(0)＝－b＝1得b＝－1，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\f(2,3)πa＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，得a＝0.【答案】0－1二、解答題9.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝ex·lnx;(2)y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3))).(3)f(x)＝eq\f(ex,1＋ax2).【解】(1)y′＝(ex·lnx)′＝exlnx＋ex·eq\f(1,x)＝exeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1,x))).(2)∵y＝x3＋1＋eq\f(1,x2)，∴y′＝3x2－eq\f(2,x3).(3)f′(x)＝ex·eq\f(1＋ax2－2ax,1＋ax22)10.已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程；(2)求經(jīng)過點A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程.【解】(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲線在點(2，f(2))處的切線方程為y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.(2)設(shè)曲線與經(jīng)過點A(2，－2)的切線相切于點P(x0，xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5，∴切線方程為y－(－2)＝(3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5)(x－2)，又切線過點P(x0，xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－4)，∴xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－2＝(3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－2)＝0，解得x0＝2或1，∴經(jīng)過A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程為x－y－4＝0，或y＋2＝0.[能力提升]1.一質(zhì)點做直線運動，由始點起經(jīng)過ts后的距離為s＝eq\f(1,4)t4－4t3＋16t2，則速度為零的時刻是________.【導(dǎo)學號：24830078】【解析】v＝s′＝t3－12t2＋32t.令v＝0，則t＝0,4,8.【答案】0s,4s,8s2.已知點P在曲線y＝eq\f(4,ex＋1)上，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是________.【解析】y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,ex＋1)))′＝eq\f(－4ex,ex＋12)＝eq\f(－4,ex＋\f(1,ex)＋2)，－1≤eq\f(－4,ex＋\f(1,ex)＋2)＜0，即－1≤tanα＜0，由正切函數(shù)圖象得α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).【答案】eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))3.設(shè)f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，若已知f′(x)＝xcosx，則f(x)＝________.【解析】∵f′(x)＝[(ax＋b)sinx]′＋[(cx＋d)cosx]′＝(ax＋b)′sinx＋(ax＋b)(sinx)′＋(cx＋d)′cosx＋(cx＋d)(cosx)′＝asinx＋(ax＋b)cosx＋ccosx－(cx＋d)sinx＝(a－d－cx)sinx＋(ax＋b＋c)cosx.為使f′(x)＝xcosx，應(yīng)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＝0，,c＝0，,a＝1，,b＋c＝0，))解方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0，,c＝0，,d＝1.))從而可知，f(x)＝xsinx＋cosx.【答案】xsinx＋cosx4.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C.(1)求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍；(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍.【解】(1)由題意得f′(x)＝x2－4x＋3，則f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍是[－1，＋∞).(2)設(shè)曲線C的其中一條切線的斜