高中數(shù)學(xué)人教A版第二章平面向量 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義（第1課時(shí)）一、教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的概念，性質(zhì)、運(yùn)算律的發(fā)現(xiàn)與論證．難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算率的理解，平面向量數(shù)量積的應(yīng)用．知識(shí)點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的概念，性質(zhì)、運(yùn)算律．能力點(diǎn)：通過(guò)對(duì)平面向量數(shù)量積性質(zhì)及運(yùn)算律的探究，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力．教育點(diǎn)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和善于發(fā)現(xiàn)、勇于探索的精神，體會(huì)學(xué)習(xí)的快樂，體會(huì)各學(xué)科之間是密不可分的．培養(yǎng)學(xué)生思考問題認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度．自主探究點(diǎn)：有關(guān)向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律的證明．考試點(diǎn)：=1\*GB3①考查向量數(shù)量積運(yùn)算；=2\*GB3②有關(guān)向量夾角的計(jì)算；=3\*GB3③應(yīng)用向量解決垂直問題．易錯(cuò)易混點(diǎn)：向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)的乘法的區(qū)別．拓展點(diǎn)：向量在幾何中證明垂直的應(yīng)用．二、引入新課任意兩個(gè)向量都可以進(jìn)行加減運(yùn)算，并且兩個(gè)向量的和與差仍是一個(gè)向量，我們自然地會(huì)想到：兩個(gè)向量是否可以進(jìn)行乘法運(yùn)算呢？如果能，其運(yùn)算結(jié)果是什么呢？思考：1．如右圖，一個(gè)物體在力的作用下產(chǎn)生位移，且力與位移的夾角為，那么力所做的功是多少？結(jié)論：2．功是一個(gè)標(biāo)量，它由力和位移兩個(gè)向量所確定，數(shù)學(xué)上，我們把“功”稱為向量與的“數(shù)量積”．一般地，對(duì)于非零向量與的數(shù)量積是指什么？【設(shè)計(jì)意圖】由舊知識(shí)引出新內(nèi)容，同時(shí)聯(lián)系物理學(xué)和數(shù)學(xué)，理解具體和一般的關(guān)系．三、探究新知1．平面向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積(innerproduct)（或內(nèi)積），記作，即，其中是與的夾角．特別強(qiáng)調(diào)：兩個(gè)向量，的數(shù)量積與代數(shù)中兩個(gè)數(shù)的乘積是兩碼事，但表面看來(lái)又有點(diǎn)相似，因此要注意兩個(gè)向量與的數(shù)量積是記作，中間的實(shí)心小圓點(diǎn)不能省略，也不能把實(shí)心小圓點(diǎn)用乘號(hào)“×”代替，寫成．思考1：對(duì)于兩個(gè)非零向量與，其數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它何時(shí)為正數(shù)？何時(shí)為負(fù)數(shù)？何時(shí)為零？結(jié)論：，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，．思考2：零向量與任一向量的數(shù)量積是多少？結(jié)論：我們規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積為0．2．投影的定義對(duì)于兩個(gè)非零向量與，設(shè)其夾角為，叫做向量在方向上的投影．如上圖所示，，即有向線段的數(shù)量為．特別強(qiáng)調(diào)：向量的投影是一個(gè)數(shù)量．思考1：向量在方向上的投影一定是正數(shù)嗎？向量在方向上的投影是什么？結(jié)論：不一定是正數(shù)，其正負(fù)取決于，即的取值．向量在方向上的投影是．思考2：根據(jù)投影的概念，數(shù)量積的幾何意義是什么？結(jié)論：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積，或等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積．【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生從感性到理性去認(rèn)知數(shù)量積的定義．通過(guò)對(duì)概念的認(rèn)識(shí)、分析和探究，使學(xué)生加深理解，掌握相關(guān)的幾何意義并加深對(duì)投影的認(rèn)識(shí)．3．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)思考1：設(shè)與都是非零向量，若，則等于多少？反之成立嗎？結(jié)論：思考2：當(dāng)與同向時(shí)，等于什么？當(dāng)與反向時(shí)，等于什么？特別地，等于什么？結(jié)論：當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，；，所以．通常記作．思考3：設(shè)與都是非零向量，如何計(jì)算它們的夾角？結(jié)論：由可得，再結(jié)合可求出．思考4：與的大小關(guān)系如何？為什么？結(jié)論：，因?yàn)?，所以【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)上述4個(gè)思考，在學(xué)生討論交流的基礎(chǔ)上，由教師進(jìn)一步明晰數(shù)量積的性質(zhì)，然后再由學(xué)生利用數(shù)量積的定義給予證明，完成探究活動(dòng)．這樣設(shè)計(jì)體現(xiàn)了教師只是教學(xué)活動(dòng)的引領(lǐng)者，而學(xué)生才是學(xué)習(xí)活動(dòng)的主體，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的研究者，不斷地體驗(yàn)到成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的熱情．4．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律=1\*GB3①發(fā)現(xiàn)數(shù)量積的運(yùn)算律教師引導(dǎo)學(xué)生回顧實(shí)數(shù)運(yùn)算中有關(guān)的運(yùn)算律，并類比得出數(shù)量積的運(yùn)算律，體會(huì)不同運(yùn)算的運(yùn)算律不盡相同，然后由學(xué)生自主完成下列表格：在實(shí)數(shù)運(yùn)算中在向量運(yùn)算中是否正確交換律(1)（）結(jié)合律(2)（）(3)（）分配率(4)（）消去律(5)（）【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)類比、探究使學(xué)生得到數(shù)量積的運(yùn)算律，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和探究問題的能力．答案：(1)√；(2)×；(3)√；(4)√；(5)×．對(duì)于上述表格，學(xué)生在處理的過(guò)程中(2)(5)出錯(cuò)率較高，需要老師著重分析：(2)這是因?yàn)楸硎疽粋€(gè)與共線的向量，而表示一個(gè)與共線的向量，而與不一定共線，所以一般不成立，即使與共線，此式也不一定成立．(5)如下圖，均滿足，但．=2\*GB3②明晰數(shù)量積的運(yùn)算律已知向量、、和實(shí)數(shù)，則：(1)；(2)；(3)．=3\*GB3③證明數(shù)量積的運(yùn)算律學(xué)生自主證明(1)(2)，同時(shí)對(duì)于(2)，注意引導(dǎo)學(xué)生反思：當(dāng)時(shí)，向量與、與的方向的關(guān)系，此時(shí)向量與、與的夾角與向量與的夾角相等嗎？教師分析證明(3)：如右圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作，，，因?yàn)椋矗┰诜较蛏系耐队暗扔?、在方向上的投影的和，即，所以，所以，所以．【設(shè)計(jì)意圖】發(fā)現(xiàn)運(yùn)算律、明晰運(yùn)算律、證明運(yùn)算律，這樣做不僅培養(yǎng)了學(xué)生推理論證的能力，同時(shí)也增強(qiáng)了學(xué)生類比創(chuàng)新的意識(shí)，將知識(shí)的獲得和能力的培養(yǎng)有機(jī)的結(jié)合在一起．四、理解新知1．對(duì)數(shù)量積的理解平面向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的運(yùn)算，它與向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算一樣，也有明顯的物理背景和幾何意義，同時(shí)還有一系列的運(yùn)算性質(zhì)，但與向量的線性運(yùn)算不同的是：數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量而不是向量．這個(gè)數(shù)量的大小不僅和向量與的模有關(guān)，還和它們的夾角有關(guān)，數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)取決于向量與的夾角．2．靈活掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)，既可以用來(lái)證明兩向量垂直，也可以由垂直進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；(2)與可用來(lái)求向量的模，以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算向向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化．(3)不僅可以用來(lái)直接計(jì)算兩向量、的夾角，也可用來(lái)求直線的夾角(向量的夾角與向量所在直線的夾角有區(qū)別)，還可利用夾角的取值情況建立方程或不等式用于求參數(shù)的值或范圍．五、運(yùn)用新知例1．已知，，且與的夾角，求．【設(shè)計(jì)意圖】本例及拓展變式1，2均由學(xué)生自主完成，然后教師進(jìn)行答案的校對(duì)．其目的是通過(guò)計(jì)算鞏固對(duì)數(shù)量積定義的理解．解：例2．我們知道，對(duì)任意，恒有，．對(duì)于任意的向量，，是否也有下面類似的結(jié)論？(1)；(2)．【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生體會(huì)實(shí)際解題中運(yùn)算律的作用，比較向量運(yùn)算與多項(xiàng)式乘法運(yùn)算的異同．解：(1)(2)例3．已知，，且與的夾角，求．解：===．拓展變式3．已知，，與的夾角，求．答案：例4．已知，，且與不共線．為何值時(shí)，向量與互相垂直？【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)會(huì)利用數(shù)量積來(lái)解決有關(guān)垂直問題，體會(huì)運(yùn)算律的優(yōu)越性．解：與互相垂直的條件是，即．因?yàn)?，所以，所以．也就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，與互相垂直．拓展變式4：若，，，求的值．答案：．六、課堂小結(jié)1．知識(shí)方面：（1）平面向量的數(shù)量積的定義；（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義；（3）平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；（4）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律．2．思想方法方面：體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)一步提高抽象概括、推理論證的能力．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)課堂小結(jié)，使學(xué)生對(duì)本節(jié)的內(nèi)容有一個(gè)完整、系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，在培養(yǎng)概括能力的同時(shí)，也對(duì)本節(jié)課的教學(xué)效果進(jìn)行反饋．七、布置作業(yè)必做題：教材P108習(xí)題2.4A組1、2、3；B組1．選做題：已知與都是非零向量，且與垂直，與垂直求與的夾角．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)設(shè)計(jì)不同層次的作業(yè)既使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，又使學(xué)有余力的學(xué)生有所提高，從而達(dá)到激發(fā)興趣和“減負(fù)”的目的．八、教后反思1．教學(xué)設(shè)計(jì)亮點(diǎn)：通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境引入引入新課，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；以提問、猜想、討論、變式練習(xí)等方