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§2指數(shù)擴(kuò)充及其運(yùn)算性質(zhì)2.1指數(shù)概念的擴(kuò)充2.2指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)1.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念,會進(jìn)行分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化.(重點(diǎn))2.了解無理數(shù)指數(shù)冪的概念,了解無理數(shù)指數(shù)冪可以用實(shí)數(shù)指數(shù)冪逼近的思想方法.(易混點(diǎn))3.掌握指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),能熟練地進(jìn)行指數(shù)的運(yùn)算.(重難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1分?jǐn)?shù)指數(shù)冪閱讀教材P64~P66的有關(guān)內(nèi)容,完成下列問題.1.定義給定正實(shí)數(shù)a,對于任意給定的正整數(shù)m,n(m,n互素),存在唯一的正實(shí)數(shù)b,使得bn=am,把b叫作a的eq\f(m,n)次冪,記作b=,它就是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.2.幾個(gè)結(jié)論(1)正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的根式形式:=eq\r(n,am)(a>0).(2)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義:=(a>0,m,n∈N+,且n>1).(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.判斷(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)表示eq\f(2,3)個(gè)2相乘.()(2)=eq\r(m,an)(a>0,m,n∈N+,且n>1).()(3)=eq\f(1,\r(n,am))(a>0,m,n∈N+,且n>1).()【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)閱讀教材P66~P67的有關(guān)內(nèi)容,完成下列問題.若a>0,b>0,對任意實(shí)數(shù)m,n指數(shù)運(yùn)算有以下性質(zhì):(1)am·an=am+n;(2)(am)n=;(3)(ab)n=anbn;(4)當(dāng)a≠0時(shí),有eq\f(am,an)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am-nm>n,,1m=n,,a-n-mm<n;))(5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))n=eq\f(an,bn)(b≠0).++=________.【解析】原式=++=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))-1+23+eq\f(1,2)=eq\f(5,2)+8+eq\f(1,2)=11.【答案】11[小組合作型]根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.(1)eq\r(3,a)·eq\r(4,a);(2)eq\r(a\r(a\r(a)));(3)eq\r(3,a2)·eq\r(a3);(4)(eq\r(3,a))2·eq\r(ab3).【精彩點(diǎn)撥】利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的轉(zhuǎn)化式子:=eq\r(n,am)和==eq\f(1,\r(n,am))進(jìn)行轉(zhuǎn)化,注意其中字母a要使式子有意義.【嘗試解答】(1)原式=·=;(2)原式=··=;(3)原式=·=;(4)原式=()2··=.根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的關(guān)鍵與技巧:1關(guān)鍵:解決根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的相互轉(zhuǎn)化問題的關(guān)鍵在于靈活應(yīng)用a>0,m,n∈N+,且n>1.2技巧:當(dāng)表達(dá)式中的根號較多時(shí),要搞清被開方數(shù),由里向外用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式寫出來,然后再利用相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡.[再練一題]1.用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式.(1)eq\r(3,a)·eq\r(6,-a)(a<0);(2)eq\r(3,ab2\r(ab)3)(a,b>0);(3)(b<0);(4)eq\f(1,\r(3,x\r(5,x2)2))(x≠0).【解】(1)原式=·=·=(a<0);(2)原式==(·)eq\f(1,3)=(a,b>0);(3)原式=(b<0);(4)原式=.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算計(jì)算下列各式.【精彩點(diǎn)撥】(1)將負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)化為正分?jǐn)?shù)指數(shù),將小數(shù)指數(shù)化為分?jǐn)?shù)指數(shù);(2)將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.進(jìn)行分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算要熟練掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),并靈活運(yùn)用.一般地,進(jìn)行指數(shù)冪運(yùn)算時(shí),化負(fù)指數(shù)為正指數(shù),化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,化小數(shù)為分?jǐn)?shù)運(yùn)算,同時(shí)還要注意運(yùn)算順序問題.[再練一題]2.計(jì)算或化簡.[探究共研型]條件求值探究1已知+=3,求a+a-1的值.【提示】(+)2=9,∴a+a-1=7.探究2在探究1的條件下,求a2+a-2的值.【提示】(a+a-1)2=49,∴a2+a-2=47.已知eq\f(3,2)a+b=1,求eq\f(9a×3b,\r(3a))的值.【精彩點(diǎn)撥】應(yīng)先化成同底數(shù)冪的形式.解決此類問題的思路步驟如下:[再練一題]3.若x>0,y>0,且x-eq\r(xy)-2y=0,求eq\f(2x-\r(xy),y+2\r(xy))的值.【導(dǎo)學(xué)號:04100042】【解】∵x-eq\r(xy)-2y=0,x>0,y>0,∴(eq\r(x))2-eq\r(xy)-2(eq\r(y))2=0,∴(eq\r(x)+eq\r(y))(eq\r(x)-2eq\r(y))=0,由x>0,y>0得eq\r(x)+eq\r(y)>0,∴eq\r(x)-2eq\r(y)=0,∴x=4y,∴eq\f(2x-\r(xy),y+2\r(xy))=eq\f(8y-2y,y+4y)=eq\f(6,5).1.下列各式正確的是()A.(eq\r(3,a))3=a B.(eq\r(4,7))4=-7C.(eq\r(5,a))5=|a| \r(6,a6)=a【解析】(eq\r(4,7))4=7,(eq\r(3,a))3=a,(eq\r(5,a))5=a,eq\r(6,a6)=|a|,故選A.【答案】A2.計(jì)算的結(jié)果等于()\f(1,9) \f(1,3)C.±eq\f(1,3) D.-eq\f(1,3)【解析】==eq\f(1,3).【答案】B3.(1)eq\r(3,a5)=________.(2)=________.【解析】(1)eq\r(3,a5)=.(2)==eq\f(1,\r(3,a2)).【答案
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