高中數學人教A版第二章數列【全國一等獎】

第二章第2課時一、選擇題(每小題5分，共20分)1．符合遞推關系式an＝eq\r(2)an－1的數列是()A．1,2,3,4，… B．1，eq\r(2)，2,2eq\r(2)，…C．eq\r(2)，2，eq\r(2)，2，… D．0，eq\r(2)，2,2eq\r(2)，…解析：逐個驗證，故選B.答案：B2．已知an＝3n－2，則數列{an}的圖象是()A．一條直線 B．一條拋物線C．一個圓 D．一群孤立的點解析：∵an＝3n－2，n∈N*，∴數列{an}的圖象是一群孤立的點．答案：D3．在數列{an}中，an＝n，則{an}是()A．遞增數列 B．遞減數列C．常數列 D．以上都不是解析：∵an＋1－an＝(n＋1)－n＝1>0，∴數列{an}是遞增數列．答案：A4．在遞減數列{an}中，an＝kn(k為常數)，則實數k的取值范圍是()A．R B．(0，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，0]解析：∵{an}是遞減數列，∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.答案：C二、填空題(每小題5分，共10分)5．若數列{an}為遞減數列，則{an}的通項公式可能為________(填寫序號)．①an＝－2n＋1；②an＝－n2＋3n＋1；③an＝eq\f(1,2n)；④an＝(－1)n.解析：可以通過畫函數的圖象一一判斷．②有增有減，④是擺動數列．答案：①③6．數列{－2n2＋9n＋3}的最大項是第________項，最大項為________．解析：由已知an＝－2n2＋9n＋3＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(9,4)))2＋eq\f(105,8).∵n∈N*，故當n＝2時，an取到最大值13.答案：213三、解答題(每小題10分，共20分)7．已知數列{an}滿足a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,nn－1)(n≥2，n∈N*)．寫出該數列的前五項以及它的一個通項公式．解析：a1＝1，a2＝a1＋eq\f(1,2×1)＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，a3＝a2＋eq\f(1,3×2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,3)，a4＝a3＋eq\f(1,4×3)＝eq\f(5,3)＋eq\f(1,12)＝eq\f(7,4)，a5＝a4＋eq\f(1,5×4)＝eq\f(7,4)＋eq\f(1,20)＝eq\f(9,5).故數列的前5項分別為1，eq\f(3,2)，eq\f(5,3)，eq\f(7,4)，eq\f(9,5).由于1＝eq\f(2×1－1,1)，eq\f(3,2)＝eq\f(2×2－1,2)，eq\f(5,3)＝eq\f(2×3－1,3)，eq\f(7,4)＝eq\f(2×4－1,4)，eq\f(9,5)＝eq\f(2×5－1,5)，∴數列{an}的一個通項公式為an＝eq\f(2n－1,n)＝2－eq\f(1,n).8．已知數列{an}的通項公式是an＝eq\f(1,n2＋5n＋4).(1)你能判斷該數列是遞增的，還是遞減的嗎？(2)該數列中有負數項嗎？解析：(1)對任意n∈N*，∵an＋1－an＝eq\f(1,n＋12＋5n＋1＋4)－eq\f(1,n2＋5n＋4)＝eq\f(－2n＋3,[n＋12＋5n＋1＋4]n2＋5n＋4)<0，∴數列{an}是遞減數列．(2)令an<0，即eq\f(1,n2＋5n＋4)<0，∴n2＋5n＋4<0?(n＋4)(n＋1)<0∴－4<n<－1.而n∈N*，故數列{an}沒有負數項．eq\x(尖子生題庫) ☆☆☆9.(10分)已知函數f(x)＝x－eq\f(1,x)，數列{an}滿足f(an)＝－2n，且an>0.(1)求數列{an}的通項公式；(2)判斷數列{an}的增減性．解析：(1)∵f(x)＝x－eq\f(1,x)，f(an)＝－2n，∴an－eq\f(1,an)＝－2n，即aeq\o\al(2,n)＋2nan－1＝0，解得an＝－n±eq\r(n2＋1).∵an>0，∴an＝eq\r(n2＋1)－n.(2)eq\f(an＋1,an)＝eq\f(\r