高中數(shù)學(xué)人教A版第三章不等式 章末整合提升

第三章章末整合提升基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．(2023·四川理，1)設(shè)集合A＝{x|(x＋1)(x－2)<0}，集合B＝{x|1<x<3}，則A∪B＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742890)(A)A．{x|－1<x<3} B．{x|－1<x<1}C．{x|1<x<2} D．{x|2<x<3}[分析]考查集合的基本運(yùn)算和一元二次不等式的解法．解答本題先解不等式求出A，再按并集的意義求解．[解析]A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，∴A∪B＝{x|－1<x<3}，選A．2．已知a＋b>0，ab<0，那么下列不等式一定成立的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742891)(D)A．eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．a(chǎn)2<b2C．|a|>|b| D．eq\f(b,a)<1[解析]∵a＋b>0，ab<0，∴a與b一正一負(fù)，且正數(shù)的絕對(duì)值較大，由于a與b哪一個(gè)為正不能確定，故A，B，C都錯(cuò)．而eq\f(b,a)<0<1，故選D．3．不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742892)(D)A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤－1，或x≥\f(9,2)))B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1≤x≤\f(9,2)))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤－\f(9,2)或x≥1))D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(9,2)≤x≤1))[解析]解法1：取x＝1檢驗(yàn)，滿足排除A；取x＝4檢驗(yàn)，不滿足排除B，C；∴選D．解法2：化為：2x2＋7x－9≤0，即(x－1)(2x＋9)≤0，∴－eq\f(9,2)≤x≤1，選D．4．若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742893)(D)A．[0,2] B．[－2,0]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2][解析]∵2x＋2y≥2eq\r(2x＋y)，∴2eq\r(2x＋y)≤1，∴2x＋y≤eq\f(1,4)＝2－2，∴x＋y≤－2，故選D．5．x,y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0.))若z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742894)(D)A．eq\f(1,2)或－1 B．2或eq\f(1,2)C．2或1 D．2或－1[解析]如圖，z＝y(tǒng)－ax的最大值的最優(yōu)解不唯一，即直線y＝ax＋z與直線2x－y＋2＝0或x＋y－2＝0重合，∴a＝2或－1.畫出可行域，平移直線是線性規(guī)劃問題的基本解法．6．當(dāng)x∈R時(shí)，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，則k的取值范圍是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742895)(C)A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．[0,4) D．(0,4)[解析]k＝0時(shí)滿足排除A、D；k＝4時(shí)，不等為4x2－4x＋1>0，即(2x－1)2>0，顯然當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)不成立．排除B，選C．二、填空題7．設(shè)x，y滿足4x＋y＝20，且x>0，y>0，則log5x＋log5y的最大值為\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742896)[解析]∵x>0，y>0，∴20＝4x＋y≥2eq\r(4x·y)＝4eq\r(xy).∴xy≤25.等號(hào)成立時(shí)，4x＝y(tǒng).∴x＝eq\f(5,2)，y＝10.∴l(xiāng)og5x＋log5y＝log5(xy)≤log525＝2.8．已知：a、b、x、y都是正實(shí)數(shù)，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，x2＋y2＝8，則ab與xy的大小關(guān)系是ab≥\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742897)[解析]ab＝ab·(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝a＋b≥2eq\r(ab)，∴ab≥4，等號(hào)在a＝2，b＝2時(shí)成立，xy≤eq\f(x2＋y2,2)＝4，等號(hào)在x＝y(tǒng)＝2時(shí)成立，∴ab≥xy.三、解答題9．(1)設(shè)a、b、c為△ABC的三條邊，求證：a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca)；eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742898)(2)若正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范圍．[分析](1)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，各邊長(zhǎng)均為正數(shù)．再結(jié)合輪換對(duì)稱關(guān)系設(shè)法構(gòu)造三個(gè)不等式相加．(2)由ab＝a＋b＋3出發(fā)，求ab的范圍，關(guān)鍵是尋找ab與a＋b之間的聯(lián)系，由此聯(lián)想到基本不等式a＋b≥2eq\r(ab).[解析](1)∵a、b、c是△ABC的三邊，不妨設(shè)a≥b≥c>0則a>b－c≥0，b>a－c≥0，c>a－b≥0.平方得：a2>b2＋c2－2bc，b2>a2＋c2－2ac，c2>a2＋b2－2ab三式相加得：0>a2＋b2＋c2－2bc－2ac－2ab∴2ab＋2bc＋2ac>a2＋b2＋c2(2)令eq\r(ab)＝t(t>0)．∵a，b均為正數(shù)，∴ab＝a＋b＋3≥2eq\r(ab)＋3，∴t2≥2t＋3，解得t≥3或t≤－1(舍去)，∴eq\r(ab)≥3，故ab≥9，∴ab的取值范圍是[9，＋∞)．10．m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的兩根：eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742899)(1)都大于1；(2)一根大于2，一根小于2.[解析]設(shè)方程的兩根分別為x1、x2.(1)由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0,x1＋x2>2,x1－1x2－1>0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－12－32m－7≥0,\f(m－1,8)>2,\f(m－7,8)－\f(m－1,8)＋1>0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤9或m≥25,m>17,m∈R))，∴m≥25.(2)由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,x1－2x2－2<0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－12－32m－7>0,\f(m－7,8)－\f(2m－1,8)＋4<0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<9或m>25,m>27))，∴m>27.能力提升一、選擇題11．設(shè)0<b<a<1，則下列不等式成立的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742900)(C)A．a(chǎn)b<b2<1 B．logeq\f(1,2)b<logeq\f(1,2)a<0C．2b<2a<2 D．a(chǎn)2<ab[解析]取a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,3)驗(yàn)證可知選C．12．若關(guān)于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，則關(guān)于x的不等式eq\f(ax＋b,x－2)>0的解集是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742901)(B)A．(－1,2) B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C．(1,2) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)[解析]∵不等式ax－b>0的解集為(1，＋∞)．∴a>0且eq\f(b,a)＝1.∴不等式eq\f(ax＋b,x－2)>0化為eq\f(x＋1,x－2)>0，解之得x<－1或x>2，故選B．13．已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0,x－y≥0,2x－y－2≥0))，則ω＝eq\f(y－1,x＋1)的取值范圍是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742902)(D)A．[－1，eq\f(1,3)] B．[－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)]C．[－eq\f(1,2)，＋∞) D．[－eq\f(1,2)，1)[解析]作出可行域如圖所示，由于ω＝eq\f(y－1,x＋1)可理解為經(jīng)過點(diǎn)P(－1,1)與點(diǎn)(x，y)的直線的斜率，而kPA＝eq\f(0－1,1－－1)＝－eq\f(1,2)，另一直線斜率趨向1，因此ω的取值范圍為[－eq\f(1,2)，1)．二、填空題14．某公司一年需購(gòu)買某種貨物200噸，平均分成若干次進(jìn)行購(gòu)買，每次購(gòu)買的運(yùn)費(fèi)為2萬(wàn)元，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用數(shù)值(單位：萬(wàn)元)恰好為每次的購(gòu)買噸數(shù)數(shù)值，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則每次購(gòu)買該種貨物的噸數(shù)是\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742903)[解析]設(shè)每次購(gòu)買該種貨物x噸，則需要購(gòu)買eq\f(200,x)次，則一年的總運(yùn)費(fèi)為eq\f(200,x)×2＝eq\f(400,x)，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為x，所以一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用為eq\f(400,x)＋x≥2eq\r(\f(400,x)·x)＝40，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(400,x)＝x，即x＝20時(shí)等號(hào)成立．故要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每次應(yīng)購(gòu)買該種貨物20噸．15．若eq\f(m2x－1,mx＋1)＜0(m≠0)對(duì)一切x≥4恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－eq\f(1,2)).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742904)[解析]依題意，對(duì)任意的x∈[4，＋∞)，有f(x)＝(mx＋1)(m2x－1)＜0恒成立，結(jié)合圖象分析可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＜0，,－\f(1,m)＜4,\f(1,m2)＜4))，由此解得m＜－eq\f(1,2)，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－eq\f(1,2))．三、解答題16．已知a∈R，試比較eq\f(1,1－a)與1＋a的大小.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742905)[解析]eq\f(1,1－a)－(1＋a)＝eq\f(a2,1－a).①當(dāng)a＝0時(shí)，eq\f(a2,1－a)＝0，∴eq\f(1,1－a)＝1＋a.②當(dāng)a＜1且a≠0時(shí)，eq\f(a2,1－a)＞0，∴eq\f(1,1－a)＞1＋a.③當(dāng)a＞1時(shí)，eq\f(a2,1－a)＜0，∴eq\f(1,1－a)＜1＋a.綜上所述，當(dāng)a＝0時(shí)，eq\f(1,1－a)＝1＋a；當(dāng)a＜1且a≠0時(shí)，eq\f(1,1－a)＞1＋a；當(dāng)a＞1時(shí)，eq\f(1,1－a)＜1＋a.17．設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，函數(shù)F(x)＝f(x)－x的兩個(gè)零點(diǎn)為m，n(m<n).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742906)(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；(2)若a>0，且0<x<m<n<eq\f(1,a)，比較f(x)與m的大?。甗解析](1)由題意知