正弦電流電路

正弦電流電路6．1正弦電流正弦量的一般表示(以正弦電流為例)：振幅或幅值Im初相ψi角頻率ωyi=

0

O

wti

yi<

0

O

wti

yi>

0

O

wti

6．1正弦電流一、幅值Im

幅值：最大值或振幅周期量有效值：正弦量有效值：一般：正弦量的量值（大?。┲赣行е到涣鲀x表讀數(shù)、電氣設(shè)備額定值為有效值電氣設(shè)備耐壓值為最大值（方均根）

瞬時(shí)值i有效值I

6．1正弦電流二、角頻率ω，頻率f，周期T（快慢）

T：sf：Hz（或1/s）ω：rad/s工頻：f=50Hz

線性電路中，若激勵(lì)為同頻率的正弦量，電路穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也為同頻率正弦量

6．1正弦電流三、初相，相位（進(jìn)程）相位：表示變化進(jìn)程，與t有關(guān)初相：t=0時(shí)相位，與t無關(guān)相位差φ：同頻率正弦量φ>0:u超前i(i滯后u)φ<0:u滯后i(i超前u)φ=0：u、i同相φ=：u、i反相φ=：u、i正交參考正弦量：便于分析，選取某正弦量為參考，設(shè)其初相為0

（一般：）（一般：）6．1正弦電流例題：示波器顯示三個(gè)工頻正弦電壓的波形如圖所示，已知圖中縱坐標(biāo)每格表示5V。試寫出各電壓的瞬時(shí)表達(dá)式。取u1為參考正弦量，即圖中u2

比u1

越前60o

u3比u1滯后30o,于是得解：6．2正弦量的相量表示

集中參數(shù)電路受兩類約束:

元件約束：關(guān)聯(lián),R：u=Ri

L：u=Ldi/dtC：i=Cdu/dt

結(jié)構(gòu)約束：∑i=0∑u=0分析正弦電流電路求解建立電路方程(微積分方程)得時(shí)域響應(yīng)（正弦量）分析直流電路求解建立電路方程(代數(shù)方程)得直流解（常量）容易求解不易求解思考：能否采用適當(dāng)方法避免三角函數(shù)的加、減、微分、積分運(yùn)算？答案：用復(fù)數(shù)表示正弦量，用復(fù)數(shù)運(yùn)算代替正弦量運(yùn)算，可簡化運(yùn)算6．2正弦量的相量表示一、復(fù)數(shù)的表示方法1、直角坐標(biāo)式：A=a+jb

2、極坐標(biāo)式：或

---------

復(fù)平面上的點(diǎn)

--------復(fù)平面上的有向線段

其中：

6．2正弦量的相量表示二、正弦量的相量表示1．相量歐拉公式：正弦量：相量：-------最大值相量

-------有效值相量

相量的實(shí)質(zhì)就是復(fù)數(shù)6．2正弦量的相量表示2．相量圖：將相量用復(fù)平面上有向線段表示相量式：相量圖：相量圖6．2正弦量的相量表示3．正弦量與相量的關(guān)系：一一對(duì)應(yīng)解析關(guān)系：幾何表示：正弦量瞬時(shí)值=旋轉(zhuǎn)相量在實(shí)軸投影6．2正弦量的相量表示例題：分別寫出代表正弦量的相量解：切忌寫成：6．2正弦量的相量表示例題：已知電壓相量

寫出各電壓相量對(duì)應(yīng)的正弦量（設(shè)角頻率為ω）解：6．2正弦量的相量表示三、正弦量運(yùn)算與相量運(yùn)算的對(duì)應(yīng)關(guān)系1．惟一性：同頻正弦量，2．線性：同頻正弦量，3．微分規(guī)則：

（k1、k2為實(shí)數(shù)）

則

正弦量對(duì)時(shí)間求導(dǎo)運(yùn)算變換為用jω乘以對(duì)應(yīng)相量的運(yùn)算多個(gè)同頻率的正弦量相加運(yùn)算變換為相量（即復(fù)數(shù)）相加2個(gè)同頻率的正弦量相等，則對(duì)應(yīng)相量也相等，反之亦然若6．2正弦量的相量表示例題：設(shè)電感的磁鏈為正弦量它所引起的感應(yīng)電壓也是同頻率的正弦量寫出電壓相量和磁鏈相量的關(guān)系。解：當(dāng)u、i為關(guān)聯(lián)參考方向，

i和ψ的參考方向符合右螺旋定則時(shí)或6．3基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫定律時(shí)域形式：KCL：KVL：基爾霍夫定律相量形式：KCL：或集中參數(shù)正弦電路，流出（或流入）任一節(jié)點(diǎn)電流相量代數(shù)和為零。

KVL：或

集中參數(shù)正弦電路中，沿任一回路的電壓相量代數(shù)和為零。正弦量→相量正弦量運(yùn)算→相量運(yùn)算時(shí)域方程→相量方程那么，列方程的依據(jù)：結(jié)構(gòu)約束、元件約束的相量形式是什么呢？6．3基爾霍夫定律的相量形式例題：V，V求節(jié)點(diǎn)2與3之間的電壓，并畫出電壓相量圖。

解：6．4RLC元件端口特性方程的相量形式一、電阻時(shí)域模型相量模型相量圖波形圖時(shí)域方程：相量方程：

或

且大小關(guān)系相位關(guān)系6．4RLC元件端口特性方程的相量形式二、電感時(shí)域模型相量模型相量圖波形圖時(shí)域方程：相量方程：

或

且

大小關(guān)系相位關(guān)系感抗：6．4RLC元件端口特性方程的相量形式三、電容時(shí)域模型相量模型相量圖波形圖時(shí)域方程：相量方程：

或

且

大小關(guān)系相位關(guān)系

容抗：6．4RLC元件端口特性方程的相量形式綜上，由于用相量表示正弦量，用假象的模型即相量模型表示元件，用復(fù)數(shù)表示元件參數(shù)，則對(duì)應(yīng)元件的端口特性方程均為代數(shù)方程RLC元件端口特性方程的相量形式或R:L:C:歐姆定律的相量形式：6．5RLC串聯(lián)電路的阻抗研究RLC串聯(lián)電路電壓和電流的相量關(guān)系及電路性質(zhì)時(shí)域模型

相量模型

等效阻抗

相量方程：

等效阻抗：：

阻抗模阻抗角電阻電抗阻抗感抗容抗6．5RLC串聯(lián)電路的阻抗RLC串聯(lián)電路等效阻抗：阻抗模：阻抗角：

φ>0:u超前于i，呈感性φ<0:u滯后于i，呈容性φ=0:u與i同相，呈阻性歐姆定律的相量形式：

或6．5RLC串聯(lián)電路的阻抗相量圖串聯(lián)電路中由于各元件流過同一電流，所以宜選擇電流相量為參考相量（對(duì)應(yīng)時(shí)域中的參考正弦量）R、L、C串聯(lián)電路電壓相量圖組成直角三角形相量圖相量模型

仿照矢量求和（感性電路）6．5RLC串聯(lián)電路的阻抗例題：一個(gè)電阻R=15、電感L=12mH的線圈與C=5μF的電容器相串聯(lián)，接在電壓V的電源上，=5000rad/s。試求電流i、電容器端電壓uC和線圈端電壓uW

。=15+j20解：A6．6GCL并聯(lián)電路的導(dǎo)納研究RLC并聯(lián)電路電壓和電流的相量關(guān)系及電路性質(zhì)時(shí)域模型

相量模型

等效導(dǎo)納

相量方程：

等效導(dǎo)納：：導(dǎo)納模導(dǎo)納角電導(dǎo)電納導(dǎo)納感納容納6．6GCL并聯(lián)電路的導(dǎo)納導(dǎo)納模：導(dǎo)納角：GCL并聯(lián)電路等效導(dǎo)納：>0:i超前于u，呈容性

<0:i滯后于u，呈感性

=0:u與i同相，呈阻性歐姆定律的相量形式：

阻抗與導(dǎo)納的等效變換：

或6．6GCL并聯(lián)電路的導(dǎo)納相量圖并聯(lián)電路中由于各元件承受同一電壓，所以宜選擇電壓相量為參考相量（對(duì)應(yīng)時(shí)域中的參考正弦量）相量圖相量模型

（容性電路）6．6GCL并聯(lián)電路的導(dǎo)納正弦電路的等效電路隨頻率的不同而改變例題：有一GCL并聯(lián)電路，其中G=2mS,L=1H,

C=1uF。試在頻率為50Hz和400Hz兩種情況下求其串聯(lián)等效電路的參數(shù)。解：等效阻抗：

并聯(lián)等效導(dǎo)納：

50Hz：

Z≈(164+j235)Ω400Hz：

Z≈(236-j250)Ω6．7正弦電流電路的相量分析法得時(shí)域響應(yīng)表達(dá)式××建立微積分方程(時(shí)域分析過程)線性正弦電流電路相量變換相量電路模型相量解相量反變換相量方程（復(fù)系數(shù)代數(shù)方程）線性直流電路分析方法相量形式解復(fù)系數(shù)線性代數(shù)方程6．7正弦電流電路的相量分析法例題：判斷對(duì)錯(cuò)（掌握阻抗的串、并聯(lián)，分流、分壓）

U=16V（）I=8A（）I=8A（）U=36V（）√×××解1：設(shè)電流為參考相量，

各元件電壓電流取關(guān)聯(lián)

相量圖法6．7正弦電流電路的相量分析法例題6.9：已知各元件的阻抗模相等，交流電流表A1讀數(shù)為3A，求A2和A3讀數(shù)解1：取電壓為參考相量作相量圖，

I1=IR=IL=IC=I3=3A，I2=IR=3AA2和A3讀數(shù)為和3A解2：取電壓為參考相量，則：(相量圖法)6．7正弦電流電路的相量分析法相量分析法的一般步驟:③②①時(shí)域電路相量電路求解相量電路,得到相量解答將相量解變換成時(shí)域解①②③6．7正弦電流電路的相量分析法例6.10：圖中，，，，求電流。解：將時(shí)域電路變換為相量電路（等效變換法）6．7正弦電流電路的相量分析法例題6.11：已知電路中，，w=100rad/s。試用支路電流法求電流i1。解：節(jié)點(diǎn)KCL方程回路KVL方程l1l2i1i41uS+-

11iS0.01H0.01Fi2i321mmmmmm6．7正弦電流電路的相量分析法例題：列寫回路電流方程解：回路電流方程的相量形式6．7正弦電流電路的相量分析法例題6.13：圖示電路中

g=1S，，w=1rad/s。列寫節(jié)點(diǎn)電壓方程解：

列寫節(jié)點(diǎn)電壓方程：自導(dǎo)納互導(dǎo)納+-uS1F1Hu2+-1FiS1WgU2126．7正弦電流電路的相量分析法例題：列寫圖示電路的改進(jìn)節(jié)點(diǎn)電壓方程分析：理想變壓器是二端口元件，其端口電壓、電流不服從歐姆定律，所以不能用自導(dǎo)納和互導(dǎo)納表示其參數(shù)。這時(shí)應(yīng)采用改進(jìn)節(jié)點(diǎn)電壓法，即增加端口電流、為變量。

由于除了節(jié)點(diǎn)電壓變量外，又增加了電流變量、因此稱之為改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法。類似含純電壓源電路。

聯(lián)立求解6．7正弦電流電路的相量分析法例題：已知當(dāng)C=0.05F時(shí)，求當(dāng)

C=0.25F時(shí)，iC=？（定理法）解：構(gòu)造戴維南等效電路（1）先求等效阻抗（2）再求開路電壓相量（3）求響應(yīng)當(dāng)C=0.05F時(shí)6．8含互感元件的正弦電流電路一、互感元件的相量模型：時(shí)域模型相量模型

端口特性方程時(shí)域頻域6．8含互感元件的正弦電流電路二、計(jì)算方法：1、列方程法（宜用：支路電流法、回路電流法）例題：列出示電路的方程解：用支路電流法列方程法互感消去法消去、得

(5)6．8含互感元件的正弦電流電路2、互感消去法互感串聯(lián)、并聯(lián)、T形連接無聯(lián)接點(diǎn)時(shí)的傳輸和變換作用一次側(cè)等效阻抗：

從原邊看，相當(dāng)于無獨(dú)立源交流一端口網(wǎng)絡(luò)，可用阻抗來等效。6．8含互感元件的正弦電流電路例題：求圖(a)電路的戴維南等效電路。解：（1）先求開路電壓（2）再求戴維南等效阻抗（3）等效戴維南電路如圖獨(dú)立源置零6．9正弦電流電路的功率本節(jié)研究問題：正弦一端口電路的功率一、瞬時(shí)功率正弦電流一端口：關(guān)聯(lián)，吸收的瞬時(shí)功率：①

②反映一端口吸收或者發(fā)出電能平均值等于零。反映一端口與外部電路交換能量。正弦電路瞬時(shí)功率實(shí)用價(jià)值不大，更關(guān)心功率的平均效果6．9正弦電流電路的功率二、平均功率平均功率：功率因數(shù)：功率因數(shù)角：正弦電路中，同相位電壓和電流產(chǎn)生的平均功率等于其有效值之積；相位正交的電壓和電流不產(chǎn)生平均功率。元件功率：

單位：W、mW……6．9正弦電流電路的功率三、無功功率為了反映一端口與外電路之間的能量互換情況，引入無功功率的概念設(shè)感性一端口，吸收平均功率為：電流無功分量電流有功分量無功功率：

有功功率：單位：乏（Var)相量圖6．9正弦電流電路的功率四、視在功率

視在功率的定義有功功率無功功率表示電氣設(shè)備容量，單位伏安（VA）P、Q、S三者的關(guān)系可通過功率三角形描述功率三角形

6．9正弦電流電路的功率五、功率因數(shù)的提高：目的：

1、提高電氣設(shè)備的利用率。在視在功率一定時(shí)，功率因數(shù)越大，有功功率越大例如：容量（額定視在功率）為1000kVA的變壓器，如果所接負(fù)載的功率因數(shù)為1，則其可傳輸?shù)钠骄β蕿?000kW；當(dāng)負(fù)載功率因數(shù)為時(shí)，變壓器只能傳輸500kW的平均功率。

2、通過減少線路電流來減小線路損耗。當(dāng)發(fā)電機(jī)的電壓和輸出功率一定時(shí)，功率因數(shù)越大，端電流越小，線路的功率損耗越小。6．9正弦電流電路的功率五、功率因數(shù)的提高：方法：感性負(fù)載并聯(lián)電容相量圖分析：LR-+分析結(jié)果：---無功補(bǔ)償法6．9正弦電流電路的功率例題：在工頻條件下測得某線圈的端口電壓、電流和功率分別為100V、5A和300W。求此線圈的功率因數(shù)、等效電阻和等效電感。解：LR-+6．9正弦電流電路的功率例題：感性負(fù)載Z接于220V、50Hz正弦電源上，負(fù)載的平均功率和功率因數(shù)分別為2200W和。求并聯(lián)電容前電源電流、無功功率和視在功率。并聯(lián)電容，將功率因數(shù)提高到，求電容大小、并聯(lián)后電源電流、無功功率和視在功率。解：（1）φ?（2）6．10復(fù)功率復(fù)功率：人為構(gòu)造出的復(fù)數(shù)，方便用相量法直接計(jì)算P、Q、S，它不代表正弦量和相量對(duì)阻抗：

（X>0:感性無功X<0:容性無功）

復(fù)功率等于電壓相量與電流相量共軛的乘積單位：VA

6．10復(fù)功率2、復(fù)功率守恒：各支路“吸收”（或“發(fā)出”）的復(fù)功率代數(shù)和為零則：

平均功率守恒：（各電源發(fā)出的平均功率之和等于各負(fù)載吸收的平均功率之和）無功功率守恒：（各電源“發(fā)出”無功功率代數(shù)和等于各負(fù)載“吸收”無功功率代數(shù)和）6．10復(fù)功率例題6.19：