高中數(shù)學(xué)人教A版第二章平面向量平面向量的實際背景及其基本概念 省一等獎

平面向量的實際背景及基本概念同步檢測一、選擇題1.下列說法中錯誤的是()A.零向量是沒有方向的B.零向量的長度為0C.零向量與任一向量平D.零向量的方向是任意的答案：A解析：解答：本題主要考查零向量的概念，對于選項A,零向量的方向是任意的，故錯誤；零向量的方向是任意的；零向量與任一向量平行；故A是錯誤的.分析：由題根據(jù)零向量的概念進(jìn)行分析即可.2.下列各量中不是向量的是()A.浮力B.風(fēng)速C.位移D.密度答案：D解析：解答：密度只有大小沒有方向.分析：由題根據(jù)所給物理量結(jié)合向量的定義進(jìn)行分析即可.3.如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，則以圖中點A、B、C、D、E、F、O中的任一點為始點，與始點不同的另一點為終點的所有向量中，除向量外，與向量共線的向量共有()答案：D解析：解答：本題主要考查向量的表示與向量共線的向量有共9個，故選D.分析：由題結(jié)合所給圖形，根據(jù)共線向量的定義進(jìn)行觀察即可.4.設(shè)是兩個單位向量，則下列結(jié)論中正確的是()A.B.C.D.答案：D解析：解答：由題根據(jù)單位向量長度為1，方向不定，不難得到所有單位向量的模相等，故選D.分析：本題主要考查了單位向量的定義，根據(jù)定義集合選項不難解決問題.5.下列命題正確的是()與b,b與ｃ共線，則a與c也共線B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點C.向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D.有相同起點的兩個非零向量不平行答案：C解析：解答：題主要考查向量的概念，由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關(guān)，所以Ｄ不正確；對于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若a與ｂ不都是非零向量，即a與ｂ至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有a與ｂ共線，不符合已知條件，所以有a與ｂ都是非零向量，所以應(yīng)選C.分析：有關(guān)平行向量與共線向量、相等向量與相反向量的定義屬于平時練習(xí)和考試的常考知識點，一定要認(rèn)真理解，準(zhǔn)確運用，難度不大.6.某人先向正東方向走了xkm，然后他向右轉(zhuǎn)90°，向新的方向走了3km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好為km，那么x的值為()A.B.D.或答案：B解析：解答：本題主要考查向量的概念，依題意，由勾股定理可得，故選B.分析：本題主要考查了向量的基本概念的物理背景，難度不大，主要是根據(jù)所學(xué)余弦定理計算路程，然后得到位移即可.7.下列命題中正確的是()A.若兩個向量相等,則它們的起點和終點分別重合.B.模相等的兩個平行向量是相等向量.C.若和都是單位向量,則.D.兩個相等向量的模相等.答案：D解析：解答：本題主要考查向量的概念，根據(jù)向量相等的定義易知兩個相等向量的模相等，故選D；對于選項A，若兩個向量相等,則它們的起點和終點不一定相等的；選項B：模相等的兩個平行向量是相等向量是錯誤的，可以是方向相反的向量；C.若a和b都是單位向量,則模是相等的，但是兩個向量不一定相等；D.兩個相等向量的模相等是正確的.分析：本題主要考查了相等向量，解決問題的根據(jù)是根據(jù)相等向量的定義就發(fā)現(xiàn)解決即可.8.與反向的單位向量是()AB.C.D.答案：C解析：解答：本題主要考查單位向量的概念，與反向的單位向量.分析：本題主要考查了單位向量與相反向量，解決問題的關(guān)鍵是首先計算出所求向量的單位向量，然后根據(jù)方向相反得到結(jié)果.9.如圖，D、E、F分別是△ABC邊AB，BC，CA上的中點，有下列4個結(jié)論：①；②；③；④.其中正確的為()A.①②④B.①②③C.②③D.①④答案：B解析：解答：由題根據(jù)所給圖形滿足條件結(jié)合對應(yīng)向量的關(guān)系不難得到，，，，所以①②③正確，故選B.分析：本題主要考查了向量的模、相等向量、平行向量，解決問題的根據(jù)是結(jié)合所給圖形對應(yīng)的向量滿足的幾何關(guān)系結(jié)合向量的有關(guān)對應(yīng)進(jìn)行分析解決.10.如圖所示,等腰梯形ABCD中,對角線AC與BD交于點P,點E,F分別在兩腰AD,BC上,EF過點P,且EF∥AB,則下列等式成立的是()A.B.C.D.答案：D解析：解答：根據(jù)相等向量的定義,分析可得:A中,與的方向不同,故錯誤;B中,與的方向不同,故錯誤;C中,與的方向相反,故錯誤;D中,與的方向相同,且長度都等于線段EF長度的一半,故正確分析：本題主要考查了相等向量與相反向量，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)所給圖形對應(yīng)向量滿足的條件結(jié)合相等向量與相反向量的定義進(jìn)行發(fā)現(xiàn)解決即可.11.下列命題中正確的個數(shù)是()①向量與是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上；②向量與向量平行，則方向相同或相反；③若下列向量、滿足，且與同向，則；④若，則的長度相等且方向相同或相反；⑤由于零向量方向不確定，故不能與任何向量平行.答案：A解析：解答：本題主要考查向量的概念①錯誤，把共線向量與平面幾何中的共線“混淆”；②錯誤，忽視了如果其中有一個是零向量，則其方向不確定；③錯誤，把向量與實數(shù)混為一談，事實上向量不能比較大小；④錯誤，由，只能說明的長度相等，確定不了方向；⑤錯誤，不清楚零向量的概念.規(guī)定零向量與任一向量平行.故選A.分析：本題主要考查了零向量、單位向量、平行向量與共線向量、相等向量與相反向量，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)所給向量滿足條件結(jié)合定義進(jìn)行分析解決.12.下列說法正確的個數(shù)是()①若向量a,b共線,向量b,c共線,則a與c也共線;②任意兩個相等的非零向量的起點與終點是一平行四邊形的四個頂點;③向量a與b不共線,則a與b都是非零向量;④若a=b,b=c,則a=c.答案：B解析：解答：由于零向量與任意向量都共線,故當(dāng)b為零向量時,a,c不一定共線,所以①不正確;兩個相等的非零向量可以在同一直線上,故②不正確;向量a與b不共線,則a與b都是非零向量,否則不妨設(shè)a為零向量,則a與b共線,與a與b不共線矛盾,故③正確;a=b,則a,b的長度相等且方向相同;b=c,則b,c的長度相等且方向相同,所以a,c的長度相等且方向相同,故a=c,④正確.分析：本題主要考查了平行向量與共線向量、相等向量與相反向量，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)所給向量滿足條件結(jié)合向量有關(guān)的定義進(jìn)行發(fā)現(xiàn)解決即可.13.已知O點固定,且=2,則符合題意的A點構(gòu)成的圖形是()A.一個點B.一條直線C.一個圓D.不能確定答案：C解析：解答：∵=2,∴終點A到起點O的距離為2,又O點固定,∴A點的軌跡是以O(shè)為圓心,2為半徑的圓,故選C.分析：本題主要考查了向量的模、向量的幾何表示，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)向量的模結(jié)合向量的模的幾何意義進(jìn)行分析即可.14.若a為任一非零向量,b的模為1,下列各式:①|(zhì)a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1.其中正確的是()A.①④B.③C.①②③D.②③答案：B解析：解答：①中,|a|的大小不能確定,故①錯誤;②中,兩個非零向量是否平行取決于兩個向量的方向,故②錯誤;④中,向量的模是一個非負(fù)實數(shù),故④錯誤;③正確.選B分析：本題主要考查了向量的模，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)向量不能比較大小，向量的?？梢员容^大小，向量是有方向和長度的量.15.有下列四個命題：①時間、速度、加速度都是向量；②向量的模是一個正實數(shù)；③所有單位圓上以圓心為起點以終點為在圓上向量都相等；④共線向量一定在同一直線上，其中真命題的個數(shù)是()答案：A解析：解答：本題主要考查向量的概念，時間不是向量；向量的模是非實數(shù)；單位向量的模相等但方向不一定相同；共線向量可以在一條直線上，也可用分別在互相平行的直線上.故選A.分析：本題主要考查了向量的物理背景與概念、向量的模、向量的幾何表示、平行向量與共線向量，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)向量的有關(guān)定義進(jìn)行分析即可.二、填空題16.有下面命題;①平行向量的方向一定相同；②共線向量一定是相等向量；③相等向量一定是共線向量，不相等向量一定不共線；④起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量；⑤相等向量、若起點不同，則終點一定不同；⑥不相等的向量一定不平行；其中正確命題的序號是答案：⑤④解析：解答：主要考查向量的概念①錯，兩向量方向相同或相反都是共線向量；②③⑥均錯，共線向量也叫平行向量，對向量的長度沒有要求，共線向量不一定是相等，相等向量一定共線，不相等向量可以是共線向量，如兩個向量的共線，但是可以不相等的向量.分析：本題主要考查了平行向量與共線向量、相等向量與相反向量，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)定義進(jìn)行分析即可.17.某A地位于B地正西方向5km處，C地位于A地正北方向5km處，則C地相對于B地的位移是________.答案：西北方向解析：解答：由題根據(jù)A,B,C三地的位置關(guān)系結(jié)合勾股定理不難得到,結(jié)合方位角不難得到C地相對于B地的位移是西北方向.分析：本題主要考查了向量的物理背景與概念，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)實際情況進(jìn)行計算，然后寫出對應(yīng)位移即可.18.把平面上所有單位向量都移動到共同的起點,那么這些向量的終點所構(gòu)成的圖形是.答案：以單位長度為半徑的圓解析：解答：由題根據(jù)所給問題所有向量組成了以單位長度為半徑的圓.分析：本題主要考查了單位向量、向量的幾何表示，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)所給向量滿足條件結(jié)合向量的幾何意義進(jìn)行分析即可.19.在四邊形ABCD中,,則這個四邊形的形狀是.答案：平行四邊形解析：解答：由,可得DC與AB平行且相等，所以四邊形ABCD是平行四邊形分析：本題主要考查了相等向量，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)相等向量定義結(jié)合向量的幾何意義進(jìn)行分析即可.20.如圖所示,O是正三角形ABC的中心;四邊形AOCD和AOBE均為平行四邊形,則與向量相等的向量有;與向量共線的向量有;與向量的模相等的向量有.(填圖中所畫出的向量)答案：||解析：解答：∵O是正三角形ABC的中心,∴OA=OB=OC,∴結(jié)合相等向量及共線向量定義可知:與相等的向量有;與共線的向量有；與的模相等的向量有.分析：本題主要考查了向量的模、相等向量與相反向量、平行向量與共線向量，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)所給向量滿足的幾何關(guān)系結(jié)合圖形及向量的有關(guān)定義進(jìn)行發(fā)現(xiàn)解決即可.三、解答題21.用向量表示小船的下列位移(用1∶500000的比例尺)(1)由A地向東北方向航行15km到達(dá)B地;答案：解：B地在A地的東北方向,即B地在A地北偏東45°方向,線段AB的長度畫為3cm即可.如圖所示.(2)由A地向西偏北60°方向航行20km到達(dá)C地,再由C地向正南方向航行25km到達(dá)D地.答案：解：由于C地在A地的西偏北60°方向,則線段AC與表示正北方向的線的夾角為30°,且線段AC的長度畫為4cm;D地在C地的正南方向,則畫豎直向下的線段,長度為5cm即可,連接AD,即為所求位移.如圖所示.解析：分析：本題主要考查了向量的物理背景與概念，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)有關(guān)方位角的知識進(jìn)行發(fā)現(xiàn)計算即可.22.如圖所示的方格紙由若干個邊長為1的小正方形并在一起組成,方格紙中有兩個定點A,B,點C為小正方形的頂點,且(1)畫出所有的向量;答案：解：畫出所有的向量如圖所示.(2)求||的最大值與最小值.答案：解：由(1)所畫的圖知,①當(dāng)點C位于點C1或C2時,||取得最小值；②當(dāng)點C位于點C5和C6時,|BC|取得最大值.∴||的最大值為,最小值為.解析：分析：本題主要考查了向量的模、向量的幾何表示，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)所給向量滿足的幾何關(guān)系進(jìn)行作圖計算即可.23.已知O是正方形ABCD對角線的交點,在以O(shè),A,B,C,D這5點中任意一點為起點,另一點為終點的所有向量中,寫出:(1)與相等的向量;答案：解：畫出圖形,如圖所示.易知BC∥AD,BC=AD,所以與相等的向量為(2)與長度相等的向量;答案：解：由（1）圖像得：O是正方形ABCD對角線的交點知OB=OD=OA=OC,所以與長度相等的向量為.(3)與共線的向量.答案：解：由（1）圖像得：與共線的向量為.解析：分析：本題主要考查了平共線向量、相等向量的有關(guān)概念，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)所給向量滿足的條件進(jìn)行正確作圖，然后觀察所求向量即可.24.如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且.(1)與的模相等的向量有多少？答案：解：與的模相等的向量有23個(2)與的長度相等，方向相反的向量有哪些？答案：解：與的長度相等，方向相反的向量有(3)與共線的向量有哪些？答案：解：與共線的向量有(4)請一一列出與相等的向量.答案：解：與相等的向量有：；與相等的向