高中數(shù)學(xué)蘇教版1第3章空間向量與立體幾何-參賽作品

3.1.3空間向量基本定理課時(shí)目標(biāo)1.掌握空間向量基本定理.2.能正確選擇合適基底，并正確表示空間向量．1．空間向量基本定理如果三個(gè)向量e1，e2，e3不共面，那么對空間任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得______________________．由此可知，如果三個(gè)向量e1，e2，e3不共面，那么空間的每一個(gè)向量組成的集合就是________________________________．這個(gè)集合可看作是由向量e1，e2，e3生成的，我們把__________叫做空間的一個(gè)基底，____________都叫做基向量．空間任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底．2．正交基底與單位正交基底如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量是______________，那么這個(gè)基底叫做正交基底，當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是______________時(shí)，稱這個(gè)基底為單位正交基底，通常用____________表示．3．推論設(shè)O，A，B，C是__________的四點(diǎn)，則對空間任意一點(diǎn)P，都存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得______________________．一、填空題1．若存在實(shí)數(shù)x、y、z，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))成立，則下列判斷正確的是________．(寫出正確的序號)①對于某些x、y、z的值，向量組{eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))}不能作為空間的一個(gè)基底；②對于任意的x、y、z的值，向量組{eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))}都不能作為空間的一個(gè)基底；③對于任意的x、y、z的值，向量組{eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))}都能作為空間的一個(gè)基底；④根據(jù)已知條件，無法作出相應(yīng)的判斷．2.設(shè)O-ABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點(diǎn)，且eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，則(x，y，z)為____________．3．在以下3個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是________．①三個(gè)非零向量a，b，c不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a，b，c共面；②若兩個(gè)非零向量a，b與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a，b共線；③若a，b是兩個(gè)不共線向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，則{a，b，c}構(gòu)成空間的一個(gè)基底．4．若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個(gè)基底的是________．(寫出符合要求的序號)①a,2b,3c；②a＋b，b＋c，c＋a；③a＋2b,2b＋3c,3a－④a＋b＋c，b，c.5．已知點(diǎn)A在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j(luò)＋k，c＝k＋i，則點(diǎn)A在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)是______________．6．下列結(jié)論中，正確的是________．(寫出所有正確的序號)①若a、b、c共面，則存在實(shí)數(shù)x，y，使a＝xb＋yc；②若a、b、c不共面，則不存在實(shí)數(shù)x，y，使a＝xb＋yc；③若a、b、c共面，b、c不共線，則存在實(shí)數(shù)x，y，使a＝xb＋yc；④若a＝xb＋yc，則a、b、c共面．7.如圖所示，空間四邊形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，點(diǎn)M在OA上且OM＝MA，BN＝eq\f(1,2)NC，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝__________________.8．命題：①若a與b共線，b與c共線，則a與c共線；②向量a、b、c共面，則它們所在的直線也共面；③若a與b共線，則存在惟一的實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.上述命題中的真命題的個(gè)數(shù)是________．二、解答題9．已知向量{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，那么向量a＋b，b＋c，c＋a能構(gòu)成空間的一個(gè)基底嗎？為什么？10.如圖所示，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)（1）化簡：eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))；(2)設(shè)E是棱DD1上的點(diǎn)且eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up6(→))，若eq\o(EO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，試求x、y、z的值．能力提升11.如圖所示，已知平行六面體ABCD—A′B′C′D′.求證：eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(AD′,\s\up6(→))＝2eq\o(AC′,\s\up6(→)).12.如圖所示，空間四邊形OABC中，G、H分別是△ABC、△OBC的重心，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，試用向量a、b、c表示向量eq\o(GH,\s\up6(→)).1．空間的一個(gè)基底是空間任意三個(gè)不共面的向量，空間的基底可以有無窮多個(gè)．一個(gè)基底是不共面的三個(gè)向量構(gòu)成的一個(gè)向量組，一個(gè)基向量指一個(gè)基底的某一個(gè)向量．2．利用向量解決立體幾何中的一些問題時(shí)，其一般思路是將要解決的問題用向量表示，用已知向量表示所需向量，對表示出的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，最后再將運(yùn)算結(jié)果轉(zhuǎn)化為要解決的問題．3．空間向量基本定理知識梳理1．p＝xe1＋ye2＋ze3{p|p＝xe1＋ye2＋ze3，x，y，z∈R}{e1，e2，e3}e1，e2，e32．兩兩互相垂直單位向量{i，j，k}3．不共面eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))作業(yè)設(shè)計(jì)1．①解析當(dāng)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共面時(shí)，則eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))共面，故不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底．2．(eq\f(1,4)，eq\f(1,4)，eq\f(1,4))解析因?yàn)閑q\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OG1,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AG1,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)×eq\f(2,3)[eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))]＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)[(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))，而eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(1,4)，z＝eq\f(1,4).3．2解析命題①，②是真命題，命題③是假命題．4．①②④解析∵－3(a＋2b)＋3(2b＋3c)＋(3a－9c)∴3a－9c＝3(a＋2b)－3(2b＋3即三向量3a－9c，a＋2b,2b＋35．(12,14,10)解析設(shè)點(diǎn)A在基底{a，b，c}下對應(yīng)的向量為p，則p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋＝12i＋14j＋10k，故點(diǎn)A在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)為(12,14,10)．6．②③④解析要注意共面向量定理給出的一個(gè)充要條件．所以第②個(gè)命題正確．但定理的應(yīng)用又有一個(gè)前提：b、c是不共線向量，否則即使三個(gè)向量a、b、c共面，也不一定具有線性關(guān)系，故①不正確，③④正確．7．－eq\f(1,2)a＋eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c8．09．解假設(shè)a＋b，b＋c，c＋a共面，則存在實(shí)數(shù)λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}為基底，∴a，b，c不共面．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝μ，,1＝λ，,0＝λ＋μ.))此方程組無解．∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作為空間的一個(gè)基底．10．解(1)∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→)).(2)∵eq\o(EO,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，z＝－eq\f(2,3).11．證明因?yàn)槠叫辛骟w的六個(gè)面均為平行四邊形，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))，eq\o(AD′,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)).所以eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(AD′,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝2(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))．又因?yàn)閑q\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(CC′,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→))，故eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(AD′,\s\up6(→))＝2eq\o(AC′,\s\up6(→)).12．解eq\o