【教案】任意角教學設計（第1課時）（王立道）-高中數(shù)學新教材必修第一冊小單元教學+專家指導（視頻+教案）

課題：5.1.1任意角（第1課時）(一)教學內(nèi)容：；象限角；終邊相同的角．(二)教學目標1.知識目標：理解任意角的概念(包括正角、負角、零角)與區(qū)間角的概念.2.能力目標：會建立直角坐標系討論任意角,能判斷象限角,會書寫終邊相同角的集合;掌握區(qū)間角的集合的書寫.3.素養(yǎng)目標：提高學生的推理能力;培養(yǎng)學生應用意識.(三)教學重點和難點重點：任意角的概念，象限角的表示；難點：終邊相同角的集合的表示;區(qū)間角的集合的書寫.教學過程設計問題1：初中所學的角是如何定義？角的范圍？師生活動：1.學生回顧知識，給出答案；2.教師指明，規(guī)范問題答案。有公共端點的兩射線組成的幾何圖形叫角.角的范圍：0°～360°。追問：實際生活中是否有些角度超出初中所學的范圍？師生活動：學生思考，教師多媒體出示出示體操比賽以及齒輪傳動的圖片。(體操:“前空翻轉體度”，“后空翻轉體度”。齒輪：被動輪與主動輪的旋轉方向相反(順、逆時針).)追問：這些角的不同，體現(xiàn)在哪幾個方面？一是旋轉量；二是旋轉方向.師生活動：學生討論總結，教師點撥，雖然我們過去學習了“0°～360°”內(nèi)的角，但在上述問題中，很顯然，我們發(fā)現(xiàn)了僅有范圍內(nèi)的角是不夠的，我們必須將角的概念進行推廣，這就是我們本節(jié)課要學習的內(nèi)容——任意角.（板書課題）設計意圖：通過復習初中角的概念，創(chuàng)設課堂情境與生活實例，使學生產(chǎn)生認知上的沖突，說明角的概念的推廣的必要性，引入本節(jié)新課,建立知識間的聯(lián)系，提高學生概括、類比推理的能力。追問：請學生思考，如何定義角才能解決這些問題呢？師生活動：學生總結，教師板書任意角角的概念。角描述定義角可以看成是平面內(nèi)一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形表示其中O為頂點，OA為始邊，OB為終邊記法角或，或簡記為問題2：根據(jù)旋轉方向的不同，角可以分為哪幾類？分別是什么？師生活動：（動畫演示）拖動點B可以進行逆時針旋轉和順時針旋轉發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律。我們規(guī)定：一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角；按順時針方向旋轉形成的角叫做負角；如果一條射線沒有作任何旋轉,我們稱它形成了一個零角,零角的始邊和終邊重合,如果是零角,那么。這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角.問題3：如何畫一個任意角，作圖時注意的要點有哪些？師生活動：教師演示作圖，讓學生概括作圖要點。已知，那么圖中紅線標注的角是沿逆時針方向旋轉了的角，所以它等于畫圖表示一個大小一定的角，先畫一條射線作為角的始邊，再由角的正負決定旋轉方向，再由角的絕對值大小確定角的旋轉量，畫出角的終邊，并用帶箭頭的螺旋線加以標注.練習1：畫出下列各角：?！咎崾尽吭O計意圖：通過畫正角、負角，讓學生進一步理解任意角的概念，提高學生分析問題、概括能力。問題4：根據(jù)你對任意角概念的理解，如果兩條射線旋轉的方向相同，旋轉量相同，則兩個角有什么樣的大小關系？設角由射線OA繞端點O旋轉而成，角由射線繞端點旋轉而成．如果它們的旋轉方向相同且旋轉量相等，那么就稱．追問：那么兩角相加又是怎樣規(guī)定的？設，是任意兩個角．我們規(guī)定，把角的終邊旋轉角，這時終邊所對應的角是.問題5：你知道什么是互為相反角嗎？兩角怎樣相減？師生活動：教師點撥。類似于實數(shù)的相反數(shù)是，我們引入任意角的相反角的概念.我們把射線OA繞端點O按不同方向旋轉相同的量所成的兩個角叫做互為相反角.角的相反角記為.于是，像實數(shù)減法的“減去一個數(shù)對于加上這個數(shù)的相反數(shù)”一樣，我們有.這樣，角的減法可以轉化為角的加法.設計意圖：通過概念學習，讓學生進一步理解任意角的概念，提高學生分析問題、概括能力。練習2：作圖表示與設計意圖：讓學生嘗試定義角的相等和加減法，體會定義的合理性。問題6：為了進一步研究角的需要，我們常在直角坐標系內(nèi)研究角，那么其頂點和始邊的位置是如何規(guī)定的？對一個任意角，角的終邊可能落在哪些位置?又可以把角分為哪幾類？我們通常在坐標系內(nèi)討論角．為了方便，我們把角的頂點固定在原點，角的始邊與x軸的非負半軸重合．那么，角α的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角．例如，上圖中的30°角、-120°角分別是第一象限角和第三象限角.如果角的終邊在坐標軸上，那么就認為這個角不屬于任何一個象限.師生活動：1.學生認真分析可能性，回答問題，并嘗試在草稿紙上畫出各個象限角；2.教師引導學生思考并回答問題，給出答案，再用多媒體展示事先畫好的角，供同學們對照修改，并指出角的大小與終邊落在第幾象限沒有直接聯(lián)系。追問：在直角坐標系內(nèi)討論角有什么好處呢？在直角坐標系中討論角可以很好地表現(xiàn)角的“周而復始”的變化規(guī)律。練習3：那么下列各角：－50°，405°，210°，－200°，－450°，分別是第幾象限的角？師生活動：學生在草稿紙上自行畫出角，觀察體會角的終邊的位置，下回答后面的相關問題。追問：銳角是第幾象限角?第一象限角一定是銳角嗎?銳角是第一象限角，第一象限角不一定是銳角。追問：第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小.設計意圖：通過思考，進一步理解象限角的概念，提高學生解決問題的能力。問題7：在直角坐標系中作出下列各角：-32°，328°，-392°它們是第幾象限的角？這些角有什么內(nèi)在聯(lián)系？師生活動：學生在草稿紙上自行畫出角，觀察體會三個角的終邊的位置，并在教師指導下回答后面的相關問題，感受終邊相同的角；我們發(fā)現(xiàn)，，這三個角都是第四象限角，它們的終邊相同。也就是說，對于直角坐標系內(nèi)任意一條射線OB，以它為終邊的角不唯一．追問：還有沒有與角終邊相同的角？它們與角有什么關系？有，且與角終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差3600的整數(shù)倍。追問：所有與-32°角終邊相同的角，連同-32°角在內(nèi)，可構成一個集合S，你能用描述法表示集合S嗎？追問：將推廣到一般角，連同角在內(nèi)所構成的集合S可以怎樣表示？師生活動：教師總結和板書，終邊相同的角的概念。一般地，我們有：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構成一個集合，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和。設計意圖：通過對特殊角之間關系的研究得到一般性的結論。提高學生的觀察、概括能力。例1在～范圍內(nèi)，找出與角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角．，所以在～范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是，它是第二象限角．師生活動：學生思考，教師黑板上板書例題設計意圖：通過例題的講解讓學生進一步理解終邊相同的角，提高學生解決與分析問題的能力。例2寫出終邊在y軸上的角的集合．解：終邊落在y軸非負半軸上的角構成集合，終邊落在y軸非正半軸上的角構成集合觀察發(fā)現(xiàn)，中的角均相差的整數(shù)倍，用集合表示是．另外，我們還可以用這種方式求出：思考：終邊在x軸正半軸、負半軸，y軸正半軸、負半軸上的角分別如何表示？在軸的非負半軸上在軸的非正半軸上在軸的非負半軸上在軸的非負半軸上在軸上在軸上在坐標軸上師生活動：1.學生獨立，思考回答；2.教師下講臺指導個別同學回答問題；并多媒體展示。例3寫出終邊在直線上的角的集合．中滿足不等式的元素有哪些？解：在～范圍內(nèi)，終邊在直線上的角有兩個：，．因此，終邊在直線上的角的集合中適合不等式的元素有，，，，，課堂小結你能根據(jù)今天所講的內(nèi)容做個小結嗎？1.角的定義：一條射線繞它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形。2.角的分類：正角、零角、負角；3.象限角：①終邊落在第幾象限就是第幾象限角。②終邊落在坐標軸上的角，不屬于任何象限．4.終邊相同的角的表示法：設計意圖：通過總結，讓學生自行歸納總結本節(jié)所學內(nèi)容，提高概括能力,提高學生的數(shù)學運算能力和邏輯推理能力。(六)目標檢測設計1.課堂檢測1.在0o～360o范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它是哪個象限的角.(1)-54o18′；(2)-395o8′；(3)-1190o30′.2.寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并找出集合中適合不等式-720°≤α＜360°的元素β寫出來.(1)1303o18′；(2)-225o.2.課后作業(yè)：1．(多選)下列四個角中，屬于第二象限角的是()A.160°B.480°C.－960°D.1530°2．下列各個角中與2019°終邊相同的是()A．－149° B．679°C．319° D．219°【答案】D【解析】因為2019°＝360°×5＋219°，所以與2019°終邊相同的角是219°.3．與－30°終邊相同的角可以表示為：____________．4．已知角α的終邊在如圖陰影表示的范圍內(nèi)(不包含邊界)，那么角α的集合是________．【答案】{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}【解析】觀察圖形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．5．在0°到360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角：(1)－120°；(2)640°.【解析】(1)與－120°終邊相同的角的集合為M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．當k＝1時，β＝－120°＋1×360°＝240°，∴在0°到360°范圍內(nèi)，與－120°終邊相同的角是240°，它是第三象限的角．(2)與640°終邊相同的角的集合為M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．當k＝－1時，β＝640°－360°＝280°，∴在0°到360°范圍內(nèi)，與640°終邊相同的角為280°，它是第四象限的角．6.（拓展題）若是第二象限角，則是第幾象限角