【課件】任意角+課件-2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

5.1.1任意角5.1任意角和弧度制

圓周運動是一種常見的周期性變化現(xiàn)象．如圖

上的點

以

為起點做逆時針方向的旋轉(zhuǎn)．如何刻畫點

的位置變化呢？

我們知道，角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形．在右圖中，射線的端點是圓心，它從起始位置按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置，形成一個角α，射線，分別是角α的始邊和終邊．當(dāng)角α確定時，終邊的位置就確定了．這時，射線與的交點P也就確定了．由此想到，可以借助角α的大小變化刻畫點的位置變化PA

由初中知識可知，射線

繞端點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周回到起始位置，在這個過程中可以得到

范圍內(nèi)的角。如果繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，那么所得到的角就超出這個范圍了。所以為了借助角的大小變化刻畫圓周運動，需要先擴大角的范圍。

現(xiàn)實生活中隨處可見超出

范圍的角。例如體操中有“前空翻轉(zhuǎn)體540度”、“后空翻轉(zhuǎn)體720度”這

樣的動作名稱，這里不僅有超出

范圍的角，且旋轉(zhuǎn)的方向也不相同；

如圖是兩個齒輪旋轉(zhuǎn)的示意圖，被動輪隨著主動輪的旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)，而且被動輪與主動輪有相反的旋轉(zhuǎn)方向．這樣，

繞點

旋轉(zhuǎn)所成的角與

繞點

旋轉(zhuǎn)所成的角就會有不同的方向．因此，要準(zhǔn)確地描述這些現(xiàn)象，不僅要知道旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，還要知道旋轉(zhuǎn)的方向，這就需要對角的概念進行推廣．

我們規(guī)定：正角：

一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角；負角：

一條射線繞其端點按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角；零角：

如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一零角．探索新知零角的始邊與終邊重合．如果α是零角，那么α＝0°任意角，包括正角、負角和零角

、初步應(yīng)用，理解定義

給角添上符號，用符號來表示方向，使角也獲得了類似于實數(shù)一樣的數(shù)量特征，這也為角的運算埋下了伏筆.探索新知兩個角有什么關(guān)系？它們有大小關(guān)系和相等關(guān)系.很自然的，正角>零角>負角，如果兩個角都是正角，旋轉(zhuǎn)量大的角大，如果兩個角都是負角，則旋轉(zhuǎn)量大的反而小.而如果一個角的旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向與另一個角的旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向都一樣，我們就稱這兩個角相等.這些關(guān)系與兩個實數(shù)間的關(guān)系極其相似，所以我們就會問一個問題：兩個角也能像兩個實數(shù)那樣進行加減運算嗎？探索新知

探索新知

探索新知

我們通常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角．為了方便，使角的頂點與原點重合，角的始邊與

軸的非負半軸重合．

那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角．例如，下圖中的30°角、－120°角分別是第一象限角和第三象限角．如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限．探索新知

銳角是第幾象限角？第一象限角一定是銳角嗎？再分別就直角、鈍角來回答這兩個問題．三角形的內(nèi)角涵蓋了哪幾個象限呢？探索新知

銳角是第一象限角，第一象限角不一定是銳角；

鈍角是第二象限角，第二象限角不一定是鈍角；328°＝－32°＋360°(這里k＝

)，－392°＝－32°－360°(這里k＝

)．與－32°角終邊相同的這些角都可以表示成－32°的角與k個(k∈Z)周角的和，如1-1

探索新知

問題2：終邊落在坐標(biāo)軸上的所有的角的集合又怎么表示？