廣東省佛山市國(guó)華紀(jì)念中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

廣東省佛山市國(guó)華紀(jì)念中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，M是拋物線C上的點(diǎn)，若△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓面積為36π，則p=（）A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：D【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，可得△OFM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑，由此可求p的值．【解答】解：∵△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，∴△OFM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑∵圓面積為36π，∴圓的半徑為6，又∵圓心在OF的垂直平分線上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故選：D．2.已知k≥﹣1，實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，且的最小值為k，則k的值為（）A． B． C． D．參考答案：C【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用直線斜率公式，結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D（0，﹣1）的斜率，由圖象知AD的斜率最小，由得，得A（4﹣k，k），則AD的斜率k=，整理得k2﹣3k+1=0，得k=或（舍），故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，結(jié)合直線的斜率公式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．3.設(shè)，i是虛數(shù)單位，則z的虛部為（

）A.1 B.-1 C.3 D.-3參考答案：D因?yàn)閦=z的虛部為-3，選D.4.已知在等比數(shù)列{an}中，，則（

）A.16

B.8

C.4

D.2參考答案：C由得：，又因?yàn)?，而所以，，即，又因?yàn)?，而，所以?故選C．5.一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(

)A．48

B．48+8

C．32+8

D．80參考答案：B6.某幾何體的三視圖如右圖,(其中側(cè)視圖中的圓弧是半圓),則該幾何體的表面積為(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：A略7.已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，則雙曲線C1的離心率為（）A. B.5 C. D.參考答案：C【分析】由雙曲線C1與雙曲線C2有相同的漸近線，列出方程求出m的值，即可求解雙曲線的離心率，得到答案．【詳解】由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，可得，解得，此時(shí)雙曲線，則曲線的離心率為，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記雙曲線的幾何性質(zhì)，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．8.設(shè)集合，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A，，故選A．9.已知，滿足約束條件，若的最小值為，則A. B. C. D.參考答案：A略10.已知，為兩條不同的直線，、為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是A．若,,且,則B．若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則C．若，則D．若，則參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若是偶函數(shù),則有序?qū)崝?shù)對(duì)可以是__________.(注:寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一組數(shù)字即可)參考答案：答案：解析：ab≠0，是偶函數(shù)，只要a+b=0即可，可以取a=1，b=－1.12.如圖，已知，過(guò)頂點(diǎn)的圓與邊切于的中點(diǎn)，與邊分別交于點(diǎn)，且，點(diǎn)平分.求證：.

參考答案：切割線定理

13.已知函數(shù)和函數(shù)，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：14.曲線：（為參數(shù)），若以點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則該曲線的極坐標(biāo)方程是

．參考答案：15.用0，1，2，3,4，5這六個(gè)數(shù)字，可以組成▲個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且能被5整除的五位數(shù)（結(jié)果用數(shù)值表示）．參考答案：216略16.已知是奇函數(shù),且,若,則_______參考答案：-1略17.如圖是某市2014年11月份30天的空氣污染指數(shù)的頻率分布直方圖．根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，污染指數(shù)在區(qū)間[0，51）內(nèi)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；在區(qū)間[51，101）內(nèi)，空氣質(zhì)量為良；在區(qū)間[101，151）內(nèi)，空氣質(zhì)量為輕微污染；…，由此可知該市11月份空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的天數(shù)有天．參考答案：28考點(diǎn)：頻率分布直方圖．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：根據(jù)頻率和為1，利用頻率=，求出對(duì)應(yīng)的頻率與頻數(shù)即可．解答：解：根據(jù)頻率分布直方圖，得；該市11月份空氣污染指數(shù)在100內(nèi)的頻率為1﹣×10=，∴該市11份空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的天數(shù)有：30×=28．故答案為：28．點(diǎn)評(píng)：本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了頻率、頻數(shù)與樣本容量的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分13分）在非等腰△ABC中，a，b，c分別是三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且a=3，c=4，C=2A．（Ⅰ）求cosA及b的值；（Ⅱ）求cos(–2A)的值．參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．B4解析：（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理==，得=，

…………2分因?yàn)镃=2A，所以=，即=，解得cosA=．

…………4分在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2–2bccosA，

得b2–b+7=0，解得b=3，或b=．因?yàn)閍，b，c互不相等，所以b=．

…………7分（Ⅱ）∵cosA=，∴sinA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cosA2–1=–，…………11分∴cos(–2A)=cos2A+sin2A=．

…………13分【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）在△ABC中，利用正弦定理以及C=2A，求出cosA，然后利用余弦定理求出b即可．（Ⅱ）利用二倍角公式求出sin2A，cos2A，然后利用兩角差的余弦函數(shù)求解即可．19.（本小題滿分13分）已知函數(shù)f（x）=lnx+cosx－（）x的導(dǎo)數(shù)為（x），且數(shù)列{an}滿足。

（1）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求a1的值：

（2）若對(duì)任意n∈N'*，都有an+2n2≥0成立，求a1的取值范圍．參考答案：20.（12分）如圖，棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2．（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值；（Ⅲ）在線段PD上是否存在一點(diǎn)Q，使CQ與平面PBD所成的角的正弦值為，若存在，指出點(diǎn)Q的位置，若不存在，說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；直線與平面垂直的判定．【專題】：空間位置關(guān)系與距離．【分析】：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出BD⊥AC，BD⊥PA，由此能證明BD⊥平面PAC．（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B﹣PD﹣C的余弦值．（III）設(shè)，由CQ與平面PBD所成的角的正弦值為，利用向量法能求出線段PD上存在一點(diǎn)Q，使CQ與平面PBD所成的角的正弦值為，且．解：（Ⅰ）證明：在Rt△BAD中，AD=2，BD=，∴AB=2，ABCD為正方形，∴BD⊥AC．∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA．∵AC?平面PAC，PA?平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．…（4分）（Ⅱ）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），∴，，設(shè)平面PCD的法向量，則，取y=1，得，高平面PBD的法向量，則，取x1=1，得…（7分）∵，∴二面角B﹣PD﹣C的余弦值．…（9分）（III）解：∵Q在DP上，∴設(shè)，又∵，∴，∴Q（0，2﹣2λ，2λ），∴．…（10分）由（Ⅱ）可知平面PBD的法向量為，設(shè)CQ與平面PBD所成的角為θ，則有：…（11分）∵CQ與平面PBD所成的角的正弦值為，∴，解得，∵0＜λ＜1，∴…（12分）∴線段PD上存在一點(diǎn)Q，使CQ與平面PBD所成的角的正弦值為，且．…（13分）【點(diǎn)評(píng)】：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查線段上滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷和求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．21.定義為個(gè)正數(shù)的“均倒數(shù)”.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)的“均倒數(shù)”為.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè),試求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案：解方法一(利用互斥事件求概率)記事件A1＝{任取1球?yàn)榧t球}，A2＝{任取1球?yàn)楹谇騷，A3＝{任取1球?yàn)榘浊騷，A4＝{任取1球?yàn)榫G球}，則P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，根據(jù)題意知，事件A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.(2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.方法二(利用對(duì)立事件求概率)(1)由方法一知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對(duì)立事件為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球，即A1＋A2的對(duì)立事件為A3＋A4，所以取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝.(2)因?yàn)锳1＋A2＋A3的對(duì)立事件為A4，所以取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－＝.

略22.（本小題滿分13分）已知高二某班學(xué)生語(yǔ)文與數(shù)學(xué)的學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)如下表，若抽取學(xué)生n人，成績(jī)分為A（優(yōu)秀）、B（良好）、C（及格）三個(gè)等級(jí)，設(shè)x，y分別表示語(yǔ)文成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)．例如：表中語(yǔ)文成績(jī)?yōu)锽等級(jí)的共有20＋18＋4＝42人．已知x與y均為B等級(jí)的概率是0.18．

ABCA7205B9186Ca4b（Ⅰ）求抽取的學(xué)生人數(shù)；（Ⅱ）設(shè)該樣本中，語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀率是30%，求a，b值；（Ⅲ）已知，求語(yǔ)文成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的總?cè)藬?shù)比語(yǔ)文成績(jī)?yōu)镃等級(jí)的總?cè)藬?shù)少的概率.參考答案：（Ⅲ）.試題分析：(Ⅰ)由題意可知＝0.18，得抽取的學(xué)生人數(shù)是.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，，得到，由，得到.（Ⅲ）設(shè)“語(yǔ)文成績(jī)?yōu)榈燃?jí)的總?cè)藬?shù)比語(yǔ)文成績(jī)?yōu)榈燃?jí)的總?cè)藬?shù)少”為事件，由(Ⅱ)易知，且利用“列舉法”知，滿足條件的共有組，其中滿足的有組，故可得.試題解析：(Ⅰ)由題意可知＝0.18，得.故抽取的學(xué)生人數(shù)是.

………………2分(Ⅱ)由（Ⅰ）知，，故，