廣東省佛山市大瀝中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

廣東省佛山市大瀝中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上且，則Δ的面積是（

）A．

B.

C.

D.1參考答案：D略2.不等式的解集為（）

A.(-∞,-1)(1,+∞)B.(-∞,-2)(2,+∞)C.(-1,1)D.(-2,2)參考答案：解析：注意到xR,x2=|x|2∴x2-|x|-2<0|x|2-|x|-2<0(|x|-2)(|x|+1)<0|x|-2<0|x|<2故應(yīng)選D3.不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1） B．（﹣2，2） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣2，0）∪（0，2）參考答案：D【考點(diǎn)】R5：絕對(duì)值不等式的解法．【分析】直接利用絕對(duì)值不等式的解法，去掉絕對(duì)值后，解二次不等式即可．【解答】解：不等式|x2﹣2|＜2的解集等價(jià)于，不等式﹣2＜x2﹣2＜2的解集，即0＜x2＜4，解得x∈（﹣2，0）∪（0，2）．故選D．4.4名同學(xué)甲、乙、丙、丁按任意次序站成一排，甲或乙站在邊上的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】先求出甲、乙、丙、丁四人并排站成一排的事件種數(shù)，然后求出甲和乙站在中間的情況，從而求出甲或乙站在邊上的情況，最后利用古典概型的概率公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：甲、乙、丙、丁四人并排站成一排一共有A44=24種甲和乙站在中間的情況有A22?A22=4種∴甲或乙站在邊上的情況有20種甲或乙站在邊上的概率為=，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題求的是概率實(shí)際上本題考查的是排列問題，把排列問題包含在實(shí)際問題中，解題的關(guān)鍵是看清題目的實(shí)質(zhì)，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，解出結(jié)果以后再還原為實(shí)際問題．5.已知，則是的（）條件A、充分不必要B、必要不充分C、既不充分也不必要D、充要參考答案：D6.曲線在點(diǎn)A（0,1）處的切線斜率為（

）

A.1

B.2

C.

D.參考答案：A略7.拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）

A．(，0) B．(，0) C．(0,) D．(0,)參考答案：C8.一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)都在同一球面上,若球的體積是,則正方體的表面積是(

)

A．8

B．6

C．4

D．3參考答案：A略9.已知：平面α⊥平面β，α∩β=l，在l上取線段AB=4，AC、BD分別在平面α和平面β內(nèi)，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC=3，BD=12，則CD的長(zhǎng)度（）A．13 B． C．12 D．15參考答案：A【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【分析】如圖所示，連接BC．由DB⊥AB，平面α⊥平面β，α∩β=l=AB，可得BD⊥平面α，BD⊥BC，又AC⊥AB，利用勾股定理即可得出．【解答】解：如圖所示，連接BC．∵DB⊥AB，平面α⊥平面β，α∩β=l=AB，∴BD⊥平面α，BC?平面α，∴BD⊥BC，又AC⊥AB，∴CD2=BD2+BC2=BD2+AC2+BC2=122+32+42=132，∴CD=13，故選：A．10.已知下表所示數(shù)據(jù)的回歸直線方程為，則實(shí)數(shù)a的值為（）x23456y3711a21A．16 B．18 C．20 D．22參考答案：B【考點(diǎn)】BK：線性回歸方程．【分析】由表中數(shù)據(jù)計(jì)算樣本中心點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)回歸直線經(jīng)過樣本中心點(diǎn)求出的值，從而求出a的值．【解答】解：由表中數(shù)據(jù)知，樣本中心點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：=×（2+3+4+5+6）=4，由回歸直線經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，得=4×4﹣4=12，即=×（3+7+11+a+21）=12，解得a=18．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

參考答案：1512.已知雙曲線的漸近線方程為，拋物線C：的焦點(diǎn)F與雙曲線E的右焦點(diǎn)重合，過F的直線交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若向量與的夾角為120°，則的面積為_____.參考答案：【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，求得拋物線的方程為，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，代入拋物線的方程，由根與系數(shù)的關(guān)系，求得，設(shè)，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求得，即可求解的面積．【詳解】由題意，雙曲線，可得雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，又由漸近線方程為，所以，解得，即，所以雙曲線的右焦點(diǎn)，又因?yàn)閽佄锞€：的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，即，解得，所以拋物線的方程為，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，代入拋物線的方程消去，可得，設(shè)，由根與系數(shù)的關(guān)系，求得，設(shè)，則，又因?yàn)?，則，解得，所以的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用雙曲線的幾何性質(zhì)求得拋物線的方程，再根據(jù)直線拋物線的位置關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系，利用向量的數(shù)量積求得的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．13.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

參考答案：略14.如果函數(shù)沒有零點(diǎn)（即與x軸沒有交點(diǎn)），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________________。參考答案：略15.若命題：“?x∈R，ax2﹣ax﹣1≤0”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：[﹣4，0]【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】根據(jù)全稱命題的性質(zhì)及一元二次不等式的性質(zhì)，分類進(jìn)行求解即可．【解答】解：當(dāng)a=0時(shí)，﹣1≤0成立；當(dāng)a≠0時(shí)，則?﹣4≤a＜0綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣4，0]故答案為：[﹣4，0]．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題的真假應(yīng)用，結(jié)合一元二次不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵，同時(shí)考查了分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題．16.二維空間中圓的一維測(cè)度（周長(zhǎng)），二維測(cè)度（面積），觀察發(fā)現(xiàn)；三維空間中球的二維測(cè)度（表面積），三維測(cè)度（體積），觀察發(fā)現(xiàn).已知四維空間中“超球”的三維測(cè)度，猜想其四維測(cè)度________.參考答案：17.雙曲線y2﹣2x2=8的漸近線方程為

．參考答案：

【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，將雙曲線的方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，分析可得其焦點(diǎn)位置以及a、b的值，利用雙曲線的漸近線方程計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為：y2﹣2x2=8，變形可得﹣=1，則其焦點(diǎn)在y軸上，且a==2，b==2，則其漸近線方程為，故其答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，需要先將雙曲線的方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知命題：方程的圖象是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；命題：不等式在上恒成立；又為真，為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解：是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，ks5u7分9分10分略19.已知，復(fù)數(shù).（1）若z為純虛數(shù)，求a的值；（2）在復(fù)平面內(nèi)，若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求a的取值范圍.參考答案：（1）（2）【分析】（1）先利用復(fù)數(shù)的除法得到，根據(jù)為純虛數(shù)可得.（2）先求出，根據(jù)其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限可得橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)滿足的不等式，從而得到的取值范圍.【詳解】解：（1）因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，且，則（2）由（1）知，，則點(diǎn)位于第二象限，所以，得.所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.20.已知f（x）=ax2（a∈R），g（x）=2lnx．（1）討論函數(shù)F（x）=f（x）﹣g（x）的單調(diào)性；（2）若方程f（x）=g（x）在區(qū)間[，e]上有兩個(gè)不等解，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【分析】（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)F′（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式F′（x）＞0和F′（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間．（2）方程f（x）=g（x）在區(qū)間[，e]上有兩個(gè)不等解等價(jià)于a=在[，e]上有兩個(gè)不等解，令h（x）=，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，從而得出它的最小值，即可得到a的取值范圍．【解答】解：（1）F（x）=ax2﹣2lnx

（x＞0）所以F′（x）=（x＞0）所以當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)在（0，）上是減函數(shù)，在（，+∞）上是增函數(shù)，a≤0時(shí)，函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)．（2）方程f（x）=g（x）在區(qū)間[，e]上有兩個(gè)不等解，等價(jià)于a=在[，e]上有兩個(gè)不等解令h（x）=則h′（x）=故函數(shù)h（x）在（，）上是增函數(shù)，在（，e）上是減函數(shù)．所以h（x）max=h（）=又因?yàn)閔（e）=＜h（2）==h（）

故

h（x）min=h（e）=，所以≤a＜．即a的取值范圍：≤a＜．21.從高三抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，由成績(jī)得到如圖的頻率分布直方圖．試?yán)妙l率分布直方圖求：（1）這50名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)與中位數(shù)．

（2）這50名學(xué)生的平均成績(jī)．（答案精確到0.1）參考答案：（1）由眾數(shù)的概念可知，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．在直方圖中高度最高的小長(zhǎng)方形框的中間值的橫坐標(biāo)即為所求，所以由頻率分布直方圖得眾數(shù)應(yīng)為75．由于中位數(shù)是所有數(shù)據(jù)中的中間值，故在頻率分布直方圖中體現(xiàn)的是中位數(shù)的左右兩邊頻數(shù)應(yīng)相等，即頻率也相等，從而就是小矩形的面積和相等．因此在頻率分布直方圖中將頻率分布直方圖中所有小矩形的面積一分為二的直線所對(duì)應(yīng)的成績(jī)即為所求．∵0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3，∴前三個(gè)小矩形面積的和為0.3．而第四個(gè)小矩形面積為0.03×10=0.3，0.3+0.3＞0.5，∴中位數(shù)應(yīng)位于第四個(gè)小矩形內(nèi)．設(shè)其底邊為x，高為0.03，∴令0.03x=0.2得x≈6.7，故中位數(shù)約為70+6.7=76.7．（2）樣本平均值應(yīng)是頻率分布直方圖的“重心”，即所有數(shù)據(jù)的平均值，取每個(gè)小矩形底邊的中點(diǎn)值乘以每個(gè)小矩形的面積即可．∴平均成績(jī)?yōu)?5×（0.004×10）+55×（0.006×10）+65×（0.02×10）+75×（0.03×10）+85×（0.021×10）+95×（0.016×10）≈73.7考點(diǎn)：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；頻率分布直方圖．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：（1）由眾數(shù)的概念可知，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．在直方圖中高度最高的小長(zhǎng)方形框的中間值的橫坐標(biāo)即為所求；由于中位數(shù)是所有數(shù)據(jù)中的中間值，故在頻率分布直方圖中體現(xiàn)的是中位數(shù)的左右兩邊頻數(shù)應(yīng)相等，即頻率也相等，從而就是小矩形的面積和相等．因此在頻率分布直方圖中將頻率分布直方圖中所有小矩形的面積一分為二的直線所對(duì)應(yīng)的成績(jī)即為所求．（2）樣本平均值應(yīng)是頻率分布直方圖的“重心”，即所有數(shù)據(jù)的平均值，取每個(gè)小矩形底邊的中點(diǎn)值乘以每個(gè)小矩形的面積即可．解答：解：（1）由眾數(shù)的概念可知，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．在直方圖中高度最高的小長(zhǎng)方形框的中間值的橫坐標(biāo)即為所求，所以由頻率分布直方圖得眾數(shù)應(yīng)為75．由于中位數(shù)是所有數(shù)據(jù)中的中間值，故在頻率分布直方圖中體現(xiàn)的是中位數(shù)的左右兩邊頻數(shù)應(yīng)相等，即頻率也相等，從而就是小矩形的面積和相等．因此在頻率分布直方圖中將頻率分布直方圖中所有小矩形的面積一分為二的直線所對(duì)應(yīng)的成績(jī)即為所求．∵0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3，∴前三個(gè)小矩形面積的和為0.3．而第四個(gè)小矩形面積為0.03×10=0.3，0.3+0.3＞0.5，∴中位數(shù)應(yīng)位于第四個(gè)小矩形內(nèi)．設(shè)其底邊為x，高為0.03，∴令0.03x=0.2得x≈6.7，故中位數(shù)約為70+6.7=76.7．（2）樣本平均值應(yīng)是頻率分布直方圖的“重心”，即所有數(shù)據(jù)的平均值，取每個(gè)小矩形底邊的中點(diǎn)值乘以每個(gè)小矩形的面積即可．∴平均成績(jī)?yōu)?5×（0.004×10）+55×（0.006×10）+65×（0.02×10）+75×（0.03×10）+85×（0.021×10）+95×（0.016×10）≈73.7．點(diǎn)評(píng)：本題考查眾數(shù)、中位數(shù)、平均成績(jī)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖的合理運(yùn)用22.（本小題滿分12分）如圖，已知正三棱柱的底面正三角形的邊長(zhǎng)是2，D是的中點(diǎn)，直線與側(cè)面所成的角是．（Ⅰ）求二面角的大小；（Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離．參考答案：解：解法一（1）設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為，取BC中點(diǎn)