廣東省佛山市順德第一高級(jí)中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

廣東省佛山市順德第一高級(jí)中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（4分）下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（） A． y=﹣|x|（x∈R） B． y=﹣x3﹣x（x∈R） C． D． 參考答案：B考點(diǎn)： 函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．專題： 證明題．分析： 依據(jù)函數(shù)的奇函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)是減函數(shù)的性質(zhì)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)進(jìn)行判斷，找出符合條件的選項(xiàng)解答： A選項(xiàng)不正確，因?yàn)閥=﹣|x|（x∈R）是一個(gè)偶函數(shù)，且在定義域內(nèi)不是減函數(shù)；B選項(xiàng)正確，y=﹣x3﹣x（x∈R）是一個(gè)奇函數(shù)也是一個(gè)減函數(shù)；C選項(xiàng)不正確，是一個(gè)減函數(shù)，但不是一個(gè)奇函數(shù)；D選項(xiàng)不正確，是一個(gè)奇函數(shù)，但在定義域上不是減函數(shù)．綜上，B選項(xiàng)正確故選B點(diǎn)評(píng)： 本題考查函數(shù)奇偶性的判斷與函數(shù)單調(diào)性的判斷，解題的關(guān)鍵是對(duì)四個(gè)選項(xiàng)中所涉及的四個(gè)函數(shù)的性質(zhì)比較熟悉，方能快速判斷出正確結(jié)果，對(duì)一些基本函數(shù)的性質(zhì)的記憶是快速解答此類題的關(guān)鍵．2.已知函數(shù)在上為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式是（

）（A）

（B）（C）

（D）參考答案：A略3.設(shè)lg2=a，lg3=b，則log125=（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】換底公式的應(yīng)用．【分析】利用對(duì)數(shù)的換底公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵lg2=a，lg3=b，則log125==．故選：A．4.數(shù)列{an}中，an=（﹣1）nn，則a1+a2+…+a10=（） A．10 B． ﹣10 C． 5 D． ﹣5參考答案：C略5.函數(shù)y＝e|lnx|－|x－1|的圖象大致是

()參考答案：D6.函數(shù)=的定義域?yàn)椋?/p>

）A［1，+∞）

B（，1］

C（，+∞）

D

[，1］參考答案：B7.若x，y滿足，則的最小值為（

）A.－1 B.－2 C.2 D.1參考答案：B【分析】畫出滿足約束條件的平面區(qū)域，結(jié)合平面區(qū)域，通過(guò)平移直線，即可求解.【詳解】由題意，畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，又由目標(biāo)函數(shù)，可化為，結(jié)合圖形，可得直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，在軸上的截距最大，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值，又由，所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題．解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確畫出不等式組表示的可行域，將目標(biāo)函數(shù)賦予幾何意義；求目標(biāo)函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫二移三求，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域，理解目標(biāo)函數(shù)的意義是解答的關(guān)鍵．8.已知向量，,且，則

（

）A．5

B．

C．7

D．8參考答案：B略9.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

（

）

A．

B．

C．

D．或參考答案：C略10.設(shè)數(shù)列{an}滿足，且，若[x]表不不超過(guò)x的最大整數(shù)，則（

）A．2015

B．2016

C．2017

D．2018參考答案：C

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)y=loga（x﹣2）的圖象經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為

．參考答案：（3，0）【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題．【分析】根據(jù)loga1=0恒成立，可得函數(shù)y=loga（x﹣2）的圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：∵loga1=0恒成立，∴當(dāng)x=3時(shí)，y=loga（x﹣2）=0恒成立，故函數(shù)y=loga（x﹣2）的圖象恒過(guò)（3，0）點(diǎn)，故答案為：（3，0）12.已知，若函數(shù)的最小正周期是2,則

．參考答案：－1略13.已知，，且，則的最大值是_______．參考答案：【分析】將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求出的最小值，從而可得出的最小值，由此可得出的最大值.【詳解】，，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為，所以，的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，解題的關(guān)鍵就是要對(duì)代數(shù)式進(jìn)行合理配湊，考查計(jì)算能力，屬于中等題.14.已知，則f（x）的值域?yàn)椋畢⒖即鸢福篬，]【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；三角函數(shù)的求值．【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），利用二次函數(shù)與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出函數(shù)f（x）的值域即可．【解答】解：∵f（x）=sin2x+cosx=1﹣cos2x+cosx=﹣+，且x∈[﹣，]，∴cosx∈[﹣，]，∴﹣1≤cosx﹣≤0，∴﹣1≤﹣≤0，∴≤﹣≤，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇，]．故答案為：[，]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了求函數(shù)最值的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．15.圓上總存在兩點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.參考答案：因?yàn)閳A（x-a）2+（y-a）2=8和圓x2+y2=1相交，兩圓圓心距大于兩圓半徑之差、小于兩圓半徑之和，可知結(jié)論為16.關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為

。參考答案：17.對(duì)于兩個(gè)圖形F1，F(xiàn)2，我們將圖象F1上任意一點(diǎn)與圖形F2上的任意一點(diǎn)間的距離中的最小值，叫作圖形F1與F2圖形的距離，若兩個(gè)函數(shù)圖象的距離小于1，則這兩個(gè)函數(shù)互為“可及函數(shù)”，給出下列幾對(duì)函數(shù)，其中互為“可及函數(shù)”的是．（寫出所有正確命題的編號(hào)）①f（x）=cosx，g（x）=2；②f（x）=ex．g（x）=x；③f（x）=log2（x2﹣2x+5），g（x）=sin﹣x；④f（x）=x+，g（x）=lnx+2．參考答案：②④【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】利用“可及函數(shù)”的定義，求出兩個(gè)函數(shù)圖象的距離最小值，即可得出結(jié)論．【解答】解：①f（x）=cosx的最低點(diǎn)與g（x）=2的距離等于1，故不滿足題意；②f（x）=ex，則f′（x）=ex，設(shè)切點(diǎn)為（a，ea），則ea=1，∴a=0，∴切點(diǎn)為（（0，1），切線方程為y=x+1，則與g（x）=x的距離為＜1，滿足題意；③f（x）=log2（x2﹣2x+5）≥2，g（x）=sinx﹣＜0，∴兩個(gè)函數(shù)圖象的距離大于等于1，不滿足題意；④x=時(shí)，f（x）=x+=2，g（x）=lnx+2=ln+2，兩個(gè)函數(shù)圖象的距離小于1，滿足題意；故答案為：②④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.國(guó)家為了鼓勵(lì)節(jié)約用水，實(shí)行階梯用水收費(fèi)制度，價(jià)格參照表如表：用水量（噸）單價(jià)（元/噸）注0～20（含）2.5

20～35（含）3超過(guò)20噸不超過(guò)35噸的部分按3元/噸收費(fèi)35以上4超過(guò)35噸的部分按4元/噸收費(fèi)（Ⅰ）若小明家10月份用水量為30噸，則應(yīng)繳多少水費(fèi)？（Ⅱ）若小明家10月份繳水費(fèi)99元，則小明家10月份用水多少噸？（Ⅲ）寫出水費(fèi)y與用水量x之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)的圖象．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）小明家10月份用水量為30噸，在第二檔，可得結(jié)論；（Ⅱ）第一檔最多為50元，二檔最多為50+（35﹣20）×3元=95元，可得用水量在第三檔內(nèi)，即可得出結(jié)論；（Ⅲ）利用所給條件，即可寫出水費(fèi)y與用水量x之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)的圖象．【解答】解：（Ⅰ）20×2.5+（30﹣20）×3=80

…（Ⅱ）第一檔最多為50元第二檔最多為50+（35﹣20）×3元=95元∴用水量在第三檔內(nèi)，99﹣95=4，4÷4=1∴用水量為35+1=36噸．…（Ⅲ）0＜x≤20時(shí)，f（x）=2.5x；20＜x≤35時(shí)，f（x）=20×2.5+（x﹣20）×3=3x﹣10；x＞35時(shí)，f（x）=20×2.5+（35﹣20）×3+（x﹣35）×4=4x﹣45；∴f（x）=．函數(shù)的圖象如圖所示．19.已知函數(shù)f（x）=ax﹣（a，b∈N*），f（1）=且f（2）＜2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（﹣1，+∞）上的單調(diào)性．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）由，，，從而求出b=1，a=1；（Ⅱ）由（1）得，得函數(shù)在（﹣1，+∞）單調(diào)遞增．從而有f（x1）﹣f（x2）=，進(jìn)而，故函數(shù)在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增．【解答】解：（Ⅰ）∵，，由，∴，又∵a，b∈N*，∴b=1，a=1；（Ⅱ）由（1）得，函數(shù)在（﹣1，+∞）單調(diào)遞增．證明：任取x1，x2且﹣1＜x1＜x2，=，∵﹣1＜x1＜x2，∴，∴，即f（x1）＜f（x2），故函數(shù)在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增．20.一個(gè)容量為M的樣本數(shù)據(jù)，其頻率分布表如下。（1）求a,b的值，并畫出頻率分布直方圖；（答案寫在答題卡上）（2）用頻率分布直方圖，求出總體的眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的估計(jì)值。

分組頻數(shù)頻率頻率/組距(10,20]20.100.010(20,30]30.150.015(30,40]40.200.020(40,50]ab0.025(50,60]40.200.020(60,70]20.100.010

參考答案：略21.已知sinα=，α∈（，π）（Ⅰ）求sin（α﹣）的值；（Ⅱ）求tan2α的值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】（Ⅰ）由sinα的值及α的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα的值，再由正弦函數(shù)的和差化積公式計(jì)算得答案；（Ⅱ）由sinα，cosα的值求出tanα的值，然后代入正切函數(shù)的二倍角公式計(jì)算得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵sinα=，α∈（，π），∴．∴sin（α﹣）==；（Ⅱ）∵，∴tan2α=．22.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知(1)求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式(2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，且，若對(duì)任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：（1）見證明；（2）【分析】（1）首先求出，利用與作差，化簡(jiǎn)即可得到為常數(shù)，進(jìn)而可證明數(shù)列為等差數(shù)列，其首項(xiàng)為2，公差2，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出；（2）結(jié)合（1）可得，利用裂項(xiàng)相消，即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和為，