廣東省廣州市信孚教育集團黃石中學2022-2023學年高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析

廣東省廣州市信孚教育集團黃石中學2022-2023學年高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知α為第四象限的角，且=

A．

B．

C．一

D．參考答案：A2.已知拋物線與雙曲線有相同的焦點F，點A是兩曲線的交點，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．參考答案：A3.我國古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題：“今有金簪，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，一頭粗，一頭細，在粗的一端截下1尺，重4斤，在細的一端截下1尺，重2斤；問依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)上題的已知條件，若金杖由粗到細是均勻變化的，則中間3尺重量為（

）A．9斤

B．9.5斤

C．6斤

D．12斤參考答案：A由等差數(shù)列性質(zhì)得中間3尺重量為,選A.

4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入k的值為2，則輸出的i值為(

)A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：C【考點】程序框圖．【專題】圖表型；算法和程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的i，S的值，當，S=時不滿足條件S≤2，退出循環(huán)，輸出i的值為4．解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得k=2，i=1，S=1滿足條件S≤2，i=2，S=滿足條件S≤2，i=3，S=滿足條件S≤2，i=4，S=＞2不滿足條件S≤2，退出循環(huán)，輸出i的值為4．故選：C．【點評】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確判斷退出循環(huán)的條件是解題的關鍵，屬于基礎題．5.已知集合，則

A.

B

C．

D.參考答案：B略6.在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預測．甲：我的成績比乙高．乙：丙的成績比我和甲的都高．丙：我的成績比乙高．成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預測正確，那么三人按成績由高到低的次序為A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙參考答案：A根據(jù)已知邏輯關系可知，甲的預測正確，乙丙的預測錯誤，從而可得結(jié)果.

7.在區(qū)間[0,1]內(nèi)任取兩個實數(shù)，則這兩個實數(shù)的和大于的概率為A、

B、

C、

D、參考答案：D略8.已知雙曲線Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距為2c，直線l：y=kx﹣kc．若k=，則l與Γ的左、右兩支各有一個交點；若k=，則l與Γ的右支有兩個不同的交點，則Γ的離心率的取值范圍為（）A．（1，2） B．（1，4） C．（2，4） D．（4，16）參考答案：C【考點】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由題意可知雙曲線的漸近線斜率＜＜，根據(jù)e==，即可求得Γ的離心率的取值范圍．【解答】解：由題意可知：直線l：y=k（x﹣c）過焦點F（c，0）．雙曲線的漸近線方程y=x，可得雙曲線的漸近線斜率＜＜，∵e==，由3＜＜15，4＜1+＜16，∴2＜e＜4，∴雙曲線離心率的取值范圍為（2，4）．故選C．9.在同一平面直角坐標系中，函數(shù)的圖像與的圖像關于直線對稱，而函數(shù)的圖像關于y軸對稱，若的值是A. B. C. D.參考答案：A10.設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為（）A． B． C．2 D．3參考答案：B【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】不妨設雙曲線C：，焦點F（﹣c，0），由題設知，，由此能夠推導出C的離心率．【解答】解：不妨設雙曲線C：，焦點F（﹣c，0），對稱軸y=0，由題設知，，∴，b2=2a2，c2﹣a2=2a2，c2=3a2，∴e=．故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列：中，令，表示集合中元素的個數(shù)．（1）若，則

；（2）若（為常數(shù)，且，）則

．參考答案：（1）7

（2）根據(jù)題中集合表示的含義，可知中元素為數(shù)列中前后不同兩項的和，所以，則集合中元素為4，6，8，10，12，14，16，元素個數(shù)為7.（2）易知，數(shù)列數(shù)列為首項為，公差為（）的等差數(shù)列，所以，，可以取遍從3到中每個整數(shù)，共有個不同的整數(shù)，故。12.設直線，與圓交于A，B，且，則a的值是______．參考答案：10或－30因為，圓心為，半徑為，，由垂徑定理得，所以圓心到直線的距離為4．，，故填10或－30．13.在中，，，，則面積等于

．參考答案：略14.已知復數(shù)是純虛數(shù)，那么實數(shù)a=_______.參考答案：－115.函數(shù)y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，則ω=．參考答案：2【考點】正弦函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．16.已知函數(shù)在區(qū)間[1,e]上取得最小值4，則

▲

．參考答案：－3e17.執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入a=4，那么輸出的n的值為

．參考答案：3考點：程序框圖．專題：算法和程序框圖．分析：執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的P，Q，n的值，當P=21，Q=15，n=3時不滿足條件P≤Q，輸出n的值為3．解答： 解：執(zhí)行程序框圖，有a=4P=0，Q=1，n=0滿足條件P≤Q，有P=1，Q=3，n=1；滿足條件P≤Q，有P=5，Q=7，n=2；滿足條件P≤Q，有P=21，Q=15，n=3；不滿足條件P≤Q，輸出n的值為3．故答案為：3．點評：本題主要考察了程序框圖和算法，屬于基本知識的考查．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標系xOy中，已知曲線與曲線（為參數(shù)，）．以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．（1）寫出曲線C1，C2的極坐標方程；（2）在極坐標系中，已知點A是射線與C1的公共點，點B是與C2的公共點，當在區(qū)間上變化時，求的最大值．參考答案：（1）曲線的極坐標方程為，即．曲線的普通方程為，即，所以曲線的極坐標方程為．……4分（2）由（1）知，…由知，當，即時，有最大值．…………10分

19.（本題滿分10分）《選修4-5：不等式選講》已知函數(shù)(1)證明:(2)求不等式:的解集參考答案：解：（1）

當

所以

（2）由（1）可知，當?shù)慕饧癁榭占?/p>

當；當綜上，不等式

20.（本小題滿分14分）已知圓C的圓心C與點A（2,1）關于直線4x＋2y－5＝0對稱，圓C與直線x＋y＋2＝0相切。（I）設Q為圓C上的一個動點，若點P（1,1），M（－2，－2），求的最小值；（II）過點P（1,1）作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由。參考答案：（Ⅰ）設圓心C(a，b)，則A，C中點坐標為，

……1分∵圓心C與點A（2,1）關于直線4x＋2y－5＝0對稱，∴，解得，

……3分∴圓心C(0，0)到直線x＋y＋2＝0的距離，

……4分∴求圓C的方程為x2＋y2＝2．

……5分設Q(x，y)，則x2＋y2＝2，∴·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2， ……6分作直線l：x＋y＝0，向下平移此直線，當與圓C相切時x＋y取得最小值，這時切點坐標為（－1,－1），所以·的最小值為－4．

……8分（Ⅱ）由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)，由，得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0．因為點P的橫坐標x＝1一定是該方程的解，故可得，同理，，則．所以，直線AB和OP一定平行．

……14分21.（本小題滿分10分）選修4——5；不等式選講設a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：（Ⅰ）（Ⅱ）參考答案：22.（本小題滿分14分）設函數(shù).（1）若函數(shù)在處有極值，求函數(shù)的最大值；（2）①是否存在實數(shù)，使得關于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由；②證明：不等式