廣東省廣州市新元中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

廣東省廣州市新元中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知拋物線x2=4y上有一條長(zhǎng)為6的動(dòng)弦AB，則AB中點(diǎn)到x軸的最短距離為（）A． B． C．1 D．2參考答案：D【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2），根據(jù)拋物線方程可求得準(zhǔn)線方程，所求的距離為S==根據(jù)拋物線的定義可知S=根據(jù)兩邊之和大于第三邊且A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)求得S的最小值．【解答】解：設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2）拋物線準(zhǔn)線y=﹣1，根據(jù)梯形的中位線定理，得所求的距離為：S==由拋物線定義=﹣1（兩邊之和大于第三邊且A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）≥﹣1=2故選D．2.已知程序框圖如右圖所示，則該程序框圖的功能是

（

）

A．求數(shù)列的前10項(xiàng)和

B．求數(shù)列的前10項(xiàng)和

C．求數(shù)列的前11項(xiàng)和

D．求數(shù)列的前11項(xiàng)和

參考答案：答案：B3.若集合，，則（

）A．{1,2}

B．[1,2]

C．(1,2)

D．參考答案：A4.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，則等于（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略5.已知拋物線：，圓：（其中為常數(shù)，）.過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線交圓于、D兩點(diǎn)，交拋物線于、兩點(diǎn)，且滿足的直線只有三條的必要條件是

A．

B．

C．

D．參考答案：D略6.已知函數(shù)滿足：對(duì)定義域內(nèi)的任意，都有，則函數(shù)可以是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C7.設(shè)集合，（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B8.同理3已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A．3

B．1

C．2

D．4參考答案：C9.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)瑰寶，其第五卷商功中有如下問(wèn)題：“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無(wú)深，袤七尺，問(wèn)積幾何？”翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)就是：今有三面皆為等腰梯形，其他兩側(cè)面為直角三角形的五面體的隧道，前端下寬6尺，上寬一丈，深3尺，末端寬8尺，無(wú)深，長(zhǎng)7尺（注：一丈=十尺）．則該五面體的體積為（

）A.66立方尺 B.78立方尺 C.84立方尺 D.92立方尺參考答案：C【分析】如圖，在，上取，，使得，連接，，，，，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖，在，上取，，使得，連接，，，，故多面體的體積，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.10.如圖，把圓周長(zhǎng)為1的圓的圓心C放在y軸上，頂點(diǎn)A（0，1），一動(dòng)點(diǎn)M從A開(kāi)始逆時(shí)針繞圓運(yùn)動(dòng)一周，記=x，直線AM與x軸交于點(diǎn)N（t，0），則函數(shù)t=f（x）的圖象大致為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程的規(guī)律，利用單調(diào)性進(jìn)行排除即可得到結(jié)論．【解答】解：當(dāng)x由0→時(shí)，t從﹣∞→0，且單調(diào)遞增，由→1時(shí)，t從0→+∞，且單調(diào)遞增，∴排除A，B，C，故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，若=λ+μ，則λ+μ=．參考答案：

【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義．【分析】設(shè)=，=，則=+，=+．由于=λ+μ=μ（+）+λ（+）=+，利用平面向量基本定理，建立方程，求出λ，μ，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)=，=，則=+，=+．由于=λ+μ=μ（+）+λ（+）=+，∴λ+μ=1，且λ+μ=1，解得λ=μ=，∴λ+μ=，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量基本定理的運(yùn)用，考查向量的加法運(yùn)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題，12.設(shè)在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為4，則的值為_(kāi)___________．參考答案：3略13.若直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則，滿足的關(guān)系式為

；以為點(diǎn)P的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)P的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)有

個(gè).參考答案：答案：，214.如圖，圓上一點(diǎn)在直線上的射影為，點(diǎn)在半徑上的射影為。若，則的值為

。

參考答案：由射影定理知【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】射影定理，圓冪定理15.若x，y滿足約束條件，則z=x+3y的最大值為

．參考答案：4【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；不等式．【分析】先畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出A的坐標(biāo)，結(jié)合圖象求出z的最大值即可．【解答】解：畫出滿足約束條件的平面區(qū)域，如圖示：由，解得A（1，1）而z=x+3y可化為y=﹣x+，由圖象得直線過(guò)A（1，1）時(shí)z最大，z的最大值是4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考察了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，考察數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．16.函數(shù)f（x）=+lg（3x+1）的定義域是

．參考答案：（﹣，1）【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域；函數(shù)的定義域及其求法．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由分母中根式內(nèi)部的代數(shù)式大于0，對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0聯(lián)立不等式組求解x的取值集合得答案．【解答】解：由，解得：﹣．∴函數(shù)f（x）=+lg（3x+1）的定義域是（﹣，1）．故答案為：（﹣，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查了不等式組的解法，是基礎(chǔ)題．17.在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，，，若，則λ的值為

．參考答案：3【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；向量法；平面向量及應(yīng)用．【分析】由確定點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，根據(jù)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算，用、表示出和，由條件和數(shù)量積的運(yùn)算化簡(jiǎn)=，即可求出λ的值．【解答】解：由題意畫出圖象如右圖：∵，∴D為BC的中點(diǎn)，則=（+），∵，∴==﹣，∴=﹣=﹣﹣=（1﹣）﹣，∵=，∴（+）[（1﹣）﹣]=﹣，∴（1﹣）﹣+（1﹣）﹣=﹣，∴（﹣）﹣+（1﹣）=，∴（﹣）×1×1×﹣1+（1﹣）=，解得λ=3，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓C：的離心率為，其中左焦點(diǎn)．

（Ⅰ）求出橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線與曲線C交于不同的A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在圓上，求的值．參考答案：略19.已知函數(shù)(1)當(dāng)x∈時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值和最大值.(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)應(yīng)邊分別為a,b,c，且c=f(C)=0，若向量m=(1,sinA)與向量n=(2,sinB)共線，求a,b的值．參考答案：略20.（本小題滿分12分）

如圖矩形ABCD中，AB=2BC=2,M是AB中點(diǎn)，沿MD將AMD折起，（1）在DC上是否存在一點(diǎn)N，不論折到什么位置（不與平面MBCD重合），總有∥平面?

（2）當(dāng)二面角的大小為60°時(shí)，求四棱錐的體積參考答案：解：（1）當(dāng)N為DC中點(diǎn)時(shí)，連結(jié)AN，BN,

∵M(jìn)B∥DC,且MB=DC=DN,

∴MBND為平行四邊形

∴MD∥BN,………2分又MD平面ABN，且BN平面ABN，因此∥平面………………4分

（2）取MD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE,NE，取EN中點(diǎn)F，連結(jié)AF

∵由圖1，在矩形ABCD中，AD=AM=1,∴AMND是正方形，

∴在圖2中，AE⊥DM,

NE⊥DM，故∠AEN是二面角的平面角……6分

即∠AEN=60°，又AE=NE,∴△AEN是正三角形，所以AF⊥EN,又因?yàn)镈M⊥AF,

∴DM⊥平面MBCD,易得，………10分

∴…12分略21.在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（Ⅰ）求圓C的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線l的極坐標(biāo)方程是l，射線與圓C的交點(diǎn)為O、P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長(zhǎng)．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圓C的參數(shù)方程化為（x﹣1）2+y2=1，利用互化公式可得極坐標(biāo)方程．（II）設(shè)（ρ1，θ1）為點(diǎn)P的極坐標(biāo)，由，解得ρ1．設(shè)（ρ2，θ2）為點(diǎn)Q的極坐標(biāo)，由，解得ρ2．由θ1=θ2，可得|PQ|=|ρ1﹣ρ2|．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圓C的參數(shù)方程化為（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）設(shè)（ρ1，θ1）為點(diǎn)P的極坐標(biāo)，由，解得ρ1=1．設(shè)（ρ2，θ2）為點(diǎn)Q的極坐標(biāo)，由，解得ρ2=3．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．22.一個(gè)通訊小組有兩套設(shè)備，只要其中有一套設(shè)備能正常工作，就能進(jìn)行通訊．每套設(shè)備由3個(gè)部件組成，只要其中有一個(gè)部件出故障，這套設(shè)備就不能正常工作．如果在某一時(shí)間段內(nèi)每個(gè)部件不出故障的概率為p，計(jì)算在這一時(shí)間段內(nèi)．（1）恰有一套設(shè)備能正常工作的概率；（2）能進(jìn)行通訊的概率．參考答案：【考點(diǎn)】互斥事件的概率加法公式；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【分析】（1）恰有一套設(shè)備能正常工作包含第一套通訊設(shè)備能正常工作且第二套通訊設(shè)備不能正常工作；第二套通訊設(shè)備能正常工作且第一套通訊設(shè)備不能正常工作，這兩種情況是互斥的．（2）能進(jìn)行通訊的對(duì)立事件是兩套設(shè)備都不能工作，寫出兩套設(shè)備都不能工作的概率，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式得到結(jié)果．【解答】解：記“第一套通訊設(shè)備能正常工作”為事件A，“第二