廣東省廣州市新港中學2022-2023學年高三數(shù)學理月考試題含解析

廣東省廣州市新港中學2022-2023學年高三數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，在復平面內(nèi)，復數(shù)zl，z2對應的向量分別是，，則|zl+z2|=

(A)1

(B)

(C)2

(D)3

參考答案：B略2.為了得到函數(shù)的圖像，只要把上所有的點（）A.橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變B.橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變C.縱坐標伸長為原來的2倍，橫坐標不變D.縱坐標縮短為原來的，橫坐標不變參考答案：B3.復數(shù)（為虛數(shù)單位）在復平面上對應的點位于()A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：【知識點】復數(shù)的乘法運算；復數(shù)的幾何意義。L4

【答案解析】B

解析：∵∴復數(shù)z在復平面上對應的點的坐標為，位于第二象限．故選B.【思路點撥】先利用復數(shù)的乘法運算求出Z，再判斷即可。4.已知雙曲線的右焦點為F，若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直線的斜率的取值范圍是A. B. C. D.

參考答案：A略5.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：C6.將參加夏令營的100名學生編號為001,002,......,100,采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為20的樣本,且在第一組隨機抽得的號碼為003.這100名學生分住在三個營區(qū),001到047住在第I營區(qū),048到081住在第II營區(qū),082到100住在第III營區(qū),則三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為

A.10,6,4

B.9,7,4

C.10,7,3

D.9,6,5參考答案：B略7.已知直線與平面，滿足，，，，則必有（

）(A)且

（B）且

（C）且

（D）且參考答案：D8.中國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，問物幾何？”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”，若正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n，則記為N=n（modm），例如11=2（mod3）．現(xiàn)將該問題以程序框圖的算法給出，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的n等于（）A．21 B．22 C．23 D．24參考答案：C【考點】EF：程序框圖．【分析】該程序框圖的作用是求被3和5除后的余數(shù)為2的數(shù)，根據(jù)所給的選項，得出結(jié)論．【解答】解：該程序框圖的作用是求被3除后的余數(shù)為2，被5除后的余數(shù)為3的數(shù)，在所給的選項中，滿足被3除后的余數(shù)為2，被5除后的余數(shù)為3的數(shù)只有23，故選：C．9.歐拉公式eix=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復變函數(shù)論里占用非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，表示的復數(shù)在復平面中位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：B【考點】復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】e=cos+isin，化簡即可得出．【解答】解：e=cos+isin=i，此復數(shù)在復平面中對應的點位于位于第二象限，故選：B．【點評】本題考查了復數(shù)的三角形式、三角函數(shù)求值、復數(shù)的幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．10.若與的虛部互為相反數(shù)，則實數(shù)a的值為（

）A.－2 B.2 C.－1 D.1參考答案：D【分析】分別對兩個復數(shù)進行四則運算化成復數(shù)的標準形式，分別得到得復數(shù)的虛部，再相加等于0，從而求得的值.【詳解】因為，所以虛部為，因為，所以虛部為，所以，即.故答案為：D.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算，考查對復數(shù)概念的理解，考查基本運算求解能力.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量，，且滿足，則實數(shù)_______．參考答案：略12.由，，，四條曲線所圍成的封閉圖形的面積為__________．參考答案：13.古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)l，3，6，10，…，第n個三角形數(shù)為．記第n個邊形數(shù)為，（k≥3），以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：三角形數(shù)

， 正方形數(shù)

五邊形數(shù)

六邊形數(shù)

……可以推測的表達式，由此計算

。參考答案：1000將已知的列表式做如下轉(zhuǎn)化，三角形數(shù)：；正方形數(shù)；五邊形數(shù)：；六邊形數(shù)：；可以推測：.所以14.已知函數(shù)在區(qū)間（）上存在零點，則n=

．參考答案：5函數(shù)是連續(xù)的單調(diào)增函數(shù),

,

,

所以函數(shù)的零點在之間,所以n=5

15.設的內(nèi)角的對邊長分別為，且

，則的值是___________．參考答案：4由得，即，所以，即。16.在平面直角坐標系xOy中，已知點A，F(xiàn)分別為橢圓C：的右頂點、右焦點，過坐標原點O的直線交橢圓C于P，Q兩點，線段AP的中點為M，若Q，F(xiàn)，M三點共線，則橢圓C的離心率為______.參考答案：【分析】根據(jù)，關(guān)于原點對稱假設，，利用中點坐標公式可求得，利用三點共線可得，利用向量共線可構(gòu)造等式，從而求得離心率.【詳解】由題意知：，關(guān)于原點對稱，可設，又，，則，，，三點共線

，整理可得：即橢圓的離心率：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查橢圓離心率的求解，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出關(guān)于的齊次方程，本題構(gòu)造方程的關(guān)鍵是能夠?qū)⑷c共線轉(zhuǎn)化為向量共線的關(guān)系，從而利用向量共線定理可求得結(jié)果.17.如圖，已知點在以，為焦點的雙曲線（，）上，過作軸的垂線，垂足為，若四邊形為菱形，則該雙曲線的離心率為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖所示，AB為圓O的直徑，BC，CD為圓O的切線，B，D為切點．（Ⅰ）求證：AD∥OC；（Ⅱ）若圓O的半徑為2，求AD?OC的值．參考答案：【考點】與圓有關(guān)的比例線段；平行線分線段成比例定理．【分析】（Ⅰ）要證明AD∥OC，我們要根據(jù)直線平行的判定定理，觀察已知條件及圖形，我們可以連接OD，構(gòu)造出內(nèi)錯角，只要證明∠1=∠3即可得證．（Ⅱ）因為⊙O的半徑為1，而其它線段長均為給出，故要想求AD?OC的值，我們要將其轉(zhuǎn)化用半徑相等或相關(guān)的線段積的形式，結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)論，我們易證明Rt△BAD∽Rt△ODC，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，不們不難得到轉(zhuǎn)化的思路．【解答】（Ⅰ）證明：如圖，連接BD、OD．∵CB、CD是⊙O的兩條切線，∴BD⊥OC，∴∠2+∠3=90°又AB為⊙O直徑，∴AD⊥DB，∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，∴AD∥OC；（Ⅱ）解：AO=OD，則∠1=∠A=∠3，∴Rt△BAD∽Rt△ODC，∵圓O的半徑為2，∴AD?OC=AB?OD=8．19.已知函數(shù)．（1）判斷并證明的奇偶性；（2）求證：；（3）已知，且，，求的值．

參考答案：（1）為奇函數(shù)．因為所以，定義域為，所以定義域關(guān)

于原點對稱，又，所以為奇函數(shù)．（2）因為，，所以．（3）因為，所以，又，所以，由此可得：．

20.已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在區(qū)間[﹣，]上的最大值和最小值．參考答案：【考點】二倍角的正弦；兩角和與差的正弦函數(shù)；二倍角的余弦；三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）利用兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系將f（x）=4cosxsin（x+）﹣1轉(zhuǎn)化為f（x）=2sin（2x+），即可求得f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由f（x）=2sin（2x+），x∈[﹣，]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)即可求其的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+）﹣1=4cosx（sinx+cosx）﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，﹣1≤2sin（2x+）≤2．∴f（x）max=2，f（x）min=﹣1．21.已知橢圓方程為，長軸兩端點為，短軸上端點為．（1）若橢圓焦點坐標為，點在橢圓上運動，且的最大面積為3，求該橢圓方程；（2）對于（1）中的橢圓，作以為直角頂點的內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形，設直線的斜率為，試求的值；（3）過任作垂直于，點在橢圓上，試問在軸上是否存在點，使得直線的斜率與的斜率之積為定值，如果存在，找出一個點的坐標，如果不存在，說明理由．參考答案：解：（1）由已知：，，聯(lián)立方程組求得：所求方程為：

……………

4分

（2）依題意設所在的直線方程為，代入橢圓方程并整理得：，則同理

由得，即

故

………

8分（3）由題意知設而(為定值).對比上式可知：選取，則得直線的斜率與的斜率之積為

……………

13分22.如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，已知，，，點E是棱C1C的中點.（1）求證：C1B⊥平面ABC；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱CA上是否存在一點M，使得EM與平面A1B1E所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.參考答案：（1）證明見解析（2）（3）存在,或.【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證得平面.（2）以為原點，分別以，和的方向為，和軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解；（3）假設存在點，設，根據(jù)，得到的坐標，結(jié)合平面的法向量為列出方程，即可求解.【詳解】（1）由題意，因為，，，∴，又∴，∴，∵側(cè)面，∴.又∵，，平面∴直線平面.（2）以為原點，分別以，和的方向為，和軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則有，，，，設平面的一個法向量為，∵，∴，令，則，∴設平面的一個