廣東省惠州市博羅縣高級中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理測試題含解析

廣東省惠州市博羅縣高級中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.一個(gè)籃球運(yùn)動員投籃一次得3分的概率為，得2分的概率為，不得分的概率為（、、），已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2（不計(jì)其它得分情況），則的最大值為

A．

B．

C．

D．參考答案：D2.曲線在點(diǎn)(0,－1)處的切線方程為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得切線的方程，得到結(jié)果.【詳解】由可得，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的問題，涉及到的知識點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線的方程，屬于簡單題目.3.已知函數(shù)在R上滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A4.“4＜K＜9”是“方程+=1表示的圖形為橢圓”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】求出方程+=1表示的圖形為橢圓的k的范圍，結(jié)合集合的包含關(guān)系判斷即可．【解答】解：∵方程+=1表示的圖形為橢圓，∴，解得：4＜k＜9且k≠，故“4＜K＜9”是“方程+=1表示的圖形為橢圓“的必要不充分條件，故選：B．5.已知i是虛數(shù)單位，則（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.6.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個(gè)圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含個(gè)小正方形．則等于（

）A．39B．40

C．41

D．42參考答案：C略7.設(shè)、、為整數(shù)（），若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為（）.已知，則的值可以是（

）A.2015

B.2011

C.2008

D.2006參考答案：B8.設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集R，集合A＝{y|y＝3x，x>0}，B＝{x|y＝}，則圖中陰影部分所表示的集合是（

）A．{x|0≤x＜1}

B．{x|0≤x≤1}

C．{x|1＜x＜2}

D．{x|1＜x≤2}參考答案：B9.設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線為，則雙曲線的離心率e=（）A．5 B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)題意可求得a和b的關(guān)系式，進(jìn)而利用c=求得c和b的關(guān)系，最后求得a和c的關(guān)系即雙曲線的離心率．【解答】解：依題意可知=，求得a=2b∴c==b∴e==故選C．【點(diǎn)評】本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．解題的時(shí)候注意看雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，根據(jù)坐標(biāo)軸的不同推斷漸近線不同的形式．10.直線在y軸上的截距是()A．|b|

B．－b2

C．b2

D．±b參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知△ABC中，a=,b=,B=60°,那么角A等于__________．參考答案：45°12.用更相減損術(shù)求38與23的最大公約數(shù)為

參考答案：113.變量x、y滿足線性約束條件，則使目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（a＞0）取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則a的值為

．參考答案：2【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，要使目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則目標(biāo)函數(shù)和其中一條直線平行，然后根據(jù)條件即可求出a的值．【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．由z=ax+y（a＞0）得y=﹣ax+z，∵a＞0，∴目標(biāo)函數(shù)的斜率k=﹣a＜0．平移直線y=﹣ax+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣ax+z和直線2x+y=2平行時(shí)，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值時(shí)最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè)，此時(shí)﹣a=﹣2，即a=2．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法．14.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是

.參考答案：15.空間四邊形ABCD的兩條對棱AC，BD互相垂直，AC，BD的長分別為8和2，則平行四邊形兩條對棱的截面四邊形EFGH在平移過程中，面積的最大值是．參考答案：4【考點(diǎn)】直線與平面平行的性質(zhì)．【專題】證明題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】假設(shè)EFGN是截面四邊形，EFGN為平行四邊形，設(shè)EN=x（0＜x≤2），F(xiàn)E=y（0＜y≤8），xy=S（S為所求面積），利用EN∥BD，可得=1=+，整理可得8=4x+y，利用基本不等式即可解得面積的最大值．【解答】解：如圖，假設(shè)EFGN是截面四邊形，EFGN為平行四邊形；設(shè)EN=x（0＜x≤2），F(xiàn)E=y（0＜y≤8），xy=S（S為所求面積）；由EN∥BD，可得：=，==，兩式相加，得：=1=+，化簡，得8=4x+y，可得：8=4x+y≥2，（當(dāng)且僅當(dāng)2x=y時(shí)等號成立），解得：xy≤4，解得：S=xy≤4．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查了直線與平面平行的性質(zhì)，四邊形取值范圍的求法，是中檔題，解題要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．16.拋物線上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為________

參考答案：略17.有七名同學(xué)站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲不能和乙站在一起，并且乙、丙兩位同學(xué)要站在一起，則不同的站法有

種．參考答案：1200【考點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；排列組合．【分析】先排除甲的其余6人，因?yàn)橐?、丙兩位同學(xué)要站在一起，故捆綁再與其余5人進(jìn)行全排，再將甲插空，由于甲不能和乙站在一起，故甲有5種插法，根據(jù)乘法原理即可得到結(jié)論．【解答】解：根據(jù)題意，先排除甲的其余6人，因?yàn)橐摇⒈麅晌煌瑢W(xué)要站在一起，故捆綁再與其余5人進(jìn)行全排，共有=240種排法，再將甲插空，由于甲不能和乙站在一起，故甲有5種插法，所以根據(jù)乘法原理，不同的站法有240×5=1200種．故答案為：1200．【點(diǎn)評】本題考查排列知識，考查乘法原理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）設(shè)動點(diǎn)

到定點(diǎn)的距離比到軸的距離大．記點(diǎn)的軌跡為曲線C．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)圓M過，且圓心M在P的軌跡上，是圓Ｍ在軸的截得的弦，當(dāng)Ｍ運(yùn)動時(shí)弦長是否為定值？說明理由；（3）過做互相垂直的兩直線交曲線C于G、H、R、S，求四邊形面積的最小值．參考答案：解：(1)

由題意知，所求動點(diǎn)為以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，方程為；---------4分

(2)設(shè)圓心，半徑

圓的方程為

令得

即弦長為定值；---------9分(3)設(shè)過F的直線方程為

,

由得

由韋達(dá)定理得

同理得

四邊形的面積.---------14分19.在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，直線l過點(diǎn)且與OM垂直，垂足為P.（1）當(dāng)時(shí)，求及l(fā)的極坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)M在C上運(yùn)動且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.參考答案：（1），l的極坐標(biāo)方程為；（2）【分析】（1）先由題意，將代入即可求出；根據(jù)題意求出直線的直角坐標(biāo)方程，再化為極坐標(biāo)方程即可；（2）先由題意得到P點(diǎn)軌跡的直角坐標(biāo)方程，再化為極坐標(biāo)方程即可，要注意變量的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以；即，所以，因?yàn)橹本€l過點(diǎn)且與垂直，所以直線直角坐標(biāo)方程為，即；因此，其極坐標(biāo)方程為，即l的極坐標(biāo)方程為；（2）設(shè)，則，，由題意，，所以，故，整理得，因?yàn)镻在線段OM上，M在C上運(yùn)動，所以，所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，熟記公式即可，屬于?？碱}型.20.（本小題滿分14分）以下是某地搜集到的新房屋的銷售價(jià)格和房屋的面積的數(shù)據(jù)：房屋面積1109080100120銷售價(jià)格（萬元）3331283439（1）畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點(diǎn)圖；（2）求線性回歸方程；（3）據(jù)（2）的結(jié)果估計(jì)當(dāng)房屋面積為時(shí)的銷售價(jià)格.（提示：，，，

）參考答案：解：（1）數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示：

……………….……………….……………….2分（2）……………….……………….……………….3分……………….……………….…4分，……………….……………….……………….5分……………….……………….6分∴，……………….……………….……………….8分

……………….…….…….……10分∴回歸直線方程為．

……………….……………….12分（3）據(jù)（2），當(dāng)時(shí)，銷售價(jià)格的估計(jì)值為：（萬元）……………….……………….……………….14分

略21.已知函數(shù)是奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并給出證明．參考答案：解：（1）由已知條件得對定義域中的均成立

即

對定義域中的均成立.

即（舍去）或.

所以.

（5分）（2）由（1）得設(shè)，當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，，即.當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù).

（10分）同理當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù).

（13分）略22.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且其右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)F重合.（1）求橢圓的方程；（2）直線經(jīng)過點(diǎn)與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，與拋物線相交于C、