廣東省惠州市稔山中學2021年高三數(shù)學文模擬試卷含解析

廣東省惠州市稔山中學2021年高三數(shù)學文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若函數(shù)f（x）=lnx與函數(shù)g（x）=x2+2x+a（x＜0）有公切線，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．（ln，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（1，+∞） D．（﹣ln2，+∞）參考答案：A【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】分別求出導數(shù)，設出各自曲線上的切點，得到切線的斜率，再由兩點的斜率公式，結合切點滿足曲線方程，可得切點坐標的關系式，整理得到關于一個坐標變量的方程，借助于函數(shù)的極值和最值，即可得到a的范圍．【解答】解：f′（x）=，g′（x）=2x+2，設與g（x）=x2+2x+a相切的切點為（s，t）s＜0，與曲線f（x）=lnx相切的切點為（m，n）m＞0，則有公共切線斜率為2s+2==，又t=s2+2s+a，n=lnm，即有a=s2﹣1+ln（2s+2），設f（s）=s2﹣1﹣ln（2s+2）（﹣1＜s＜0），所以f'（s）=＜0∴f（s）＞f（0）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，∵s∈（﹣1，0），且趨近與1時，f（s）無限增大，∴a＞﹣ln2﹣1故選A．2.復數(shù)z=1﹣i（i是虛數(shù)單位），則+z等于（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i參考答案：A【考點】復數(shù)代數(shù)形式的加減運算．【分析】利用復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的定義即可得出．【解答】解：+z=+1﹣i=+1﹣i=1+i+1﹣i=2．故選：A．3.如圖所示，U是全集，M、N、S是U的子集，則圖中陰影部分所示的集合是()A．(?UM∩?UN)∩SB．(?U(M∩N))∩SC．(?UN∩?US)∪MD．(?UM∩?US)∪N參考答案：A4.已知集合，，則為(

)A. B. C. D.參考答案：D5.若是偶函數(shù),且當時,,則不等式的解集是

(

)A.

B.

C.

D參考答案：答案：C6.已知函數(shù)（）的最小值為8，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A因為在單調遞減，在單調遞增，則，令，則在上單調遞增，又，，所以存在零點。

7.設向量a，b滿足：|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝0，則a與b的夾角是A．30°

B．60°

C．90°

D．120°參考答案：D8.下列命題正確的是A.若a＞b,則a2＞b2

B.若a＞b，則ac＞bcC.若a＞b，則a3＞b3

D.若a>b，則＜參考答案：C對于，若，，則不成立；對于，若，則不成立；對于，若，則，則正確；對于，，，則不成立.故選C

9.設是的三個內角，且滿足：則等于（

）

參考答案：A10.若集合，則

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.①三角形紙片內有1個點，連同三角形的頂點共4個點，其中任意三點都不共線，以這4個點為頂點作三角形，并把紙片剪成小三角形，可得小三角形個數(shù)為3個；②三角形紙片內有2個點，連同三角形的頂點共5個點，其中任意三點都不共線，以這5個點為頂點作三角形，并把紙片剪成小三角形，可得小三角形個數(shù)為5個，……以此類推：三角形紙片內有15個點，連同三角形的頂點共18個點，若其中任意三點都不共線，以這些點為頂點作三角形，并把紙片剪成小三角形，則這樣的小三角形個數(shù)為

個。（用數(shù)字作答）參考答案：31略12.已知函數(shù)等差數(shù)列的公差為2，，則

．參考答案：略13.已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（1，σ2），若P（ξ＞2）=0.15，則P（0≤ξ≤1）=

．參考答案：0.35【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性計算．【解答】解：∵變量ξ服從正態(tài)分布N（1，σ2），∴P（ξ＞1）=0.5，∴P（1≤ξ≤2）=P（ξ＞1）﹣P（ξ＞2）=0.35，∴P（0≤ξ≤1）=P（1≤ξ≤2）=0.35．故答案為：0.35．14.（5分）對a，b∈R，記，函數(shù)的最大值為參考答案：1考點： 函數(shù)零點的判定定理．分析： 先去掉函數(shù)中的絕對值，然后表示出函數(shù)f（x）的解析式，最后求函數(shù)的最大值即可．解答： 解：由題意知=∴當x＜﹣2時，f（x）=x+1＜﹣1當﹣2≤x≤2時，﹣1≤f（x）≤1當x＞2時，f（x）=3﹣x＜1綜上所述，函數(shù)f（x）的最大值為1故答案為：1點評： 本題主要考查函數(shù)函數(shù)最值問題．含絕對值的函數(shù)要去掉絕對值考慮問題．15.若的二項展開式中，所有二項式系數(shù)和為，則該展開式中的常數(shù)項為

．參考答案：1516.設，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值是

.參考答案：-1517.(文)已知向量和向量的夾角為，，則和的數(shù)量積=

參考答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數(shù)f（x）在定義域[﹣1，1]是奇函數(shù)，當x∈[﹣1，0]時，f（x）=﹣3x2．（1）當x∈[0，1]，求f（x）；（2）對任意a∈[﹣1，1]，x∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤2cos2θ﹣asinθ+1都成立，求θ的取值范圍．參考答案：【考點】函數(shù)恒成立問題．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質，即可求出當x∈[0，1]，f（x）的表達式；（2）將不等式恒成立，轉換為最值恒成立即可得到結論．【解答】解：（1）由題意可知，f（﹣x）=﹣f（x），設x∈[0，1]，則﹣x∈[﹣1，0]，則f（﹣x）=﹣3x2，∴f（﹣x）=﹣3x2=﹣f（x），即f（x）=3x2．（2）由（1）知f（x）=，∵不等式f（x）≤2cos2θ﹣asinθ+1都成立，∴f（x）max≤2cos2θ﹣asinθ+1都成立，∵f（x）max=f（1）=3，∴2cos2θ﹣asinθ+1≥3，即2sin2θ+asinθ≤0，設f（a）=2sin2θ+asinθ，∵a∈[﹣1，1]，∴，即，∴sinθ=0，即θ=kπ，k∈Z．19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝2－ax－2(a∈R)(1)討論函數(shù)的單調性；(2)當x≥0時，f(x)≥0，求a的取值范圍.參考答案：【知識點】函數(shù)的性質；導數(shù)的綜合應用

B3

B12

B14【答案解析】解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為：R,f￠(x)＝2ex－a．若a≤0，則f￠(x)＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增；若a＞0，則當x∈(－∞，ln)時，f￠(x)＜0，f(x)單調遞減；當x∈(ln，＋∞)時，f￠(x)＞0，f(x)單調遞增． …5分（Ⅱ）注意到f(0)＝0．若a≤0，則當x∈[0，＋∞)時，f(x)單調遞增，f(x)≥f(0)＝0，符合題意．若ln≤0，即0＜a≤2，則當x∈[0，＋∞)時，f(x)單調遞增，f(x)≥f(0)＝0，符合題意．若ln＞0，即a＞2，則當x∈(0，ln)時，f(x)單調遞減，f(x)＜0，不合題意．綜上所述，a的取值范圍是(－∞，2]． …12分【思路點撥】（Ⅰ）先求函數(shù)的定義域，易知x∈R，然后對原函數(shù)求導，借助于函數(shù)y=2ex的圖象，通過變換得到f′（x）=2ex-a的圖象，解不等式得到原函數(shù)的單調區(qū)間．（Ⅱ）這是一道不等式恒成立問題，因此只需當x≥0時，f（x）min≥0即可，再結合（Ⅰ）中對函數(shù)單調性的研究，確定f（x）的最小值，則問題可解．20.（13分）

已知點（Ⅰ）求f(x)的定義域；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求證：數(shù)列{an}前n項和參考答案：解析：（Ⅰ）由故x>0或x≤－1f(x)定義域為

…………（4分）（Ⅱ）下面使用數(shù)學歸納法證明：①在n=1時，a1=1，<a1<2，則n=1時（*）式成立.②假設n=k時成立，由要證明：只需只需(2k+1)3≤8k(k+1)2只需1≤4k2+2k而4k2+2k≥1在k≥1時恒成立.只需證：4k2+11k+8>0，而4k2+11k+8>0在k≥1時恒成立.于是：因此得證.綜合①②可知（*）式得證.從而原不等式成立.

………………9分（Ⅲ）要證明：由（2）可知只需證：…………（**）下面用分析法證明：（**）式成立。要使（**）成立，只需證：即只需證：(3n－2)3n>(3n－1)3(n－1)只需證：2n>1而2n>1在n≥1時顯然成立.故（**）式得證：于是由（**）式可知有：因此有：

……（13分）21.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知a=2、c=3，cosB=．

（1）求b的值；

（2）求sinC的值．參考答案：【考點】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由a，c以及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值；（2）利用余弦定理表示出cosC，把a，b，c的值代入求出cosC的值，由C的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sinC的值即可．【解答】解：（1）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB