廣東省惠州市稔山中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析

廣東省惠州市稔山中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若函數(shù)f（x）=lnx與函數(shù)g（x）=x2+2x+a（x＜0）有公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（ln，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（1，+∞） D．（﹣ln2，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】分別求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出各自曲線上的切點(diǎn)，得到切線的斜率，再由兩點(diǎn)的斜率公式，結(jié)合切點(diǎn)滿足曲線方程，可得切點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，整理得到關(guān)于一個(gè)坐標(biāo)變量的方程，借助于函數(shù)的極值和最值，即可得到a的范圍．【解答】解：f′（x）=，g′（x）=2x+2，設(shè)與g（x）=x2+2x+a相切的切點(diǎn)為（s，t）s＜0，與曲線f（x）=lnx相切的切點(diǎn)為（m，n）m＞0，則有公共切線斜率為2s+2==，又t=s2+2s+a，n=lnm，即有a=s2﹣1+ln（2s+2），設(shè)f（s）=s2﹣1﹣ln（2s+2）（﹣1＜s＜0），所以f'（s）=＜0∴f（s）＞f（0）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，∵s∈（﹣1，0），且趨近與1時(shí)，f（s）無限增大，∴a＞﹣ln2﹣1故選A．2.復(fù)數(shù)z=1﹣i（i是虛數(shù)單位），則+z等于（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出．【解答】解：+z=+1﹣i=+1﹣i=1+i+1﹣i=2．故選：A．3.如圖所示，U是全集，M、N、S是U的子集，則圖中陰影部分所示的集合是()A．(?UM∩?UN)∩SB．(?U(M∩N))∩SC．(?UN∩?US)∪MD．(?UM∩?US)∪N參考答案：A4.已知集合，，則為(

)A. B. C. D.參考答案：D5.若是偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則不等式的解集是

(

)A.

B.

C.

D參考答案：答案：C6.已知函數(shù)（）的最小值為8，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則，令，則在上單調(diào)遞增，又，，所以存在零點(diǎn)。

7.設(shè)向量a，b滿足：|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝0，則a與b的夾角是A．30°

B．60°

C．90°

D．120°參考答案：D8.下列命題正確的是A.若a＞b,則a2＞b2

B.若a＞b，則ac＞bcC.若a＞b，則a3＞b3

D.若a>b，則＜參考答案：C對(duì)于，若，，則不成立；對(duì)于，若，則不成立；對(duì)于，若，則，則正確；對(duì)于，，，則不成立.故選C

9.設(shè)是的三個(gè)內(nèi)角，且滿足：則等于（

）

參考答案：A10.若集合，則

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.①三角形紙片內(nèi)有1個(gè)點(diǎn)，連同三角形的頂點(diǎn)共4個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)都不共線，以這4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，并把紙片剪成小三角形，可得小三角形個(gè)數(shù)為3個(gè)；②三角形紙片內(nèi)有2個(gè)點(diǎn)，連同三角形的頂點(diǎn)共5個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)都不共線，以這5個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，并把紙片剪成小三角形，可得小三角形個(gè)數(shù)為5個(gè)，……以此類推：三角形紙片內(nèi)有15個(gè)點(diǎn)，連同三角形的頂點(diǎn)共18個(gè)點(diǎn)，若其中任意三點(diǎn)都不共線，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，并把紙片剪成小三角形，則這樣的小三角形個(gè)數(shù)為

個(gè)。（用數(shù)字作答）參考答案：31略12.已知函數(shù)等差數(shù)列的公差為2，，則

．參考答案：略13.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（1，σ2），若P（ξ＞2）=0.15，則P（0≤ξ≤1）=

．參考答案：0.35【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算．【解答】解：∵變量ξ服從正態(tài)分布N（1，σ2），∴P（ξ＞1）=0.5，∴P（1≤ξ≤2）=P（ξ＞1）﹣P（ξ＞2）=0.35，∴P（0≤ξ≤1）=P（1≤ξ≤2）=0.35．故答案為：0.35．14.（5分）對(duì)a，b∈R，記，函數(shù)的最大值為參考答案：1考點(diǎn)： 函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．分析： 先去掉函數(shù)中的絕對(duì)值，然后表示出函數(shù)f（x）的解析式，最后求函數(shù)的最大值即可．解答： 解：由題意知=∴當(dāng)x＜﹣2時(shí)，f（x）=x+1＜﹣1當(dāng)﹣2≤x≤2時(shí)，﹣1≤f（x）≤1當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=3﹣x＜1綜上所述，函數(shù)f（x）的最大值為1故答案為：1點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查函數(shù)函數(shù)最值問題．含絕對(duì)值的函數(shù)要去掉絕對(duì)值考慮問題．15.若的二項(xiàng)展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)和為，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

．參考答案：1516.設(shè)，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值是

.參考答案：-1517.(文)已知向量和向量的夾角為，，則和的數(shù)量積=

參考答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）在定義域[﹣1，1]是奇函數(shù)，當(dāng)x∈[﹣1，0]時(shí)，f（x）=﹣3x2．（1）當(dāng)x∈[0，1]，求f（x）；（2）對(duì)任意a∈[﹣1，1]，x∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤2cos2θ﹣asinθ+1都成立，求θ的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，即可求出當(dāng)x∈[0，1]，f（x）的表達(dá)式；（2）將不等式恒成立，轉(zhuǎn)換為最值恒成立即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）由題意可知，f（﹣x）=﹣f（x），設(shè)x∈[0，1]，則﹣x∈[﹣1，0]，則f（﹣x）=﹣3x2，∴f（﹣x）=﹣3x2=﹣f（x），即f（x）=3x2．（2）由（1）知f（x）=，∵不等式f（x）≤2cos2θ﹣asinθ+1都成立，∴f（x）max≤2cos2θ﹣asinθ+1都成立，∵f（x）max=f（1）=3，∴2cos2θ﹣asinθ+1≥3，即2sin2θ+asinθ≤0，設(shè)f（a）=2sin2θ+asinθ，∵a∈[﹣1，1]，∴，即，∴sinθ=0，即θ=kπ，k∈Z．19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝2－ax－2(a∈R)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0，求a的取值范圍.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì)；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

B3

B12

B14【答案解析】解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋篟,f￠(x)＝2ex－a．若a≤0，則f￠(x)＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增；若a＞0，則當(dāng)x∈(－∞，ln)時(shí)，f￠(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(ln，＋∞)時(shí)，f￠(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增． …5分（Ⅱ）注意到f(0)＝0．若a≤0，則當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，f(x)≥f(0)＝0，符合題意．若ln≤0，即0＜a≤2，則當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，f(x)≥f(0)＝0，符合題意．若ln＞0，即a＞2，則當(dāng)x∈(0，ln)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，f(x)＜0，不合題意．綜上所述，a的取值范圍是(－∞，2]． …12分【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）先求函數(shù)的定義域，易知x∈R，然后對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，借助于函數(shù)y=2ex的圖象，通過變換得到f′（x）=2ex-a的圖象，解不等式得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（Ⅱ）這是一道不等式恒成立問題，因此只需當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）min≥0即可，再結(jié)合（Ⅰ）中對(duì)函數(shù)單調(diào)性的研究，確定f（x）的最小值，則問題可解．20.（13分）

已知點(diǎn)（Ⅰ）求f(x)的定義域；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求證：數(shù)列{an}前n項(xiàng)和參考答案：解析：（Ⅰ）由故x>0或x≤－1f(x)定義域?yàn)?/p>

…………（4分）（Ⅱ）下面使用數(shù)學(xué)歸納法證明：①在n=1時(shí)，a1=1，<a1<2，則n=1時(shí)（*）式成立.②假設(shè)n=k時(shí)成立，由要證明：只需只需(2k+1)3≤8k(k+1)2只需1≤4k2+2k而4k2+2k≥1在k≥1時(shí)恒成立.只需證：4k2+11k+8>0，而4k2+11k+8>0在k≥1時(shí)恒成立.于是：因此得證.綜合①②可知（*）式得證.從而原不等式成立.

………………9分（Ⅲ）要證明：由（2）可知只需證：…………（**）下面用分析法證明：（**）式成立。要使（**）成立，只需證：即只需證：(3n－2)3n>(3n－1)3(n－1)只需證：2n>1而2n>1在n≥1時(shí)顯然成立.故（**）式得證：于是由（**）式可知有：因此有：

……（13分）21.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知a=2、c=3，cosB=．

（1）求b的值；

（2）求sinC的值．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由a，c以及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值；（2）利用余弦定理表示出cosC，把a(bǔ)，b，c的值代入求出cosC的值，由C的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值即可．【解答】解：（1）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB