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廣東省梅州市樂育中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.若實(shí)數(shù)a,b滿足,則下列關(guān)系中不可能成立的是(
)A. B.C. D.參考答案:D【分析】根據(jù)題意,結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),依次分析選項(xiàng),綜合即可得答案.【詳解】根據(jù)題意,實(shí)數(shù),滿足,對于,若,均大于0小于1,依題意,必有,故有可能成立;對于,若,則有,故有可能成立;對于,若,均大于1,由,知必有,故有可能成立;對于,當(dāng)時(shí),,,不能成立,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,注意分類討論、的值,屬于中檔題.
2.已知是兩條不同直線,是三個(gè)不同平面,則下列正確的是()A.若,則
B.若,則C.若,則
D.若,則參考答案:D3.在樣本的頻率分布直方圖中,共有4個(gè)小長方形,這4個(gè)小長方形的面積由小到大依次構(gòu)成等比數(shù)列{an},已知a2=2a1,且樣本容量為300,則對應(yīng)小長方形面積最小的一組的頻數(shù)為(
)A.20 B.40 C.30 D.無法確定參考答案:A【考點(diǎn)】頻率分布直方圖.【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列;概率與統(tǒng)計(jì).【分析】根據(jù)題意等比數(shù)列前n項(xiàng)和頻率和為1,求出小長方形面積最小一組的頻率與頻數(shù)即可.【解答】解:根據(jù)題意,得;等比數(shù)列{an}中,a2=2a1,∴a3=4a1,a4=8a1;∴a1+2a1+4a1+8a1=15a1=1,解得a1=;又樣本容量為300,∴對應(yīng)小長方形面積最小的一組的頻數(shù)為300×=20.故選:A.【點(diǎn)評】本題考查了頻率和為1與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題目.4.若直線過圓的圓心,則的值為 A.0 B.1 C.2 D.3參考答案:B略5.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組若x,y為整數(shù),則3x+4y的最小值是()
A.14
B.16
C.17
D.19參考答案:B6.已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足,,,則的值等于
(
)A.25
B.24
C.-25
D.-24參考答案:C7.如圖,平面中兩條直線和相交于點(diǎn)O,對于平面上任意一點(diǎn)M,若、分別是M到直線和的距離,則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”.對于給定的常數(shù),給出下列命題:①若,則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)有且僅有1個(gè);②若,且,則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)有且僅有2個(gè);③若,則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)有且僅有4個(gè).上述命題中,正確命題的個(gè)數(shù)是A.0
B.1
C.2
D.3參考答案:D略8.從裝有2支鉛筆和2支鋼筆的文具袋內(nèi)任取2支筆,那么互斥而不對立的兩個(gè)事件是(
)
A.恰有1支鋼筆;恰有2支鉛筆。
B.至少有1支鋼筆;都是鋼筆。
C.至少有1支鋼筆;至少有1支鉛筆。D.至少有1個(gè)鋼筆;都是鉛筆。參考答案:A略9.某學(xué)校有160名教職工,其中教師120名,行政人員16名,后勤服務(wù)人員24名,今從中抽取一個(gè)容量為20的樣本,采用(
)較為合適.A.簡單隨機(jī)抽樣
B.系統(tǒng)抽樣
C.分層抽樣
D.其他抽樣參考答案:C10.平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,一條漸近線方程為,則它的離心率為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.拋物線y=4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________.參考答案:略12.已知集合A={﹣1,0,1,3,5},集合B={1,2,3,4},則A∩B=
.參考答案:{1,3}集合的交集為由兩集合的公共元素構(gòu)成的集合,集合A={﹣1,0,1,3,5},集合B={1,2,3,4},則A∩B={1,3}.故答案為:{1,3}.13.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為,若,且A、B、C三點(diǎn)共線(該直線不過原點(diǎn)O),則=
參考答案:100略14.若函數(shù),且,則
▲
.參考答案:略15.在矩形ABCD中,對角線AC與相鄰兩邊所成的角為α,β,則有cos2α+cos2β=1.類比到空間中的一個(gè)正確命題是:在長方體ABCDA1B1C1D1中,對角線AC1與相鄰三個(gè)面所成的角為α,β,γ,則cos2α+cos2β+cos2γ=.參考答案:2【考點(diǎn)】類比推理;棱柱的結(jié)構(gòu)特征.【分析】由類比規(guī)則,點(diǎn)類比線,線類比面,可得出在長方體ABCDA1B1C1D1中,對角線AC1與相鄰三個(gè)面所成的角為α,β,γ,則cos2α+cos2β+cos2γ=2,解直角三角形證明其為真命題即可.【解答】解:我們將平面中的兩維性質(zhì),類比推斷到空間中的三維性質(zhì).由在長方形中,設(shè)一條對角線與其一頂點(diǎn)出發(fā)的兩條邊所成的角分別是α,β,則有cos2α+cos2β=1,我們根據(jù)長方體性質(zhì)可以類比推斷出空間性質(zhì),∵長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,如圖對角線AC1與過A點(diǎn)的三個(gè)面ABCD,AA1B1B、AA1D1D所成的角分別為α,β,γ,∴cosα=,cosβ=,cosγ=,∴cos2α+cos2β+cos2γ=,令同一頂點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)棱的長分別為a,b,c,則有cos2α+cos2β+cos2γ===2故答案為:cos2α+cos2β+cos2γ=2.16.函數(shù)的最小正周期為__________.參考答案:π【分析】由周期公式求解即可【詳解】由題故答案為π【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的周期公式,熟記公式是關(guān)鍵是基礎(chǔ)題17.下列命題中:(1)、平行于同一直線的兩個(gè)平面平行;(2)、平行于同一平面的兩個(gè)平面平行;(3)、垂直于同一直線的兩直線平行;(4)、垂直于同一平面的兩直線平行.其中正確的個(gè)數(shù)有_____________;參考答案:2對于(1)、平行于同一直線的兩個(gè)平面平行,反例為:把一支筆放在打開的課本之間;(2)是對的;(3)是錯(cuò)的;(4)是對的
三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本小題14分)數(shù)列滿足,.(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(II)證明:;(III)證明:.參考答案:解:由得,猜想:下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想:成立.ⅰ當(dāng)時(shí),猜想成立;ⅱ假設(shè)時(shí),猜想成立,即;那么當(dāng)時(shí),;從而時(shí)猜想成立。綜合ⅰ,ⅱ知:猜想成立.即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)由于當(dāng)時(shí),;
所以令得即,∴,于是,從而即證:.(3)由柯西不等式得:所以要證即證,也就是需證:,即證:;因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)當(dāng)時(shí)所以當(dāng)時(shí),取得
∴,所以.19.設(shè)定義在(0,+)上的函數(shù)(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為,求的值。參考答案:(I)(方法一),…………3分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),的最小值為?!?分…………2分
…………3分…………1分(II)由題意得:,
①…………2分,
②…………3分由①②得:。
…………2分略20.如圖,已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中,AB=3,AD=2,∠BCD=120°(1)求線段BD的長與圓的面積。(2)求四邊形ABCD的周長的最大值。
參考答案:(1)由于四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形,所以∠BCD+∠BAD=1800由題設(shè)知∠BCD=1200,所以∠BAD=600……………1分在中由余弦定理得==7……………4分由正弦定理得………6分(2)解法一:設(shè)∠CBD=θ,那么00<θ<600……………7分在中有正弦定理得……………8分……………9分四邊形ABCD的周長=5+=…………11分由于00<θ<600,所以600<θ+600<1200所以θ+600=900即所以θ=300時(shí)四邊形ABCD的周長取得最大值5+……………12分解法二:設(shè),,在中由余弦定理得…7分…………8分………9分四邊形ABCD的周長………11分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式取等號,四邊形ABCD的周長最大值為……12分(沒有取等條件扣一分)21.隨機(jī)抽取某中學(xué)甲乙兩班各10名同學(xué),測量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如右圖.(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪個(gè)班的平均身高較高;(2)計(jì)算甲班的樣本方差;(3)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名身高不低于173cm的同學(xué),求身高為176cm的同學(xué)被抽中的概率.參考答案:解:(1)由莖葉圖可知:甲班身高集中于之間,而乙班身高集中于之間。因此乙班平均身高高于甲班;
(2)
甲班的樣本方差為
=57.2
(3)設(shè)身高為176cm的同學(xué)被抽中的事件為A;
從乙班10名同學(xué)中抽中兩名身高不低于173cm的同學(xué)有:(181,173)
(181,176)(181,178)(181,179)(179,173)(179,176)(179,178)
(178,173)
(178,
176)
(176,173)共10個(gè)基本事件,而事件A含有4個(gè)基本事件;
;
略22.(8分)某租賃公司擁有汽車100輛,當(dāng)每輛車的
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