廣東省梅州市河東中學2023年高二數(shù)學文下學期期末試題含解析

廣東省梅州市河東中學2023年高二數(shù)學文下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某科研小組共有5個成員，其中男研究人員3人，女研究人員2名，現(xiàn)選舉2名代表，至少有1名女研究人員當選的概率為（）A． B． C． D．以上都不對參考答案：C【考點】等可能事件的概率．【分析】先確定科研小組共有5個成員，選舉2名代表的方法數(shù)，再求出至少有1名女研究人員當選的方法數(shù)，由此可求概率．【解答】解：科研小組共有5個成員，選舉2名代表，共有=10種方法，其中至少有1名女研究人員當選，共有=7種方法，∴選舉2名代表，至少有1名女研究人員當選的概率為故選C．2.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，則當Sn取最小值時，n等于(

)A．6 B．7 C．8 D．9參考答案：A考點：等差數(shù)列的前n項和．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：條件已提供了首項，故用“a1，d”法，再轉(zhuǎn)化為關于n的二次函數(shù)解得．解答：解：設該數(shù)列的公差為d，則a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以當n=6時，Sn取最小值．故選A．點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式以及前n項和公式的應用，考查二次函數(shù)最值的求法及計算能力3.已知全集，則正確表示集合和關系的圖是參考答案：B略4.對具有線性相關的變量x，y有一組觀測數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…6），其回歸直線方程是，且x1+x2+…+x6=10，y1+y2+…+y6=4，則實數(shù)a的值是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】線性回歸方程．【專題】對應思想；待定系數(shù)法；概率與統(tǒng)計．【分析】根據(jù)回歸直線方程過樣本中心點（，），代入方程計算即可．【解答】解：因為=×（x1+x2+…+x6）==，=×（y1+y2+…+y6）==，代入回歸直線方程中，即，解得．故選：A．【點評】本題考查了回歸直線方程過樣本中心點的應用問題，是基礎題目．5.命題P：2016≤2017，則下列關于命題P說法正確的是．（）A．命題P使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”，是假命題B．命題P使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”，是假命題C．命題P使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”，是假命題D．命題P使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”，是真命題參考答案：D【考點】邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”．【分析】根據(jù)p或q的定義進行判斷即可．【解答】解：2016≤2017等價為2016=2017或2016＜2017，中間使用了邏輯連接詞或，為真命題，故選：D【點評】本題主要考查復合命題以及邏輯連接詞的判斷，比較基礎．6.若f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有極大值和極小值，則a的取值范圍是

（）A．﹣1＜a＜2 B．a(chǎn)＞2或a＜﹣1 C．a(chǎn)≥2或a≤﹣1 D．a(chǎn)＞1或a＜﹣2參考答案：B【考點】6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】先求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)有極大值和極小值，可知導數(shù)為0的方程有兩個不相等的實數(shù)根，通過△＞0，即可求出a的范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1所以函數(shù)f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），因為函數(shù)有極大值和極小值，所以方程f′（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根，即x2+2ax+a+2=0有兩個不相等的實數(shù)根，∴△＞0，∴（2a）2﹣4×1×（a+2）＞0，解得：a＜﹣1或a＞2故選：B．7.已知圓O：和點,過點M的圓的兩條弦AC,BD互相垂直，則四邊形ABCD面積的最大值（

）

A.

B.

C.23

D.25參考答案：C8.若橢圓的短軸為,它的一個焦點為,則滿足為等邊三角形的橢圓的離心率是()A. B. C. D.參考答案：B略9.在極坐標系中，已知A（1，），B（2，）兩點，則|AB|＝（）A. B. C.1 D.參考答案：B【分析】根據(jù)題意，由AB的坐標分析可得|OA|＝1，|OB|＝2，且∠AOB，由余弦定理計算可得答案【詳解】在極坐標系中，已知A（1，），B（2，），則|OA|＝1，|OB|＝2，且∠AOB，則|AB|2＝+﹣2|OA||OB|cos∠AOB＝1+4﹣2×1×2×cos3，則|AB|，故選：B．【點睛】本題考查極坐標的應用，涉及余弦定理的應用，屬于基礎題．10.頻率分布直方圖中每個矩形的面積所對應的數(shù)字特征是(

)A.頻數(shù) B.眾數(shù) C.平均數(shù) D.頻率參考答案：D【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的概念進行判斷。【詳解】頻率分布直方圖中每個矩形的面積故所對應的數(shù)字特征是為這一組所對應的頻率.故選：D【點睛】本題考查頻率分布直方圖的概念，屬于基礎題。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，且是第二象限角，則____________參考答案：12.若方程x2＋y2－2mx＋(2m－2)y＋2m2＝0表示一個圓，且該圓的圓心位于第一象限，則實數(shù)m的取值范圍為________．參考答案：0<m<13.已知雙曲線的右焦點為(3,0)，則該雙曲線的漸近線方程為________.參考答案：

14.已知雙曲線﹣=1與﹣=1有相同的離心率，則m=．參考答案：6【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，由雙曲線離心率公式變形可得e2=1+，對于題目所給的兩個雙曲線可得：e12=1+=3和e22=1+，兩者離心率相等，可得1+=3，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，對于雙曲線﹣=1，其離心率e=，則e2===1+，對于雙曲線﹣=1，其離心率為e1，則e12=1+=3，對于雙曲線﹣=1，其離心率為e2，則e22=1+，而兩個雙曲線有相同的離心率，則有1+=3，解可得m=6；故答案為：6．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，要掌握并靈活運用雙曲線離心率的計算公式．15.我們知道，在邊長為a的正三角形內(nèi)任一點到三邊的距離之和為定值，類比上述結(jié)論，在棱長為a的正四面體內(nèi)任一點到其四個面的距離之和為定值

．參考答案：類比在邊長為a的正三角形內(nèi)任一點到三邊的距離之和為定值，得棱長為a的正四面體內(nèi)任一點到其四個面的距離之和為定值，如圖，不妨設O為正四面體ABCD外接球球心，F(xiàn)為CD中點，E為A在平面BCD上的射影，由棱長為a可以得到BF＝a，BO＝AO＝a－OE，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可以得到BO2＝BE2＋OE2，把數(shù)據(jù)代入得到OE＝a，所以棱長為a的正四面體內(nèi)任一點到各個面的距離之和為4×a＝a

16.命題的否定為參考答案：17.已知函數(shù)＝若＝，則實數(shù)______參考答案：2

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點．（1）證明：MN∥平面PAB；（2）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值．參考答案：【考點】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定．【分析】（1）法一、取PB中點G，連接AG，NG，由三角形的中位線定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，說明四邊形AMNG為平行四邊形，可得NM∥AG，由線面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、證明MN∥平面PAB，轉(zhuǎn)化為證明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，過N作NE⊥AC，垂足為E，連接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通過求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，則結(jié)論得證；（2）連接CM，證得CM⊥AD，進一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD內(nèi)，過A作AF⊥PM，交PM于F，連接NF，則∠ANF為直線AN與平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直線AN與平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）證明：法一、如圖，取PB中點G，連接AG，NG，∵N為PC的中點，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，則NG∥AM，且NG=AM，∴四邊形AMNG為平行四邊形，則NM∥AG，∵AG?平面PAB，NM?平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，過N作NE⊥AC，垂足為E，連接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，則sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，則EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，則NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，則MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC?AM?cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，則AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA?平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，則平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD內(nèi)，過A作AF⊥PM，交PM于F，連接NF，則∠ANF為直線AN與平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中點，得AN==，在Rt△PAM中，由PA?AM=PM?AF，得AF=，∴sin．∴直線AN與平面PMN所成角的正弦值為．【點評】本題考查直線與平面平行的判定，考查直線與平面所成角的求法，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，考查了空間想象能力和計算能力，是中檔題．19.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝，且AB＝2AD＝2DC＝2PD＝4，E為PA的中點．（1）證明：DE∥平面PBC；（2）證明：DE⊥平面PAB．參考答案：

略20.為了解A，B兩種輪胎的性能，某汽車制造廠分別從這兩種輪胎中隨機抽取了8個進行測試，下面列出了每一個輪胎行駛的最遠里程數(shù)（單位：1000km）輪胎A

96,112,97,108,

100,103,

86,

98輪胎B

108,101,94，105，96，93，97，106（1）分別計算A，B兩種輪胎行駛的最遠里程的平均數(shù)、中位數(shù)；（2）分別計算A，B兩種輪胎行駛的最遠里程的極差、標準差；（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)你認為哪種型號的輪胎性能更加穩(wěn)定？

參考答案：解：（1）100，100

（2）99，99

（3）26，15

略21.(本小題滿分12分)設函數(shù)⑴求的最小值.⑵若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；參考答案：解：⑴，令即，得當時，，原函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，原函數(shù)單調(diào)遞增；所以函數(shù)在處取到最小值，最小值。⑵由得。令，令。在處取到最大值為1，所以。略22.已知函數(shù)