2022-2023學(xué)年山東省青島市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題

2022-2023第一學(xué)期期末測(cè)試高二數(shù)學(xué)一、選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知長(zhǎng)方體中，，若棱上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和A． B．C． D．3．已知函數(shù)，則（

）A．－2 B．2 C．－4 D．44．如圖，已知正方體棱長(zhǎng)為，點(diǎn)在棱上，且，在側(cè)面內(nèi)作邊長(zhǎng)為的正方形，是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到平面距離等于線段的長(zhǎng)，則當(dāng)點(diǎn)在側(cè)面運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值是（

）A． B． C． D．5．設(shè)F是雙曲線的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F向C的一條漸近線引垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點(diǎn)B，若，則雙曲線C的離心率是（

）A． B．2 C． D．6．?dāng)?shù)列{an}，{bn}滿足，an＝b，且a1＝b1＝1，且{bn}的前n項(xiàng)和為，記，n∈N*，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn的最小值為（

）A． B． C． D．-17．已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，是圓的圓心，則的最小值為（

）公眾號(hào)高中僧試題下載A．7 B．6 C．5 D．48．在中，已知，是邊上一點(diǎn)，且，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．二、選擇題；本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9．已知直線l：＝0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線l的傾斜角是B．若直線m：＝0，則l⊥mC．點(diǎn)到直線l的距離是2D．過與直線l平行的直線方程是10．若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.在現(xiàn)代物理?準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)，化學(xué)等領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列都有直接的應(yīng)用.則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．11．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率可能為（）A． B． C． D．12．在直四棱柱中中，底面為菱形，為中點(diǎn)，點(diǎn)滿足.下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則四面體的體積為定值B．若平面，則的最小值為C．若的外心為，則為定值2D．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為三、填空題；本題共4小題，每小題5分，共20分13．已知空間三點(diǎn)，，在一條直線上，則實(shí)數(shù)的值是___________14．如圖，是可導(dǎo)函數(shù),直線l是曲線在處的切線，令，則___________.15．已知橢圓的右頂點(diǎn)為，經(jīng)過原點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若，，則橢圓的離心率為________.16．對(duì)于正整數(shù)n，設(shè)是關(guān)于x的方程：的實(shí)根，記，其中表示不超過x的最大整數(shù)，則______；若，為的前n項(xiàng)和，則______．四、解答題；本題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．已知點(diǎn)P在曲線上，為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，求的取值范圍．18．已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若的最小值為，且實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值.19．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：直線BA1平面（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．20．某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖中（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺銹最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方向構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺銹越漂亮，向按同樣的規(guī)律刺銹（小正方形的擺放規(guī)律相同），設(shè)第個(gè)圖形包含個(gè)小正方形(1)求的值(2)求出的表達(dá)式(3)求證：當(dāng)時(shí)，21．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，雙曲線與共焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上．（1）求雙曲線的方程：（2）已知點(diǎn)P在雙曲線上，且，求的面積．22．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，若，，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案1．C建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出、，利用，求出的范圍．解：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，，，即，所以，當(dāng)時(shí)，所以，所以．故選：C．2．B根據(jù)遞推關(guān)系式構(gòu)造等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式得，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后根據(jù)分組求和法求結(jié)果并選擇.因?yàn)椋?，即，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為，所以，分組求和可得數(shù)列的前項(xiàng)和．故選B．形如的遞推關(guān)系式，利用待定系數(shù)法可化為，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列；由，兩式相減，得當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列．3．D先求導(dǎo)，求得得到求解.解：，則，解得，所以，故．故選：D4．B建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)在內(nèi)可設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，作，連接，可得，作，根據(jù)空間中兩點(diǎn)間距離公式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的范圍，即得最小值.根據(jù)題意，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，作，交于M，連接，則，作，交于N，則即為點(diǎn)P到平面距離.設(shè),則，，∵點(diǎn)到平面距離等于線段的長(zhǎng)，∴，由兩點(diǎn)間距離公式可得，化簡(jiǎn)得，則，可得，即.在中，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.故選:B.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵在于建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算，將幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，通過計(jì)算二次函數(shù)的最小值來突破難點(diǎn).5．C設(shè)一漸近線的方程為，設(shè)，，由，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再由，斜率之積等于，求出，代入進(jìn)行運(yùn)算．解：由題意得右焦點(diǎn)，設(shè)一漸近線的方程為，則另一漸近線的方程為，設(shè)，，，，，，，，，，，由可得，斜率之積等于，即，，．故選：C．本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，求得點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．6．C先求出bn＝n，an=n2，從而得到，判斷出，，，當(dāng)時(shí)，.即可求出Sn的最小值.記{bn}的前n項(xiàng)和為，所以，所以，所以.因?yàn)?，所以，所以{bn}為b1＝1，公差d=1的等差數(shù)列，所以bn＝n.an＝b=n2.所以.數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn，要使Sn最小，只需把所有的負(fù)項(xiàng)都加完.因?yàn)?，所以，，，?dāng)時(shí)，.所以Sn的最小值為.故選：C7．B設(shè)拋物線的準(zhǔn)線方程為，過作的垂線，垂足為，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求的最小值，在根據(jù)幾何知識(shí)得當(dāng)，，在一條直線上時(shí)有最小值解：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線方程為，為圓的圓心，所以的坐標(biāo)為，過作的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義可知，所以問題求的最小值，就轉(zhuǎn)化為求的最小值，由平面幾何的知識(shí)可知，當(dāng)，，在一條直線上時(shí)，此時(shí)，有最小值，最小值為，故選：B．8．B設(shè).由題意.則，兩端平方，根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算和基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.再由三角形面積公式可求面積的最大值設(shè).由題意，.則，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.，面積的最大值為.故選：.本題考查利用向量求三角形的面積，考查基本不等式，屬于中檔題.9．BCD對(duì)A，根據(jù)斜率判斷即可；對(duì)B，根據(jù)直線垂直斜率之積為-1求解即可；對(duì)C，根據(jù)點(diǎn)到線的距離公式求解即可；對(duì)D，先求得的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求解即可對(duì)A，直線l：＝0，直線的斜率為：所以直線的傾斜角為：所以A不正確；對(duì)B，直線m：＝0的斜率為：因?yàn)椋蕛蓷l直線垂直，所以B正確；對(duì)C，點(diǎn)到直線l的距離是：＝2，所以C正確；對(duì)D，的斜率為，故過與直線l平行的直線方程是，化簡(jiǎn)得正確，所以D正確；故選：BCD．10．ABC根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義計(jì)算，判斷A，由遞推公式判斷BCD．由題意，A正確；,B正確；，又，所以，C正確；，D錯(cuò)．故選：ABC．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的遞推公式，解題關(guān)鍵是利用遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)，對(duì)數(shù)列的項(xiàng)進(jìn)行變形．如BD在變形以最后一項(xiàng)時(shí)要注意是哪一項(xiàng)．11．AB根據(jù)橢圓的定義結(jié)合已知條件求出，再根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即可解出.由橢圓定義，，由橢圓的幾何性質(zhì)，，又e<1，∴.故選：AB.12．ABD對(duì)于A，取的中點(diǎn)分別為，由條件確定的軌跡，結(jié)合錐體體積公式判斷A，對(duì)于B，由條件確定的軌跡為，將原問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離最小問題求解；對(duì)于C，由三角形外心的性質(zhì)和向量數(shù)量積的性質(zhì)可判斷，對(duì)于D，由條件確定點(diǎn)的軌跡為圓弧，利用弧長(zhǎng)公式求軌跡長(zhǎng)度即可判斷.對(duì)于A，取的中點(diǎn)分別為，連接，則，，，因?yàn)椋?，所以，，所以三點(diǎn)共線，所以點(diǎn)在，因?yàn)?，，所?平面，平面，所以∥平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，因?yàn)榈拿娣e為定值，所以四面體的體積為定值，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)椋驗(yàn)槠矫?，平面，所以∥平面，又平面，，平面，所以平面平面，取的中點(diǎn)，連接，則，，所以，所以四點(diǎn)共面，所以平面平面，平面平面,平面平面,所以，又，所以，所以點(diǎn)的軌跡為線段，翻折平面，使其與五邊形在同一平面，如圖，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，因?yàn)?，所以，，所以，在中，，，所以，所以，所以，在中，，，，所以，所以，即的最小值為，所以B正確，對(duì)于C，若的外心為，過作于，因?yàn)?，所以，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，過作，垂足為，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又在中，，所以，，在中，，，，所以，則在以為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，在上取點(diǎn)，使得，則，所以點(diǎn)的軌跡為圓弧，因?yàn)椋?，則圓弧等于，所以D正確，故選：ABD.本題解決的關(guān)鍵在于根據(jù)所給條件結(jié)合線面位置關(guān)系確定點(diǎn)的軌跡，再結(jié)合錐體體積公式，空間圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化解決問題.13．先計(jì)算、的坐標(biāo)，利用空間向量共線定理即可求解.因?yàn)?，，，所以，，因?yàn)榭臻g三點(diǎn)，，在一條直線上，所以，即解得，所以實(shí)數(shù)的值是，故答案為：.14．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合函數(shù)圖像，確定的值，根據(jù)，對(duì)求導(dǎo)，即可求解.由圖像可知，，切線過、，，求導(dǎo)故答案為：導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于在這一點(diǎn)處的切線的斜率.15．設(shè)點(diǎn)在第一象限，由對(duì)稱性可知，利用銳角三角函數(shù)的定義可得出，從而可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得出與的等量關(guān)系，即可求出橢圓的離心率.不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，為坐標(biāo)原點(diǎn)，由對(duì)稱性可得，，則在中，，故，設(shè)點(diǎn)，則，，即點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程得，可得，設(shè)橢圓的焦距為，則橢圓的離心率為.故答案為：.本題考查橢圓離心率的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是求出橢圓上的某一點(diǎn)，通過將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程來求出橢圓的離心率，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.16．

1

506當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)方程，通過構(gòu)造函數(shù)的方法，找到函數(shù)零點(diǎn)的范圍，進(jìn)而可求得，令，化簡(jiǎn)方程，通過構(gòu)造函數(shù)的方法，找到函數(shù)零點(diǎn)的范圍，即得的范圍，分類討論為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)的，從而可得出答案.解：當(dāng)時(shí)，，即，令，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上都是增函數(shù)，又，，所以函數(shù)在存在唯一零點(diǎn)，即，則，所以，方程，即為，即為，令，則，則有，令，則函數(shù)在上遞增，因?yàn)?，，所以，使得，?dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：1；506.本題考查了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的問題，考查了數(shù)列新定義及數(shù)列求和的問題，綜合性很強(qiáng)，對(duì)邏輯推理能力和數(shù)據(jù)分析能力要求很高，考查了分類討論思想，難度很大.17．由題，，求出，結(jié)合均值不等式討論的值域，即可求得的范圍，即可進(jìn)一步求得的取值范圍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為．因?yàn)?，所以，所以，即；因?yàn)?，所以，即?8．（1）或；（2）.（1）先將函數(shù)解析式化為，分別討論，，三種情況，即可得出結(jié)果；（2）先由（1）得到，得出3a?4b?5=0，根據(jù)的幾何意義，即可求出結(jié)果.本題考查絕對(duì)值不等式的解法和點(diǎn)到直線的距離公式，考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想.（1）.由，可得，或，或，解得或或.所以不等式的解集為或（2）由（1）易求得，即.所以，即.表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方.又點(diǎn)在直線上.因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以的最小值為.本題考查絕對(duì)值不等式的解法和點(diǎn)到直線的距離公式，考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.19．（1）證明見詳解；（2）（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)和平面的一個(gè)法向量，由數(shù)量積為零即可證明結(jié)論；（2）首先求得平面ADC1與平面ABA1的法向量，利用法向量的夾角求得二面角．（1）依題意得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0，2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4),設(shè)平面ADC1的法向量為，因?yàn)椋?1,1,0)，＝(0,2,4)，所以·＝0，·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，＝(2，－2,1)是平面ADC1的一個(gè)法向量,因?yàn)?，且平面所以∥；?）取平面ABA1的一個(gè)法向量為，設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為，由|cosθ|＝＝＝，因此平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．本題的核心在考查空間向量的應(yīng)用，需要注意以下問題：(1)一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算；(2)設(shè)分別為平面，的法向量，則二面角與互補(bǔ)或相等，求解時(shí)一定要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．20．(1)61；(2)；(3)見解析（1）根據(jù)列舉法找規(guī)律，得到的值；（2）同樣根據(jù)列舉法找規(guī)律，根據(jù)累加法得到的表達(dá)式；（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，代入可得，利用累加法求和，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性證明不等式.（1），，，，，.（2）∵，，，，由上式規(guī)律得出．（3）證明：當(dāng)時(shí)，，∴.∵，∴命題成立.21．（1）；（2