2022-2023學年天津市寶坻區(qū)高二年級上冊學期期末數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年度第一學期期末測試高二數(shù)學考試時間：100分鐘；注意事項：1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2.請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題：本大題共12小題，每小題4分，共48分1.在空間直角坐標系中，已知點A(1，1，2)，B(－3，1，－2)，則線段AB的中點坐標是（）A(－2，1，2) B.(－1，1，0) C.(－2，0，1) D.(－1，1，2)【答案】B【解析】【分析】利用中點坐標公式直接求解．【詳解】在空間直角坐標系中，點，1，，，1，，則線段的中點坐標是，，，1，．故選：B.2.已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系為（）A.相離 B.相交 C.外切 D.內(nèi)切【答案】C【解析】【分析】計算圓心距，和比較大小，即可判斷兩圓位置關(guān)系.【詳解】圓的圓心坐標是，半徑，圓的圓心坐標是，半徑，,所以圓心距，所以兩圓相外切.故選：C3.已知雙曲線的離心率為2，則C的漸近線方程為（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)離心率及a，b，c的關(guān)系，可求得，代入即可得答案.【詳解】因為離心率，所以，所以，，則，所以C的漸近線方程為.故選：A4.如圖所示,在正方體中,點F是側(cè)面的中心,設(shè),則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理將轉(zhuǎn)化為即可選出答案.【詳解】解:由題知,點F是側(cè)面的中心,為中點,則,故選:A5.兩條平行直線與之間的距離（）A. B. C. D.7【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)兩條直線平行求出參數(shù)的值，然后利用平行線間的距離公式求解即可.詳解】由已知兩條直線平行，得，所以，所以直線可化為，則兩平行線間的距離.故選：C6.基站建設(shè)是眾多“新基建”的工程之一，截至2021年8月底，地區(qū)已經(jīng)累計開通基站300個，未來將進一步完善基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)體系，加快推進網(wǎng)絡(luò)建設(shè)．已知2021年9月該地區(qū)計劃新建50個基站，以后每個月比上一個月多建40個，預計地區(qū)累計開通4640個基站要到（）A.2022年11月底B.2022年10月底C.2022年9月底D.2022年8月底【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求得結(jié)果.【詳解】假設(shè)要經(jīng)過個月，地區(qū)累計開通4640個基站，則由題意得，化簡得，，解得或（舍去）所以預計地區(qū)累計開通4640個基站要到2022年10月底，故選：B7.如圖，在長方體中，，，則直線和夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如圖建立空間直角坐標系，分別求出的坐標，由空間向量夾角公式即可求解.【詳解】如圖：以為原點，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，所以，所以直線和夾角的余弦值為，故選：D.8.設(shè)，則“”是“直線與直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.重要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)直線垂直求出的值，再根據(jù)充分性和必要性的概念得答案.【詳解】直線與直線垂直則，解得或，則“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故選：A.9.設(shè)為數(shù)列的前項和，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)公式，即可求解.【詳解】當時，，當時，，驗證，當時，，所以.故選：A10.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（）A.7 B.9 C.81 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及對數(shù)的運算性質(zhì)可求出結(jié)果.【詳解】依題意可得，又，所以，所以.故選：D11.設(shè)，是橢圓：的左、右焦點，過點且傾斜角為60°的直線與直線相交于點，若為等腰三角形，則橢圓的離心率的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得點的坐標，然后根據(jù)列方程，化簡求得離心率.【詳解】由于為等腰三角形，

所以，.故選：A12.圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑，深度，信號處理中心位于焦點處，以頂點為坐標原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系，若是該拋物線上一點，點，則的最小值為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】由已知點在拋物線上，利用待定系數(shù)法求拋物線方程，結(jié)合拋物線定義求的最小值.【詳解】設(shè)拋物線的方程為，因為，，所以點在拋物線上，所以，故，所以拋物線的方程為，所以拋物線的焦點的坐標為，準線方程為，在方程中取可得，所以點在拋物線內(nèi)，過點作與準線垂直，為垂足，點作與準線垂直，為垂足，則，所以，當且僅當直線與準線垂直時等號成立，所以的最小值為3，故選：B.第II卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前項和為，且，，成等比數(shù)列，，則__________．【答案】4【解析】【分析】由題意結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列通項公式、前n項和公式可得，再由等差數(shù)列的通項公式即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題得,所以，所以，所以.故答案為：4.【點睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14.已知拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，則___________.【答案】【解析】【分析】先求出拋物線標準方程，求出焦點坐標，即可求出.【詳解】因為點為拋物線上一點，所以，解得：.所以焦點.所以.故答案為：15.已知是平面的一個法向量，點在平面內(nèi)，則點到平面的距離為_________.【答案】##【解析】【分析】利用空間向量求點到平面的距離即可.【詳解】由題可得，又是平面的一個法向量，∴則點P到平面的距離為.故答案為：.16.圓關(guān)于直線對稱的圓的標準方程為______．【答案】【解析】【分析】由題意，整理圓的一般方程為標準方程，明確圓心與半徑，根據(jù)點關(guān)于直線對稱，可得答案.【詳解】由，則，即，半徑為，設(shè)關(guān)于直線的對稱點，可得，解得，即，故圓的標準方程為.故答案為：三、解答題：本大題共4小題，共52分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為，，．（1）求BC邊上的中線AD的所在直線方程；（2）求△ABC的外接圓O被直線l：截得的弦長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求BC邊的中點D的坐標，再得AD的斜率即可求解；（2）先求△ABC的外接圓O，再求圓心到直線.直線l的距離，再由勾股定理可求解.【小問1詳解】∵，∴BC邊的中點D的坐標為，∴中線AD的斜率為，∴中線AD的直線方程為：，即【小問2詳解】設(shè)△ABC的外接圓O的方程為，∵A、B、C三點在圓上，∴解得：∴外接圓O的方程為，即，其中圓心O為，半徑,又圓心O到直線l的距離為,∴被截得的弦長的一半為,∴被截得的弦長為.18.如圖，在棱長為1的正方體中，是棱的中點，為的中點．（1）求證：平面（2）求直線和平面所成的角的正弦值．（3）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】以為原點，、、所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系．用向量法判定線面平行以及求空間角【小問1詳解】以為原點，、、所在直線分別為，，軸建立如圖所示空間直角坐標系．依題意，得，，設(shè)面的法向量，，所以，取，得因為，所以．所以．又面．所以面．【小問2詳解】，設(shè)面的法向量，，所以，取，得．因為，所以．所以直線和平面所成的角的正弦值為．【小問3詳解】由（1）?（2）可得，所以平面與平面夾角的余弦值為．19.等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）令，設(shè)數(shù)列的前項和為，求；（3）令，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：.【答案】（1），（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件列關(guān)于公差與公比的方程組，解方程組可得再根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列通項公式得結(jié)果；（2）根據(jù)錯誤相減法求數(shù)列的前項和為，注意作差時項符號的變化以及求和時項數(shù)的確定；（3）將裂項得，然后求和即可.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，則由得，解得，所以，.小問2詳解】由（1）可知，∴①②①—②得：，∴.【小問3詳解】20.已知橢圓：：的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為.，是橢圓的兩個焦點.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點，已知點的坐標為，若，求直線的方程；（3）設(shè)是橢圓上一點，直線與橢圓交于另一點，點滿足：軸且，求證：是定值.【答案】（1）（2）（3）14【解析】【分析】（1）由離心率公式以及橢圓的性質(zhì)列出方程組得出橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達定理得出點坐標，最后由距離公式得出直線的方程．（3）設(shè)，，，計算，求出直線，將其與橢圓聯(lián)立求得，則，最后計算兩者之和即可得到定值.【小問1詳解】由題意可得，得，，橢圓；【小問2詳解】設(shè)，，直線為．由，得顯然，由韋達定理有：，則；所以，且，若，即解得，所以．【小問3詳解】由題意可得，，設(shè)，，，