初中數(shù)學(xué)北師大版八年級上冊第一章勾股定理“百校聯(lián)賽”一等獎

第一章勾股定理第一課時探索勾股定理（1）教學(xué)目標(biāo)：經(jīng)歷用數(shù)格子的辦法探索勾股定理的過程，有特例猜想勾股定理，進一步發(fā)展學(xué)生的合情推力意識，主動探究的習(xí)慣，進一步體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系。能利用勾股定理解決簡單的實際問題，進一步發(fā)展學(xué)生的說理和簡單的推理的意識及能力。重點難點：重點：探索勾股定理的過程，并能用它來解決一些簡單的問題。難點：用數(shù)格子的方法探索勾股定理.教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)問題的情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，導(dǎo)入課題章前的圖文：初識勾股定理，來學(xué)習(xí)“第1節(jié)探索勾股定理”。古人發(fā)現(xiàn)，直角三角形的三條邊長度的平方存在一種特殊的關(guān)系，讓我們一起去探索吧。做一做觀察圖1—2并回答：如圖1－2，直角三角形三邊的平方分別是多少，它們有怎樣的數(shù)量關(guān)系？你是怎樣得出上面的結(jié)果的？（可以用割補法求的正方形C的面積，既可以用補的方法，也可以用割的方法。）對于圖1—3中的直角三角形，三邊的平方是否還滿足這樣的關(guān)系？你又是怎樣得出上面的結(jié)果的？總結(jié)：以直角三角形兩直角邊為邊的正方形的面積和，等于以斜邊的正方形面積。議一議圖1—2、1—3中，用三角形的邊長表示正方形的面積；能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度的平方之間的關(guān)系；勾股定理：直角三角形邊的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c，那么a2＋b2＝c2。我國古代稱直角三角形的較短的直角邊為勾，較長的直角邊為股，斜邊為弦，這就是勾股定理的由來。利用勾股定理解決圖1－1中的問題。1.求斜邊的長度。8862.分別以5厘米和12厘米為直角邊做出一個直角三角形，求斜邊的長度.隨堂練習(xí)P3－1～2.3.錯例辨析：△ABC的兩邊為3和4，求第三邊。解：由于三角形的兩邊為3、4，所以它的第三邊的c應(yīng)滿足＝25即：c＝5辨析：（1）要用勾股定理解題，首先應(yīng)具備直角三角形這個必不可少的條件，可本題△ABC并未說明它是否是直角三角形，所以不能用勾股定理求第三邊。這個題目條件不足，第三邊無法求得。作業(yè)課本P4習(xí)題——1、2、3、4第二課時探索勾股定理（2）教學(xué)目標(biāo)：經(jīng)歷運用拼圖的方法說明勾股定理是正確的過程，在數(shù)學(xué)活動中發(fā)展學(xué)生的探究意識和合作交流的習(xí)慣。掌握勾股定理和他的簡單應(yīng)用重點難點： 重點：運用拼圖的方法（割補法）驗證勾股定理，能用勾股定理解決簡單問題.難點：用割補法、面積法驗證勾股定理.教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)問題的情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，導(dǎo)入課題我們已經(jīng)通過數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了勾股定理，你能用圖1-4說明勾股定理的正確性嗎？書中p5圖1—5，圖1-6中：大正方形的面積可表示為什么？（用割補法）對于圖1－5：（1）；（2）.把這兩種表示大正方形面積的式子用等號連接起來：＝，對上面的式子進行化簡，得到：即＝這就可以從理論上說明勾股定理的正確性。請同學(xué)們用圖1－6說明勾股定理的正確性。二、例題講解【例】我方偵探員小王在距離東西向公路400米處偵查發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上疾馳。他趕緊拿出紅外線測距儀，測得汽車與他相距400米，10秒后，汽車與他相距500米，你能幫小王計算敵方汽車的速度么？分析：根據(jù)題意：可以先畫出符合題意的圖形。如下圖，圖中△ABC的∠C＝90°，AC＝400米，AB＝500米，欲求敵方汽車的速度，就要知道汽車在10秒的時間里的路程，即圖中的CB的長，由于直角△ABC中AB＝500米，AC＝400米，這樣的CB就可以通過勾股定理得出。這里一定要注意單位的換算。議一議觀察圖1—8）觀察上圖，應(yīng)用割補法、數(shù)格子判斷圖中的三角形的三邊長是否滿足.總結(jié)：勾股定理只適用于直角三角形中，不是直角三角形（銳△、鈍△）就不能使用勾股定理。隨堂練習(xí)P6－1（兩次應(yīng)用勾股定理）作業(yè)：1、課本P6習(xí)題——1、2；2.選用作業(yè)：P6習(xí)題——3、4。第三課時探索勾股定理（3）課型：習(xí)題課【學(xué)習(xí)目標(biāo)】通過實例應(yīng)用勾股定理,培養(yǎng)學(xué)生的知識應(yīng)用技能.【學(xué)習(xí)準(zhǔn)備】1.若△ABC中，∠C＝90°，（1）若a＝5，b＝12，則c＝；（2）若a＝6，c＝10，則b＝；2.利用右圖。你能證明勾股定理嗎？【學(xué)習(xí)過程】勾股定理常見題型：題型一：直角三角形中，已知兩邊求第三邊：例1：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D為垂足，AC＝6cm,BC＝8求①△ABC的面積；②斜邊AB的長；③斜邊AB上的高CD的長。歸納：通過這個問題的求解,你發(fā)現(xiàn)直角三角形的兩條直角邊的乘積與斜邊及斜邊上的高的乘積有什么關(guān)系?【練習(xí)一】1.在Rt△ABC中，已知兩邊長為3、4，則第三邊長的平方為2.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12題型二：直角三角形中，勾股定理是列方程的重要依據(jù);例2.有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？【練習(xí)二】1.直角三角形的斜邊為20cm，兩條直角邊之比為3∶4，那么這個直角三角形的周長為ABCDEO2.小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1ABCDEO3.如圖所示，把一張矩形紙片沿對角線折疊.OBD是三角形。若AB＝8cm,BC＝10cm,求:AO的長度和OBD第四課時一定是直角三角形嗎教學(xué)目標(biāo)：1.經(jīng)歷勾股定理的逆定理的探索過程，進一步發(fā)展推理能力；并能進行簡單應(yīng)用；2.掌握勾股定理的逆定理，并能進行簡單的應(yīng)用.教學(xué)重點：掌握勾股定理的逆定理，會通過三邊長判斷一個三角形是否是直角三角形，并會辨析哪些問題應(yīng)用哪個結(jié)論．教學(xué)難點：會辨析哪些問題應(yīng)用哪個結(jié)論．教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1.提問：勾股定理；使用勾股定理的前提條件是什么？在一個直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.2.提出問題：如果一個三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形嗎？如果三角形的三邊為，，，請猜想在什么條件下，以這三邊組成的三角形是直角三角形？二、新課學(xué)習(xí)做一做當(dāng)一個三角形滿足較短兩邊的平方和等于最大邊的平方時，這三邊組成的三角形是直角三角形.1.畫圖驗證的方法下面的三組數(shù)分別是一個三角形的三邊長a，b，c：3，4，5；5，12，13；6,8,10；8，15，17.（1）這三組數(shù)都滿足a2＋b2＝c2；（2）分別以每組數(shù)為三邊長作出三角形（應(yīng)用已知三邊長、尺規(guī)作法），用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？2.得出結(jié)論（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．我們把這個結(jié)論成為勾股定理的逆定理.（2）滿足a2＋b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．例題講解例1（P9-例1）一個零件的形狀如左圖所示，按規(guī)定這個零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角．工人師傅量得這個零件各邊尺寸如右圖所示，這個零件符合要求嗎？三、隨堂練習(xí)：2.（選用）四邊形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13，且∠A＝90°，求這個四邊形的面積．3.下列幾組數(shù)能否作為直角三角形的三邊長？說說你的理由.⑴9，12，15⑵15，36，39⑶12，35，36⑷12，18，224.一個三角形的三邊長分別是，則這個三角形的面積是（）A．250B．150C．200D．不能確定5.如圖4：在中，于，，則是（）A．等腰三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．鈍角三角形圖4圖4圖56.如圖5，在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，圖中有幾個直角三角形，你是如何判斷的？與你的同伴交流.圖5四、課堂小結(jié)：⒈勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c（c是最長邊）滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．（且最長邊所對的角是直角.）當(dāng)已知一個三角形三邊的長度時，就可以用勾股定理的逆定理來判定這個三角形是不是直角三角形。⒉滿足a2＋b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．勾股數(shù)擴大相同整數(shù)倍后，仍為勾股數(shù)．五、作業(yè)課本P10，題第1、2、3、4.第五課時勾股定理的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1.能運用勾股定理及直角三角形的判別條件(即勾股定理的逆定理)解決簡單的實際問題，發(fā)展應(yīng)用意識.2.在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學(xué)建模的思想.教學(xué)重點難點：重點：探索、發(fā)現(xiàn)給定事物中隱含的勾股定理及其逆及理，并用它們解決生活實際問題.難點：利用數(shù)學(xué)中的建模思想構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實際問題.教學(xué)過程1.回顧復(fù)習(xí)（1）說出勾股定理的內(nèi)容，在什么條件下應(yīng)用勾股定理？應(yīng)用勾股定理能解決什么樣的問題？（2）說出勾股定理的逆定理的內(nèi)容，應(yīng)用勾股定理逆定理能解決什么樣的問題？2.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課：欲登12米高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需多長的梯子？解：根據(jù)題意，(如圖)AC是建筑物，則AC=12米，BC=5米，AB是梯子的長度.3.講授新課：螞蟻怎么走最近：問題：有一個圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米．在圓柱的底面A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，沿圓柱側(cè)面需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取（1）同學(xué)們可自己做一個圓柱，嘗試從A點到B點沿圓柱的側(cè)面畫出幾條路線，你覺得哪條路線最短呢？（小組討論）（2）如圖，將圓柱側(cè)面剪開展開成一個長方形，從A點到B點的最短路線是什么?你畫對了嗎?（3）螞蟻從A點出發(fā)，想吃到B點上的食物，它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？我們知道，圓柱的側(cè)面展開圖是一長方形.好了，現(xiàn)在咱們就用剪刀沿母線AA′將圓柱的側(cè)面展開(如下圖).我們不難發(fā)現(xiàn)，有下列幾種的走法：(1)A→A′→B；(2)A→B′→B；(3)A→D→B；(4)A—→B.哪條路線是最短呢？第(4)條路線最短.因為“兩點之間的連線中線段最短”.4.是否垂直（做一做）：李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺，（1）你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？（2）李叔叔量得AD長是30厘米，AB長是40厘米，BD長是AD邊垂直于AB邊嗎？為什么？（3）小明隨身只有一個長度為20厘米AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？5.例題講解【例】如圖是一個滑梯的示意圖，若將滑道AC水平放置，則剛好與AB一樣長，已知CE＝3cm,CD＝1cm，求滑道AC的長。本例體現(xiàn)：勾股定理的應(yīng)用，方程思想.6.隨堂練習(xí)：1.課本P14:甲、乙兩位探險者，到沙漠進行探險.某日早晨8∶00甲先出發(fā)，他以6千米/時的速度向東行走.1時后乙出發(fā)，他以5千米/時的速度向北行進.上午10∶分析：首先我們需要根據(jù)題意將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型.解：(如圖)根據(jù)題意，可知A是甲、乙的出發(fā)點，10∶00時甲到達B點，則AB＝2×6＝12(千米)；乙到達C點，則AC＝1×5＝5(千米).在Rt△ABC中，BC2＝AC2＋AB2＝52＋122＝169＝132，所以BC＝13千米.即甲、乙兩人相距132.如圖，有一個高米，半徑是1米的圓柱形桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在桶外的部分是米，問這根鐵棒應(yīng)有多長？分析：從題意可知，沒有告訴鐵棒是如何插入油桶中，因而鐵棒的長是一個取值范圍而不是固定的長度，所以鐵棒最長時，是插入至底部的A點處，鐵棒最短時是垂直于底面時.解：設(shè)伸入油桶中的長度為x米，則應(yīng)求最長時和最短時的值.(1)x2＝＋22，x2＝，x＝。所以最長是＋＝3(米).(2)若x＝，則最短是＋＝2(米).答：這根鐵棒的長應(yīng)在2~3米之間(包含2米、3.試一試(課本P15-5)在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面.請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各為多少？我們可以將這個實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型.解：如圖，設(shè)水深為x尺，則蘆葦長為(x＋1)尺，由勾股定理可求得(x＋1)2＝x2＋52，x2＋2x＋1＝x2＋25解得x＝12則水池的深度為12尺，蘆葦長13尺.課時小結(jié)：這節(jié)課我們利用勾股定理和它的逆定理解決了生活中的幾個實際問題.我們從中可以發(fā)現(xiàn)用數(shù)學(xué)知識解決這些實際問題，更為重要的是將它們轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型.1.在直角三角形中，課后作業(yè)：課本P14、習(xí)題第1、2、3.第六課時回顧與思考課型：復(fù)習(xí)課【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、掌握直角三角形的邊、角之間分別存在著的關(guān)系;正確使用勾股定理的逆定理，準(zhǔn)確地判斷三角形的形狀.2.熟練地運用直角三角形的勾股定理、逆定理和其他性質(zhì)解決實際問題.【學(xué)習(xí)過程】一．勾股定理的應(yīng)用C例1.如圖，一架2.5米長的梯子AB斜靠在豎直的墻AC上，這時B到墻C的距離為0.7米C例2、如圖，已知長方形ABCD中AB＝8cm,BC＝10cm,在邊CD上取一點E，將△ADE折疊使點D恰好落在BC邊上的點F，求CC【練習(xí)一】1.若三角形ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶1∶1,a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，則下列等式中，成立的是（）A.B.C.D.2.在△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝10，BC∶AC＝3∶4，則BC＝（）8cmDACBA.