第六章頻域法

6.1頻率特性1.頻率特性的基本概念頻率特性又稱頻率響應(yīng)（FrequencyResponse），它是系統(tǒng)（或元件）對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)特性。對(duì)線性系統(tǒng)，若其輸入信號(hào)為正弦量，則其穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)也將是同頻率的正弦量。但是其幅值和相位一般都不同于輸入量。若逐次改變輸入信號(hào)的（角）頻率ω，則輸出響應(yīng)的幅值與相位都會(huì)發(fā)生變化，參見圖6-1。第6章頻域分析法圖6-1線性系統(tǒng)的頻率特性響應(yīng)示意圖由圖6-1可見，若r1(t)=Asinω1t,其輸出為

c1(t)=A1sin(ω1t+φ1)=M1Asin(ω1t+φ1)，即振幅增加了M1倍，相位超前了φ1角。若改變頻率ω，使r2(t)=Asinω2t，則系統(tǒng)的輸出變?yōu)閏2(t)=A2sin(ω2t-φ2)=M2Ａsin(ω2t-φ2)，這時(shí)輸出量的振幅減少了(增加M2倍，但M2<1),相位滯后φ2角。因此，若以頻率ω為自變量，系統(tǒng)輸出量振幅增長(zhǎng)的倍數(shù)M和相位的變化量φ為兩個(gè)因變量，這便是系統(tǒng)的頻率特性。若設(shè)輸入量為

r(t)=Ar

sinωt則輸出量將為c(t)=Ac

sin(ωt+φ)=MArsin(ωt+φ)一個(gè)穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，模M和相位移φ都是頻率ω的函數(shù)（隨ω的變化而改變），所以通常寫成M(ω)和φ(ω)。這意味著，它們的值對(duì)不同的頻率可能是不同的，參見圖6-2。圖4-2某自動(dòng)控制系統(tǒng)的頻率特性(A)幅頻特性;(b)相頻特性M(ω)稱為幅值頻率特性，簡(jiǎn)稱幅頻特性(MAGnitudeChArActeristic)。

φ(ω)稱為相位頻率特性，簡(jiǎn)稱相頻特性(PhAseChArActeristic)。兩者統(tǒng)稱頻率特性(FrequencyChArActeristic)或幅相頻率特性(MAGnitudePhAseChArActeristic)。頻率特性常用G(jω)符號(hào)表示，幅頻特性M(ω)表示為|G(jω)|，相頻特性表示為∠G(jω)，三者可寫成下面的形式：

G(jω)=|G(jω)|∠G(jω)(6-1)2.頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系

頻率特性和傳遞函數(shù)之間存在著密切關(guān)系。若系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)為G(s),則其頻率特性為G(jω)。這就是說，只要將傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s用純虛數(shù)jω代替，就可以得到頻率特性。事實(shí)上，頻率特性是傳遞函數(shù)的一種特殊情形。由拉氏變換可知，傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s=σ+jω。若σ=0,則s=jω。所以，G(jω)就是σ=0時(shí)的G(s)。根據(jù)頻率特性和傳遞函數(shù)之間的這種關(guān)系，可以很方便地由傳遞函數(shù)求取頻率特性，也可由頻率特性來求取傳遞函數(shù)。即既然頻率特性是傳遞函數(shù)的一種特殊情形，那么，傳遞函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)律對(duì)于頻率特性也是適用的。下面來證明這種本質(zhì)聯(lián)系。線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式為(6-2)由上式有若輸入量r(t)=Ar

sinωt,則將其拉氏式R(s)=Arω/(s2+ω2)代入式（6-2）有(6-3)式中，si為系統(tǒng)特征方程的特征根；Ci、B、D均為待定常系數(shù)。將式(6-3)進(jìn)行拉氏反變換，即得系統(tǒng)輸出量(6-4)對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，特征根si將具有負(fù)實(shí)部。因此,c(t)的第一部分為暫態(tài)分量，將隨時(shí)間t的延續(xù)而逐漸趨于零。c(t)的第二部分為穩(wěn)態(tài)分量，以cs(t)表示:

cs(t)=Be-jωt+Dejωt(6-5)式(6-5)恰是所要求解的部分。其中B、D可由待定系數(shù)法求得:

G(jω)為一復(fù)數(shù)量，它可寫成下列形式：

G(jω)=M(ω)ejφ(ω)(6-6)同理可得G(-jω)=M(ω)e-jφ(ω)把G(jω)和G(-jω)代入B和D，再把B和D代入式(6-5)，于是有由歐拉公式，上式可化為cs(t)=Ac

sin［ωt+φ(ω)］(6-7)3.頻率特性的表示方式1)數(shù)學(xué)式表示方式頻率特性是一個(gè)復(fù)數(shù)，和其他復(fù)數(shù)一樣，可以表示為指數(shù)形式、直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)等幾種，參見圖6-3。極坐標(biāo)的橫軸為實(shí)軸(ReAlAxis)，標(biāo)以Re，縱軸為虛軸(IMAGinAryAxis)，標(biāo)以IM。頻率特性的幾種表示方式如以下各式所示。圖6–3頻率特性的幾種表示方式G(jω)=U(ω)+jV(ω)（直角坐標(biāo)表示式）(4-8)=|G(jω)|∠G(jω)(極坐標(biāo)表示式）(6-9)=M(ω)ejφ(ω)(指數(shù)表示式）(6-10)在以上各式中，通常稱U(ω)為實(shí)頻特性,V(ω)為虛頻特性,M(ω)為幅頻特性,φ(ω)為相頻特性,G(jω)為幅相頻率特性。顯然，幅頻特性(6-11)相頻特性(6-12)已知慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為其頻率特性為由上式并參照式(6-8)、式(6-11)和式(6-12)可得:實(shí)頻特性幅頻特性相頻特性(6-14)(6-13)相頻特性2)圖形表示方式(1)極坐標(biāo)圖（PolArPlot）。極坐標(biāo)圖又稱奈奎斯特圖。當(dāng)ω從0→∞變化時(shí)，根據(jù)頻率特性的極坐標(biāo)表示式G(jω)=|G(jω)|∠G(jω)=M(ω)∠φ(ω)可以計(jì)算出每一個(gè)ω值下所對(duì)應(yīng)的幅值M(ω)和相角φ(ω)。將它們畫在極坐標(biāo)平面上，就得到了頻率特性的極坐標(biāo)圖。如果把復(fù)數(shù)G(jω)表示成矢量，M(ω)即為矢量的模，φ(ω)即為矢量的幅角。而頻率特性的極坐標(biāo)圖，就是矢量G(jω)的矢端在ω由0→∞時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡。該軌跡又稱為幅相頻率特性曲線（或NyqUist圖）。下面以慣性環(huán)節(jié)為例來說明幅相頻率特性曲線的繪制方法。已知慣性環(huán)節(jié)的頻率特性為在繪制幅相頻率特性曲線時(shí)，先選取幾個(gè)特殊點(diǎn)（如ω=0，ω=1/T，ω→∞等）求得對(duì)應(yīng)的M與φ，然后再有選擇地選取若干個(gè)與ω?cái)?shù)值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的M與φ，再按ω由0→∞的順序，逐點(diǎn)繪制出曲線圖形。如對(duì)慣性環(huán)節(jié):當(dāng)ω=0時(shí)，M(ω)|ω=0=1，φ(ω)|ω=0=0；當(dāng)ω=1/T時(shí)，M(ω)|ω=1/T=1/，φ(ω)|ω=1/T=-π/4；當(dāng)ω→∞時(shí)，M(ω)|ω→∞=0，φ(ω)|ω→∞=-π/2。然后再求取與ω=1/4T、1/2T、2/T、4/T等數(shù)值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的M與φ，按ω由0→∞的順序，畫出如圖4-4所示的幅相頻率特性曲線來。圖6-4慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性圖由圖6-4可見，曲線上的每一點(diǎn)都表示著某一個(gè)ω?cái)?shù)值時(shí)的G(jω)的幅值M(ω)和相角φ(ω)。矢量G(jω)的矢端軌跡就是幅相頻率特性曲線，矢量G(jω)在實(shí)軸上的投影即為其實(shí)部U(ω)，在虛軸上的投影即為其虛部V(ω)。不難證明，慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線正好是一個(gè)半圓。按照同樣的方法，可以畫出如圖6-5所示常見的二、三階系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線。圖6-5常見的二、三階系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線(2)對(duì)數(shù)頻率特性和對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖(LoGArithMicPlot)。該坐標(biāo)圖又稱BoDe圖。①對(duì)數(shù)頻率特性。對(duì)于頻率特性G(jω)=M(ω)ejφ(ω)，對(duì)它的模取常用對(duì)數(shù),并且令L(ω)=20lgM(ω)dB這樣，對(duì)數(shù)頻率特性可定義為L(zhǎng)(ω)=20lgM(ω)dBφ(ω)=argG（jω）·(6-15)②伯德（BoDe）圖引入對(duì)數(shù)幅頻特性L(ω)，可以使串聯(lián)環(huán)節(jié)的幅值相乘轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)幅頻特性的相加，這對(duì)圖形的處理、分析、計(jì)算都會(huì)帶來很大方便。以后的分析將表明，L(ω)或它的漸近線大多與lgω成線性關(guān)系。因此，若以L(ω)為縱軸，lgω為橫軸，則其圖形將為直線，這可使頻率特性的計(jì)算和繪制過程大為簡(jiǎn)化。另一方面，若以lgω為橫軸，則lgω每變化一個(gè)單位長(zhǎng)度，ω將變化10倍(以后稱這為一個(gè)“10倍頻程”(DecADe)，記以“Dec”)。由于習(xí)慣上都以頻率ω作為自變量，因此將橫軸改為對(duì)數(shù)坐標(biāo)，標(biāo)以自變量ω。這樣，橫軸對(duì)lgω將是等分的，對(duì)ω將是對(duì)數(shù)的，兩者的對(duì)應(yīng)關(guān)系參見圖6-6的橫軸對(duì)照?qǐng)D。圖6-6伯德圖的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)在應(yīng)用對(duì)數(shù)頻率特性進(jìn)行系統(tǒng)分析時(shí)，使用的是對(duì)數(shù)幅頻特性L(ω)，所以伯德圖的縱軸以等分坐標(biāo)來標(biāo)定L(ω),但要注意它的單位是分貝(dB)，而且要注意它是20lgM(ω)。L(ω)與M(ω)的對(duì)應(yīng)關(guān)系參見圖4-6所示對(duì)照?qǐng)D。由圖6-6可見，伯德圖是畫在縱軸為等分坐標(biāo)、橫軸為對(duì)數(shù)坐標(biāo)的特殊坐標(biāo)紙上的。這種坐標(biāo)紙稱“半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙”，橫軸對(duì)數(shù)坐標(biāo)的每一個(gè)等分稱為一級(jí)，圖6-7橫軸有三個(gè)相等的等分，因此稱為三級(jí)“半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙”。圖6-7三級(jí)“半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙”在使用對(duì)數(shù)坐標(biāo)時(shí)要特別注意以下兩點(diǎn)：(1)它是不均勻坐標(biāo)，是由疏到密周期性變化排列的。(2)對(duì)數(shù)坐標(biāo)的每一級(jí)代表10倍頻程，即每一個(gè)等分的級(jí)的頻率差10倍，若第一個(gè)“1”處為0.1，則以后的“1”處便分別為1、10、100、1000等等。６.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性

1.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G(s)=K則其頻率特性為G(jω)=K=K∠0°(６-16)1)極坐標(biāo)圖由比例環(huán)節(jié)的頻率特性知，幅頻特性M(ω)=K，相頻特性φ(ω)=0°。從比例環(huán)節(jié)的頻率特性表達(dá)式可見，M(ω)和φ(ω)均為常數(shù)，與頻率無關(guān)。其極坐標(biāo)圖是實(shí)軸上的一個(gè)點(diǎn)K，如圖6-8所示。2)伯德圖根據(jù)對(duì)數(shù)頻率特性的定義，有L(ω)=20lgM(ω)=20lgK(6-17)φ(ω)=0°(6-18)式(6-17)表示一條水平直線，若K值增加，則L(ω)直線向上平移。式(6-18)表示一條與0°重合的直線，其伯德圖如圖6-9所示。圖6-8比例環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線圖6-9比例環(huán)節(jié)的伯德圖2.積分環(huán)節(jié)

積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為則其頻率特性為(6-19)1)極坐標(biāo)圖根據(jù)式(6-19)，分析如下：當(dāng)ω=0時(shí)，M(ω)→∞，φ(ω)=-90°；當(dāng)ω=1時(shí)，M(ω)=1，φ(ω)=-90°；當(dāng)ω→∞時(shí)，M(ω)=0，φ(ω)=-90°。由以上分析可知，幅頻特性M(ω)與ω成反比，相頻特性φ(ω)恒等于-90°。積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線如圖6-10所示。當(dāng)頻率ω從0→∞時(shí)，特性曲線由虛軸的-j∞→０原點(diǎn)變化。圖6-10積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線2)伯德圖根據(jù)式(6-19)可得積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性為(6-20)由于對(duì)數(shù)頻率特性的頻率軸是以lgω分度的，顯然上式L(ω)與lgω的關(guān)系是一條直線，其斜率為-20dB/Dec，并且經(jīng)過點(diǎn)(1，0)。

對(duì)數(shù)相頻特性為φ(ω)=-90°(6-21)它是一條平行于實(shí)軸的一條直線，位于-90°位置。積分環(huán)節(jié)的伯德圖如圖6-11所示。圖6-11積分環(huán)節(jié)的伯德圖

3.微分環(huán)節(jié)

微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

G(s)=s則其頻率特性為

G(jω)=jω=ω∠+90°(6-22)1)極坐標(biāo)圖根據(jù)式(6-22)可知

M(ω)=ω(6-23)φ(ω)=+90°(6-24)當(dāng)ω從0→∞時(shí)，M(ω)從0→∞，φ(ω)=+90°，其極坐標(biāo)圖如圖6-12所示，特性曲線與正虛軸重合。圖6-12微分環(huán)節(jié)的幅相頻率圖6-13微分環(huán)節(jié)的伯德圖2)伯德圖由式(6-23)可得微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性為L(zhǎng)(ω)=20lgω(6-25)可見，L(ω)與lgω成直線關(guān)系，其斜率為20dB/Dec，并且與0dB線（ω軸）相交于ω=1點(diǎn)。對(duì)數(shù)相頻特性為φ(ω)=+90°，它是一條與ω軸平行的直線，位于+90°處。微分環(huán)節(jié)的伯德圖如圖6-13所示。

4.慣性環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為則其頻率特性為(6-26)1)極坐標(biāo)圖根據(jù)式(6-26)，給定一個(gè)頻率ω，可求得相對(duì)應(yīng)的M(ω)和φ(ω)，便可在極坐標(biāo)圖中畫出一個(gè)點(diǎn)。通常,當(dāng)ω=0時(shí)，取M(ω)=1，φ(ω)=0；當(dāng)ω=1/T時(shí)，取M(ω)=/2，φ(ω)=-45°；當(dāng)ω→∞時(shí)，取M(ω)=0，φ(ω)=-90°。根據(jù)上述各點(diǎn)，便可得到該環(huán)節(jié)的ω從0→∞的幅相頻率特性曲線，如圖6-14所示。因極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)有著對(duì)應(yīng)的關(guān)系，上述繪制過程也可以在直角坐標(biāo)中表示。即G(jω)=|G(jω)|∠G(jω)=U(ω)+jV(ω)(6-27)

根據(jù)式(6-27)，式(6-26)的頻率特性可表示為(6-28)當(dāng)ω=0時(shí)，U(ω)=1，V(ω)=0；當(dāng)ω=1/T時(shí)，U(ω)=1/2，V(ω)=-1/2；當(dāng)ω→∞時(shí)，U(ω)=0,V(ω)=0。當(dāng)ω從0→∞時(shí)，U(ω)和V(ω)作相應(yīng)變化，同樣可得到圖6-14所示頻率特性曲線。圖6-14慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線可以證明，當(dāng)ω從0→∞時(shí)，慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖是個(gè)以(1/2,j0)為圓心，以1/2為半徑的一個(gè)半圓。從數(shù)學(xué)的角度看，可令ω從-∞→+∞，則該曲線為一個(gè)圓。即(6-29)如圖6-14所示，用虛線表示ω從-∞→0的曲線，由于ω為負(fù)，因此已無實(shí)際物理意義。2)伯德圖由式(4-26)可得慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性為(4-30)(4-31)圖6-15慣性環(huán)節(jié)的伯德圖式(6-30)表示慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線是一條曲線，若采用逐點(diǎn)描繪法將很繁瑣，常常采用分段直線的近似繪制方法。即先作出L(ω)的漸近線，然后再根據(jù)特殊點(diǎn)（如ω=1/T）的數(shù)值，進(jìn)行最大誤差處的修正，便可得到該環(huán)節(jié)的較精確的特性曲線。通常采用三個(gè)頻率段的辦法，方法如下：(1)低頻段。當(dāng)ω<<1/T，即Tω<<1時(shí)，可忽略(Tω)2，即認(rèn)為(Tω)2≈0，于是有(2)高頻段。當(dāng)ω>>1/T，即Tω>>1時(shí)，這時(shí)可忽略1，同樣有(3)交接頻率段。交接頻率又稱轉(zhuǎn)折頻率，即高頻段與低頻段的交接處。當(dāng)ω=1/T，即Tω=1時(shí)，認(rèn)為L(zhǎng)(ω)≈0dB。慣性環(huán)節(jié)的實(shí)際L(ω)曲線，在ω=1/T時(shí)，出現(xiàn)最大誤差，即表6-1慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)頻率特性誤差修正表

式(6-31)為慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性，為便于計(jì)算，可作如下近似處理：當(dāng)ω<<1/T時(shí)，取φ(ω)=0°；當(dāng)ω>>1/T時(shí)，取φ(ω)=-90°；當(dāng)ω=1/T時(shí)，φ(ω)=-45°。慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線如圖6-15所示。5.一階微分環(huán)節(jié)

一階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

G(s)=Ts+1則其頻率特性為(6-32)1)極坐標(biāo)圖一階微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線由復(fù)平面上的點(diǎn)(1，j0)出發(fā)，平行于虛軸，隨ω從0→∞而逐漸向上直到+∞處，如圖6-16所示。2)伯德圖由式（6-32）知，一階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性為(4-33)對(duì)數(shù)相頻特性為φ(ω)=arctan(Tω)(6-34)圖6-16一階微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線圖6-17一階微分環(huán)節(jié)的伯德圖6.振蕩環(huán)節(jié)（二階環(huán)節(jié)）

振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為其中，T為時(shí)間常數(shù)，ωn=1/T為無阻尼自然振蕩頻率。則其頻率特性為(6-35)式中:(6-36)(6-37)圖6-18振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線1)極坐標(biāo)圖根據(jù)式(6-36)和式(6-37)，設(shè)典型二階系統(tǒng)的阻尼比ζ為參變量，ω從0→∞時(shí)，計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的M(ω)和φ(ω)值，如：當(dāng)ω=0時(shí)，M(ω)=1，φ(ω)=0°；當(dāng)ω=ωn=1/T時(shí)，M(ω)=1/2ζ，φ(ω)=-90°；當(dāng)ω→∞時(shí)，M(ω)=0，φ(ω)=-180°。即可繪制二階環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線，如圖6-18所示。由圖6-18可見，特性曲線起源于點(diǎn)(1，j0)。當(dāng)ω=ωn=1/T時(shí)，G(jωn)=1/2ζ∠-90°，此時(shí)特性曲線正好與負(fù)虛軸相交，且ζ值越小，M(ω)的模值越大，曲線離原點(diǎn)越遠(yuǎn)。隨著ω的增加，特性曲線以-180°的角度趨向于原點(diǎn)。2)伯德圖由式(6-36)可得振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性為(4-38)也采用近似方法繪制如下各段:(1)低頻段。當(dāng)ω<<ωn，即Tω<<1時(shí)，

L(ω)≈-20lg=0dB，即振蕩環(huán)節(jié)低頻段的漸近線也是一條0dB線。(2)高頻段。當(dāng)ω>>ωn，即Tω>>1時(shí)，

L(ω)≈-20lg=-40lg(Tω)，L(ω)是一條斜率為-40dB/Dec的直線。(3)交接頻率段。當(dāng)ω=ωn=1/T時(shí)，高、低頻段兩直線在此相交。振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖6-19所示。圖6–19振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖用漸近線代替實(shí)際L(ω)曲線，在交接頻率處有

L(ω)=-20lg(2ζ)(6-39)由上式可見，在ω=ωn=1/T附近，其誤差大小與ζ有關(guān)，ζ越小，誤差越大。按式(6-39)計(jì)算，結(jié)果列于表6-2中。表6-2振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)頻率特性誤差修正表

由表6-2可知，當(dāng)0.4<ζ<0.7時(shí)，誤差小于3dB；當(dāng)ζ<0.4或ζ>0.7時(shí)，誤差較大，應(yīng)當(dāng)進(jìn)行修正。當(dāng)ζ<0.707時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性曲線在ω=ωn=1/T附近將出現(xiàn)峰值。對(duì)數(shù)相頻特性曲線由式(6-37)確定，分析可得：當(dāng)ω=0時(shí)，φ(ω)=0°；當(dāng)ω=ωn=1/T時(shí)，φ(ω)=-90°；當(dāng)ω→∞時(shí)，φ(ω)=-180°。對(duì)數(shù)相頻特性曲線也因阻尼比ζ值的不同而不同，其曲線如圖6-19所示。

7.極坐標(biāo)圖的一般作圖方法

由以上典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖的繪制，大致可歸納極坐標(biāo)圖的一般作圖方法如下：(1)寫出|G(jω)|和∠G(jω)的表達(dá)式；(2)分別求出ω=0和ω→∞時(shí)的G(jω)；(3)求極坐標(biāo)圖與實(shí)軸的交點(diǎn)，交點(diǎn)可利用Im［G(jω)］=0的關(guān)系式求出，也可以利用關(guān)系式∠G(jω)=n·180°(其中n為奇數(shù))求出；(4)求極坐標(biāo)圖與虛軸的交點(diǎn)，交點(diǎn)可利用Re［G(jω］=0的關(guān)系式求出，也可以利用關(guān)系式∠G(jω)=n·90°(其中n為整數(shù))求出；(5)必要時(shí)可畫出極坐標(biāo)圖中間的幾個(gè)點(diǎn)；(6)勾畫出大致曲線。

補(bǔ)充：6.3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性

1.系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性

1)繪制系統(tǒng)的開環(huán)極坐標(biāo)圖的原理

一個(gè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)為回路中各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之積，即則其開環(huán)頻率特性為故可得其開環(huán)幅頻特性(6-40)開環(huán)相頻特性(6-41)2)繪制系統(tǒng)的開環(huán)極坐標(biāo)圖舉例

【例1】

設(shè)某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制該系統(tǒng)的開環(huán)極坐標(biāo)圖。圖6-20例1系統(tǒng)開環(huán)極坐標(biāo)圖

【例2】

某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制該系統(tǒng)的開環(huán)極坐標(biāo)圖。圖6-21例2系統(tǒng)開環(huán)極坐標(biāo)圖【例3】

繪制系統(tǒng)的開環(huán)極坐標(biāo)圖，其開環(huán)傳遞函數(shù)為圖6-22例3系統(tǒng)開環(huán)極坐標(biāo)圖3)繪制開環(huán)極坐標(biāo)圖的一般規(guī)律設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)一般形式為式中，n>M；ν為積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)；τ為微分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)；T為慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。為簡(jiǎn)單起見，此處開環(huán)傳遞函數(shù)未考慮更復(fù)雜的環(huán)節(jié)，如二階以上的環(huán)節(jié)等。上述系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為(6-42)(1)開環(huán)極坐標(biāo)圖的起點(diǎn)。當(dāng)ω→0時(shí),GK(jω)為特性曲線的起點(diǎn)。由式(6-42)可得(6-43)圖6-23開環(huán)極坐標(biāo)圖曲線的起點(diǎn)由于不同的ν值，特性曲線的起點(diǎn)將來自極坐標(biāo)軸的四個(gè)不同的方向，如圖6-23所示。式(6-43)表明，開環(huán)極坐標(biāo)圖曲線的起點(diǎn)只與系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)K、積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)ν有關(guān)，而與慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)等無關(guān)。通常依據(jù)積分環(huán)節(jié)數(shù)目ν將開環(huán)系統(tǒng)定義成“型”別如下：①0型系統(tǒng)，ν=0，開環(huán)極坐標(biāo)圖曲線起始于點(diǎn)K處；②Ⅰ型系統(tǒng)，ν=1，開環(huán)極坐標(biāo)圖曲線起于始點(diǎn)-90°處（負(fù)虛軸的∞處）；

③Ⅱ型系統(tǒng)，ν=2，開環(huán)極坐標(biāo)圖曲線起于始點(diǎn)-180°處（負(fù)實(shí)軸的∞處）；

④Ⅲ型系統(tǒng)，ν=3，開環(huán)極坐標(biāo)圖曲線起于始點(diǎn)-270°處（正實(shí)軸的∞處）。

(2)開環(huán)極坐標(biāo)圖的終點(diǎn)。由式(6-42)可得(4-44)圖6-24開環(huán)極坐標(biāo)圖曲線的終點(diǎn)【例4】

設(shè)某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)極坐標(biāo)圖。圖6-25例4系統(tǒng)開環(huán)極坐標(biāo)圖2.系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性

由式(6-40)可知，系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性(6-45)系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性(6-46)【例5】

已知試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線。解由傳遞函數(shù)知，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為對(duì)數(shù)幅頻特性表達(dá)式為對(duì)數(shù)相頻特性表達(dá)式為

φ(ω)=0-arctanω-arctan(0.2ω)=φ1(ω)+φ2(ω)+φ3(ω)由以上兩式，可以畫出系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性曲線，如圖6-26所示。圖6-26例5系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線【例6】

某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制其開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性圖。解

該系統(tǒng)是由一個(gè)比例、一個(gè)積分、一個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的，其頻率特性為對(duì)數(shù)幅頻特性為對(duì)數(shù)相頻特性為

φ(ω)=0°-90°-arctan(0.1ω)=φ1(ω)+φ2(ω)+φ3(ω)圖6-27例6開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線的步驟一般如下：(1)由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)求出各典型環(huán)節(jié)的交接頻率（轉(zhuǎn)折頻率），并從低到高依次排列；(2)當(dāng)ω=1時(shí)，曲線高度為L(zhǎng)(ω)=20lgK(若第一個(gè)交接頻率ω1<1，則為其延長(zhǎng)線)；(3)根據(jù)ω=1，L(ω)=20lgK的點(diǎn)，繪制斜率為-20νdB/Dec的低頻段直線(漸近線)；(4)在ω軸上，ω從低到高，每遇到一個(gè)典型環(huán)節(jié)，其頻率特性曲線的斜率就改變一次?！纠?】

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制該系統(tǒng)的伯德圖，并求出ω=ωc時(shí)的相角φ(ωc)。解

由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)由一個(gè)比例、一個(gè)積分、一個(gè)一階微分和兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)組成。(1)求其交接頻率：(2)在ω=1時(shí)，有L(ω)=20lgK=20lg10=20dB；(3)在ω=ω1=1時(shí)，由于慣性環(huán)節(jié)1/(s+1)的作用，使L(ω)特性曲線的斜率由-20dB/dec變?yōu)?40dB/Dec；(4)在ω=ω2=2時(shí)，由于一階微分環(huán)節(jié)0.5s+1的作用，使L(ω)特性曲線的斜率由-40dB/dec變?yōu)?20dB/dec;(5)在ω=ω3=20時(shí)，由于慣性環(huán)節(jié)1/(0.05s+1)的作用，使L(ω)特性曲線的斜率由-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec。因此，該系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖4-28所示。圖6-28例7系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性(6)由開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性表達(dá)式

φ(ω)=-90°+arctan(0.5ω)-arctanω-arctan(0.05ω)可繪制對(duì)數(shù)相頻特性圖，如圖6-28所示。(7)求解穿越頻率ωc：方法1：在特性曲線ω1～ω2之間，由于漸近線特性的特點(diǎn)，其斜率為-40dB/dec，有得K′=2.5同理，在特性曲線ω2～ωc之間，其斜率為-20dB/dec，有解得ωc=5rad/s方法2：因?yàn)長(zhǎng)(ωc)=0dB或M(ωc)=1,同時(shí)，考慮到ωc>ω1、ωc>ω2及ωc<ω3，即ωc對(duì)于ω1和ω2來說屬高頻段，一階微分和慣性環(huán)節(jié)1取高頻近似直線；ωc對(duì)于ω3來說，屬低頻段，慣性環(huán)節(jié)2取低頻近似直線。所以解之得ωc=5rad/s(8)求相位角φ(ωc):

φ(ωc)=-90°+arctan(0.5×5)-arctan5-arctan(0.05×5)=-114.5°【例8】

某最小相位系統(tǒng)，其開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖6-29所示。試寫出該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。圖6-29例8系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性圖6.4奈奎斯特(Nyquist)穩(wěn)定性判據(jù)1.奈氏圖下的表述及應(yīng)用

奈氏判據(jù)說明，如果系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)下是穩(wěn)定的，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：它的開環(huán)幅相頻率特性曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)。反之，若曲線包圍（-1，j0）點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的;若曲線穿過（-1，j0）點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界,參見圖6-30。圖6-30用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性(a)穩(wěn)定;(b)穩(wěn)定邊界;(c)不穩(wěn)定表6-3為常見二階和三階系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。應(yīng)用奈氏穩(wěn)定性判據(jù)，可以很直觀地判斷它們的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由表6-3可見，系統(tǒng)的穩(wěn)定狀況大致有三類情況：(1)穩(wěn)定系統(tǒng)：其特點(diǎn)是不論系統(tǒng)的參數(shù)怎樣改變，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。一般的二階系統(tǒng)都是穩(wěn)定系統(tǒng)，如表6-3中的(a)和(b)。(2)不穩(wěn)定系統(tǒng)：其特點(diǎn)是不論系統(tǒng)的參數(shù)怎樣調(diào)整，系統(tǒng)仍將是不穩(wěn)定的。如表6-3中的(e)，這種系統(tǒng)又稱為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。(3)系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的，也可能是不穩(wěn)定的：如表6-3中的(c)和(d)，當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)K小于臨界放大倍數(shù)Kc時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定;反之，當(dāng)K大于Kc時(shí)，系統(tǒng)將變?yōu)椴环€(wěn)定。表6-3奈氏穩(wěn)定性判據(jù)應(yīng)用舉例2

2.伯德圖下的表述

奈氏判據(jù)是在奈氏圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，而作奈氏圖一般都比較麻煩，所以在工程上一般都是采用系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的，這就是對(duì)數(shù)頻率判據(jù)。它實(shí)質(zhì)上是奈氏穩(wěn)定性判據(jù)在伯德圖上的表示形式。伯德圖與奈氏圖有下列對(duì)應(yīng)關(guān)系(參見圖6-31)。圖6-31奈氏穩(wěn)定性判據(jù)在奈氏圖和伯德圖上的對(duì)照(a)奈氏圖判據(jù);(b)伯德圖判據(jù)(1)奈氏圖上以原點(diǎn)為圓心的單位圓對(duì)應(yīng)于伯德圖上的0dB線(M(ω)=1時(shí)，L(ω)=0)。L(ω)在ωc處穿越0dB線，因此又稱ωc為穿越頻率(CrossOverFrequency)。(2)奈氏圖上的負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)于伯德圖上的φ(ω)=-180°線。這樣，奈氏圖上的(-1,j0)點(diǎn)便和伯德圖上的0dB線及-180°線對(duì)應(yīng)了起來。某系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的奈氏圖和伯德圖的對(duì)照如圖6-31所示。從Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可知，若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)沒有右半平面的極點(diǎn)且閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線離(-1,j0)點(diǎn)越遠(yuǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線離(-1,j0)點(diǎn)越近，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越低，這就是通常所說的相對(duì)穩(wěn)定性通過乃氏曲線對(duì)點(diǎn)(-1,j0)的靠近程度來度量其定量表示為相角裕量和增益裕度Kg

6.4穩(wěn)定裕量與系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性

增益裕度意義：增益裕度用于表示G(jω)H(jω)曲線在負(fù)實(shí)軸上相對(duì)于(-1,j0)點(diǎn)的靠近程度定義：G(jω)H(jω)曲線與負(fù)實(shí)軸交于G點(diǎn)時(shí)，G點(diǎn)的頻率ωg稱為相位穿越頻率，此時(shí)ωg處的相角為-180°，幅值為|G(jωg)H(jωg)|，開環(huán)頻率特性幅值|G(jωg)H(jωg)|的倒數(shù)稱為增益裕度(或幅值裕度)，用Kg表示。見下圖（a）（a）最小相位系統(tǒng)的Nyquist圖（b）對(duì)數(shù)頻率特性表示：

式中ωg滿足下式∠G(jωg)H(jωg)=-180°

增益裕度用分貝數(shù)來表示:Kg=-20lg|G(jωg)H(jωg)|dB見上圖（b）應(yīng)用：對(duì)于最小相位系統(tǒng)當(dāng)|G(jωg)H(jωg)|<1或20lg

|G(jωg)H(jωg)|<0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定當(dāng)|G(jωg)H(jωg)|>1或20lg|G(jωg)H(jωg)|>0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定當(dāng)|G(jωg)H(jωg)|=1或20lg

|G(jωg)H(jωg)|=0時(shí)，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)

對(duì)于開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，那么為使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，G(jω)H(jω)曲線應(yīng)包圍(-1,j0)點(diǎn)，此時(shí)

Kg=-20lg

|G(jωg)H(jωg)|<0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定結(jié)論增益裕度Kg表示系統(tǒng)到達(dá)臨界狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)增益所允許增大的倍數(shù)相角裕量意義：為了表示系統(tǒng)相角變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，引入相角裕量的概念引入ωc：ωc稱增益穿越頻率，也稱剪切頻率或截止頻率，在（a）圖中G(jω)H(jω)與單位圓相交于c點(diǎn)，c點(diǎn)處的頻率為ωc。此時(shí)|G(jωc)H(jωc)|=1定義：使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)，尚可增加的滯后相角，稱為系統(tǒng)的相角裕度或相角裕量，表示為應(yīng)用：

相角裕量γ為增益穿越頻率ωc處相角與-180°線之距離對(duì)于最小相位系統(tǒng)當(dāng)γ＞0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定當(dāng)γ＜0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定增益裕度和相角裕度通常作為設(shè)計(jì)和分析控制系統(tǒng)的頻域指標(biāo)，如果僅用其中之一都不足以說明系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性

用幅相頻率特性曲線分析系統(tǒng)穩(wěn)定性采用幅相頻率特性曲線時(shí)，當(dāng)G(jω)H(jω)的開環(huán)增益變化時(shí)，曲線僅是上下簡(jiǎn)單平移，而當(dāng)對(duì)G(jω)H(jω)增加一恒定相角，曲線為水平平移，這對(duì)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性和系統(tǒng)參數(shù)之間的相互影響是很有利的。6.5應(yīng)用MATLAB進(jìn)行頻域分析1.Bode函數(shù)功能：求連續(xù)系統(tǒng)的Bode(伯德)頻率響應(yīng)。格式：［MAG，phase，w］＝Bode（a，b，c，d，iu，w）［MAG，phase，w］＝Bode（nun，den）［MAG，phase，w］＝Bode（nun，den，w）

【例1】

有一個(gè)二階系統(tǒng)，其自然頻率ωn=1，阻尼因子ζ=0.2，要繪制出系統(tǒng)的幅頻和相頻曲線，可輸入：%Thisprogramdisplaybodegraph［a,b,c,d］=ord2(1,0.2);bode(a,b,c,d);gridon;title(′bodePlot′);執(zhí)行后得到如圖4-45所示的bode圖。圖4-45連續(xù)系統(tǒng)的bode圖

【例2】

典型二階系統(tǒng)：繪制出ζ取不同值時(shí)的bode圖。解取ωn=6，ζ?。?.1:1.0］時(shí)二階系統(tǒng)的bode圖可直接采用bode得到。MATLAB程序(因程序無下標(biāo)、斜體和希臘字母，所以不能和正文嚴(yán)格保持一致)為：wn=6;kosi=［0.1:0.2:1.0］;w=logspace(-1,1,100);figure(1);num=［wn.^2］;forkos=kosiden=［1,2*kos*wn,wn.^2］;［mag,pha,w1］=bode(num,den,w);subplot(2,1,1);holdonsemilogx(w1,mag);subplot(2,1,2);holdonsemilogx(w1,pha);endsubplot(2,1,1);gridontitle(′bodePlot′);xlabel(′Frequency(rad/sec)′);ylabel(′gaindb′);subplot(2,1,2);gridonxlabel(′Frequency(rad/s)′);ylabel(′Phasedeg′)holdoff執(zhí)行后得如圖4-46所示的bode圖。圖4-46典型二階系統(tǒng)的bode圖圖4-47系統(tǒng)bode圖【例3】

某系統(tǒng)：繪制出系統(tǒng)的Bode圖。解MATLAB程序?yàn)椋簁=100;z=［-2］;p=［0,-1,-20］;［num,den］=zp2tf(z,p,k);bode(num,den);title(′bodePlot′);執(zhí)行后得如圖4-47所示的Bode圖。2.nyquist函數(shù)功能：求連續(xù)系統(tǒng)的Nyquist（奈奎斯特）頻率曲線。格式：［re，im，w］=nyquist（a，b，c，d，iu，w）［re，im，w］=nyquist（num，den）［re，im，w］=nyquist（num，den，w）【例4】

某二階系統(tǒng)：繪制系統(tǒng)的Nyquist曲線，并繪制單位負(fù)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。解MATLAB程序?yàn)椋簁=5;z=［］;p=［0,-0.5］;［num,den］=zp2tf(z,p,k)figure(1)nyquist(num,den);title(′NyquistPlot′);figure(2)［num1,den1］=cloop(num,den);step(num1,den1);title(′StepResponse′);執(zhí)行后得如圖4-48所示的Nyquist曲線和如圖4-49所示的閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)。由于曲線沒有包圍(-1,j0)點(diǎn)且開環(huán)傳遞函數(shù)位于s平面右半部分的極點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，所以由g(s)構(gòu)成的單位負(fù)反饋閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。這可從圖4-49得到證實(shí)。圖4-48二階系統(tǒng)的Nyquist曲線圖4-49二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線【例5】

某開環(huán)系統(tǒng)：繪制系統(tǒng)Nyquist曲線，判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，并繪制出單位負(fù)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，利用nyquist函數(shù)繪出系統(tǒng)的Nyquist曲線，并根據(jù)奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最后利用cloop函數(shù)構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)，并用step函數(shù)求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)以驗(yàn)證系統(tǒng)的穩(wěn)定性結(jié)論。MATLAB程序?yàn)椋簁=5;z=［］;p=［-1,-0.5］;［num,den］=zp2tf(z,p,k);figure(1)nyquist(num,den);title(′NyquistPlot′);figure(2)［num1,den1］=cloop(num,den);step(num1,den1);title(′StepResponse′);執(zhí)行后得如圖4-50所示的Nyquist曲線和如圖4-51所示的閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)。從圖4-50中可以看出，系統(tǒng)的Nyquist曲線沒有包圍(-1,j0)點(diǎn)且開環(huán)傳遞函數(shù)位于s平面右半部分的極點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，因此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。這可由圖4-51中得到證實(shí)。圖4-50系統(tǒng)Nyquist曲線圖4-51閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)

【例6】

某開環(huán)系統(tǒng)：繪制系統(tǒng)Nyquist曲線，判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，并繪制出單位負(fù)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解MATLAB程序?yàn)椋簁=250;z=［-1］;p=［0,0,-10,-5］;［num,den］=zp2tf(z,p,k);figure(1)nyquist(num,den);title′NyquistPlot′);figure(2)［num1,den1］=cloop(num,den);step(num1,den1);title(′StepResponse′);執(zhí)行后得如圖4-52所示的Nyquist曲線和如圖4-53所示的閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)。該系統(tǒng)為Ⅱ型系統(tǒng)，從圖4-52中可以看出，系統(tǒng)的Nyquist曲線沒有包圍（-1,j0）點(diǎn)，增加輔助曲線后，Nyquist曲線仍沒有包圍（-1,j0）點(diǎn)，且開環(huán)傳遞函數(shù)沒有位于右半s平面的極點(diǎn)，因此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。這可由圖4-53中得到證實(shí)。圖4-52系統(tǒng)Nyquist曲線圖4-53閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)【例7】

某開環(huán)系統(tǒng)：繪制系統(tǒng)Nyquist曲線，判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，并繪制出單位負(fù)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解MATLAB程序?yàn)椋簁=12500;z=［］;p=［0,-100,-5］;［num,den］=zp2tf(z,p,k);figure(1)nyquist(num,den);title(′NyquistPlot′);figure(2)［num1,den1］=cloop(num,den);step(num1,den1);title(′StepResponse′);圖4-54系統(tǒng)Nyquist曲線圖4-55閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)執(zhí)行后得如圖4-54所示的Nyquist曲線和如圖4-55所示的閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)。該系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，從圖4-54中可以看出，系統(tǒng)的Nyquist曲線沒有包圍（-1,j0）點(diǎn)，增加輔助曲線后，Nyquist曲線仍沒有包圍（-1,j0）點(diǎn)，且開環(huán)傳遞函數(shù)沒有位于右半s平面的極點(diǎn)，因此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。這可由圖4-55中得到證實(shí)。習(xí)題4-1應(yīng)用頻率特性來描述系統(tǒng)（或元件）特性的前提條件是什么？4-2頻率特性有哪幾種分類方法？4-3采用半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙有哪些優(yōu)點(diǎn)？