第8章非線性系統(tǒng)

第八章非線性控制系統(tǒng)分析

8.1非線性控制系統(tǒng)概述8.4描述函數(shù)法8.3相平面分析法8.2常見非線性特性及其對系統(tǒng)運動的影響1前面幾章所討論的系統(tǒng)都是基于線性系統(tǒng)的分析設(shè)計方法，但實際控制系統(tǒng)在某種程度上均不可避免地具有某種程度的非線性特性，系統(tǒng)中只要具有一個非線性環(huán)節(jié)，就稱之為非線性系統(tǒng)，因此實際的控制系統(tǒng)大都是非線性系統(tǒng)。前面章節(jié)中所討論的系統(tǒng)的線性特性很多情況下是將系統(tǒng)的非線性特性在工作點附近進行小偏差線性化處理而得。2非線性：指元件或環(huán)節(jié)的靜特性不是按線性規(guī)律變化。非線性系統(tǒng)：如果一個控制系統(tǒng)，包含一個或一個以上具有非線性靜特性的元件或環(huán)節(jié)，則稱這類系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)，其特性不能用線性微分方程來描述。一、有關(guān)概念一般，非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以表示為：在F函數(shù)中，若相應(yīng)的算子為線性，則系統(tǒng)為線性系統(tǒng)；否則為非線性系統(tǒng)。同時，若在F函數(shù)中不顯含t，則為時不變系統(tǒng)；若顯含t，則為時變系統(tǒng)。8.1非線性控制系統(tǒng)概述3本質(zhì)非線性：不能應(yīng)用小偏差線性化概念將其線性化。非本質(zhì)非線性：可以進行小偏差線性化的非線性特性。自激振蕩：無外作用時非線性系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的穩(wěn)定的等幅振蕩稱為自激振蕩，簡稱自振蕩。4二、非線性系統(tǒng)的特征（1）齊次性和疊加定理：線性系統(tǒng)的最大特點是它具有可疊加性和齊次性，但對于非線性系統(tǒng)，這個特點不再具有。（2）在非線性系統(tǒng)中，除了從平衡狀態(tài)發(fā)散或收斂于平衡狀態(tài)兩種運動形式外，往往即使無外作用存在，系統(tǒng)也可能產(chǎn)生具有一定振幅和頻率的穩(wěn)定的等幅振蕩，即自激振蕩。改變非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，可以改變自激振蕩的振幅和頻率，或消除自激振蕩。而對線性系統(tǒng)，圍繞其平衡狀態(tài)只有發(fā)散和收斂兩種運動形式，其中不可能產(chǎn)生穩(wěn)定的自激振蕩。5

（3）非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅取決于控制系統(tǒng)的固有結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而且與系統(tǒng)的初始條件以及外加輸入有關(guān)系。例：對于一由非線性微分方程

X=-x(1–x)(8-1).

描述的非線性系統(tǒng)，顯然有兩個平衡點，即x1=0和x2=1。將上式改寫為6設(shè)t＝0時，系統(tǒng)的初態(tài)為x0。積分上式可得(8-2)

t10

圖8-1一階非線性系統(tǒng)

7（4）非線性系統(tǒng)在正弦信號作用下，其輸出存在極其復(fù)雜的情況：

（a）跳躍諧振和多值響應(yīng)

圖8-2所示的非線性彈簧輸出的幅頻特性。

2.1345.

圖8-2跳躍諧振與多值響應(yīng)

8(b)分頻振蕩和倍頻振蕩

非線性系統(tǒng)在正弦信號作用下，其穩(wěn)態(tài)分量除產(chǎn)生同頻率振蕩外，還可能產(chǎn)生倍頻振蕩和分頻振蕩。如圖8－3所示波形。輸入信號倍頻信號分頻信號ttt圖8-3倍頻振蕩與分頻振蕩

9三、非線性系統(tǒng)的研究方法逆系統(tǒng)法是運用內(nèi)環(huán)非線性反饋控制，構(gòu)成偽線性系統(tǒng)，并以此為基礎(chǔ)，設(shè)計外環(huán)控制網(wǎng)絡(luò)，是非線性系統(tǒng)控制的一個發(fā)展方向。相平面法是用圖解的方法分析一階，二階非線性系統(tǒng)的方法。通過繪制控制系統(tǒng)相軌跡，達到分析非線性系統(tǒng)特性的方法。

描述函數(shù)法是受線性系統(tǒng)頻率法啟發(fā)，而發(fā)展出的一種分析非線性系統(tǒng)的方法。它是一種諧波線性化的分析方法，是頻率法在非線性系統(tǒng)分析中的推廣。本章介紹對本質(zhì)非線性系統(tǒng)的研究方法：相平面法描述函數(shù)法10摩擦特性不靈敏區(qū)（死區(qū)特性）飽和特性間隙特性繼電特性

下面介紹的這些特性中，一些是組成控制系統(tǒng)的元件所固有的，如飽和特性，死區(qū)特性和滯環(huán)特性等，這些特性一般來說對控制系統(tǒng)的性能是不利的；另一些特性則是為了改善系統(tǒng)的性能而人為加入的，如繼電器特性，變增益特性，在控制系統(tǒng)中加入這類特性，一般來說能使系統(tǒng)具有比線性系統(tǒng)更為優(yōu)良的動態(tài)特性。8.2常見非線性特性及其對系統(tǒng)運動的影響11（1)飽和特性

飽和特性在鐵磁元件及各種放大器中都存在，其特點是當(dāng)輸入信號超過某一范圍后，輸出信號不再隨輸入信號變化，而是保持某一常值。飽和特性的等效增益飽和特性12由于飽和特性在大信號時的等效增益很低，故帶飽和特性的控制系統(tǒng)，一般在大起始偏離下總是具有收斂性質(zhì)，不會造成愈振愈大的不穩(wěn)定現(xiàn)象；由于飽和限幅的存在，它可使一切不穩(wěn)定的系統(tǒng)收斂于自振蕩以保證系統(tǒng)的安全。當(dāng)然，由于等效增益降低，會降低系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度；對快速性而言，則相對復(fù)雜一些，不能一概而論。

飽和特性對系統(tǒng)運動的影響：13（2）死區(qū)（不靈敏區(qū)）特性死區(qū)非線性特性對系統(tǒng)產(chǎn)生的主要影響有：1）使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差增大，尤其是測量元件的死區(qū)對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的影響更大。2）對動態(tài)性能的影響由具體系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)確定。如對某些系統(tǒng)，死區(qū)的存在會抑止其振蕩；而對另一些系統(tǒng)，死區(qū)又能導(dǎo)致其產(chǎn)生自激振蕩。3）死區(qū)能濾去從輸入端引入的小幅值干擾信號，提高了系統(tǒng)抗擾動的能力。4）當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號為階躍、斜坡等函數(shù)時，死區(qū)的存在會引起系統(tǒng)輸出在時間上的滯后。式中,k為圖中線性段的斜率,a為死區(qū)的范圍。14其數(shù)學(xué)表達式為（3）繼電器特性15

繼電特性曲線如圖所示，這類特性不僅包含有死區(qū)特性，而且具有滯環(huán)特性。若分別取a=0,m=1,m=-1時繼電特性表現(xiàn)為不同的特殊情況，分別為下面三種特殊情況下的繼電特性。（a）a=0時理想繼電特性（b）m=1時具死區(qū)繼電特性（c）m=-1時具磁滯回環(huán)繼電特性16

理想繼電器在原點附近存在跳變，等效增益趨于無窮大；在原點以外的地方，隨著輸入信號的增加，輸出始終保持常值，等效增益逐漸減小。若系統(tǒng)中串有理想繼電器，在小起始偏離時開環(huán)增益大，運動狀態(tài)呈發(fā)散性質(zhì)；在大起始偏離時開環(huán)增益很小，系統(tǒng)具有收斂性質(zhì)。因而，繼電特性常常會使系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩現(xiàn)象，但如果選擇合適的繼電特性可提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度，也可構(gòu)成正弦信號發(fā)生器。17（4）間隙（滯環(huán)）特性元件開始運動 輸入信號<e0時，無輸出信號； 當(dāng)輸入信號>e0以后，輸出隨輸入線性變化。元件反向運動 保持在運動方向發(fā)生變化瞬間的輸出值； 輸入反向變化>2e0

，輸出隨輸入線性變化。間隙輸出相位滯后，減小穩(wěn)定性裕量，動特性變壞自持振蕩。X(t)>0X(t)<0X(t)=0e0-e0b-bkkx...e18相平面法是一種通過圖解法求解一、二階非線性系統(tǒng)的分析方法，方法的重點是將二階非線性微分方程變寫為以輸出量及輸出量導(dǎo)數(shù)為變量的兩個一階微分方程。然后依據(jù)這一對方程，設(shè)法求出其在上述兩變量構(gòu)成的相平面中的軌跡，并由此對系統(tǒng)的時間響應(yīng)進行判別。所得結(jié)果比較精確和全面。但是對于高于二階的系統(tǒng)，需要討論變量空間中的曲面結(jié)構(gòu)，從而大大增加了工程使用的困難。8.3相平面分析法19一、基本概念在同一時刻t，(，)對應(yīng)于相平面上的一個點——相點，隨t變化形成一條軌跡——相軌跡。上式是以為自變量，以為因變量的方程。

和稱為系統(tǒng)運動的相變量（狀態(tài)變量）。若以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，則構(gòu)成一個二維狀態(tài)空間（直角坐標(biāo)平面）——相平面。設(shè)一個二階系統(tǒng)可以用下列常微分方程描述

（1）

如果以x和作為變量，則可有

（2）

用第一個方程除第二個方程有

（3）

ˉxx20相軌跡：相變量從初始時刻t0對應(yīng)的狀態(tài)點起，隨著時間t的推移，在相平面上運動形成的曲線稱為相軌跡。

在相軌跡上用箭頭符號表示參變量時間t的增加方向。給定任一初始條件，相平面上有一條相軌跡與之對應(yīng)。相平面圖：多個初始條件下的運動對應(yīng)多條相軌跡，形成相軌跡簇，而由一簇相軌跡所組成的圖形稱為相平面圖。21二、相軌跡的繪制（1）解析法

繪制相軌跡的關(guān)鍵在于找出和的關(guān)系x用求解微分方程的辦法找出的關(guān)系，從而可在相平面上繪制相軌跡，這種方法稱為解析法。解析法分為：a.消去參變量t由直接解出通過求導(dǎo)得到在這兩個解中消去作為參變量的t，就得到的關(guān)系。)(tx，)(tx.。

例

設(shè)描述系統(tǒng)的微分方程為

0=+Mx&&其中M為常量，已知初始條件xxx==)0(,0)0(&。求其相軌跡。解：

Mx-=&&，

積分有

Mtx-=&

(1)

再積分一次有

221Mtxx-=-o

(2)由(1),(2)式消去t有)(22o&xxMx--=M=1M=-122b.直接積分法dxxdxdtdxdxxddtxdx&&&&&&Q===

),(xxfdxxdx&&&-=\

上式可分解為

dxxhxdxg)()(-=&&

則由

òò-=xxxxdxxhxdxg&&oo&&)()(

可找出oxx-的關(guān)系

在上式中由Mx-=&&可有

MdxxdxxMdxxd-=T-=&&&&

積分有

)(2)(2122oo&&xxMxxxMx--=--=

可見兩種方法求出的相軌跡是相同的。

23（2）圖解法等傾線：在相平面內(nèi)對應(yīng)相軌跡上具有等斜率點的連線。原理：

),(xxfx.&&-=

因

dxxdxx&&&&=

故有

xxxfdxxd&&&),(-=

式中dxxd&為相軌跡在某一點的切線的斜率，

令dxxd&=a，則

xxxf&&),(-=a

I

b.根據(jù)初始條件確定相軌跡的起始點；

c.從起始點處的等傾線向相鄰的第二條等傾線畫直線，它的斜率近似等于這兩條相鄰等傾線斜率的平均值。再從該直線與第二條等傾線的交點向相鄰的第三條等傾線畫直線。這段直線的斜率等于第二、第三等傾線斜率的平均值，如此繼續(xù)下去，即可作出相軌跡。

取相軌跡切線的斜率為某一常數(shù)，得等傾線方程a當(dāng)相軌跡經(jīng)過該等傾線上任一點時，其切線的斜率都相等，均為.aa.取為若干不同的常數(shù)，即可在相平面上繪制出若干條等傾線，在等傾線上各點處作斜率為的短直線，并以箭頭表示切線方向，則構(gòu)成相軌跡的切線方向場。aa24例：設(shè)二階系統(tǒng)方程為表示相平面上過原點的一條斜線斜率方程為等傾線方程為25

取不同值時，可在相平面上畫出若干不同的等傾線，在每條等傾線上畫出表示該等傾線斜率值的小線段，這些小線段表示相軌跡通過等傾線時的方向，從相軌跡的起點按順序?qū)⒏餍【€段連接起來，就得到了所求的相軌跡。26關(guān)于相軌跡的幾點說明：1、x軸和軸選用的比例尺應(yīng)一致；2、在相平面的上半平面，所以相軌跡的走向應(yīng)沿著增加的方向由左向右；在相平面的下半平面，所以相軌跡的走向應(yīng)沿著減小的方向由右向左；3、除平衡點外，通過x軸時的相軌跡的斜率=∞，所以相軌跡是與軸垂直相交的；4、相軌跡的對稱性：關(guān)于軸對稱關(guān)于x軸對稱關(guān)于原點對稱27相軌跡上每一點切線的斜率為

若在某點處和同時為零，即有的不定形式，則稱該點為相平面的奇點在奇點處，系統(tǒng)運動的速度和加速度同時為零。相平面的奇點也稱為平衡點。奇點一定位于相平面的橫軸上。三、相軌跡的奇點和極限環(huán)1奇點28而在相軌跡的非奇點（普通點）處，不同時滿足和，相軌跡的切線斜率是一個確定的值，故經(jīng)過普通點的相軌跡只有一條。

相軌跡在奇點處的切線斜率不定，表明系統(tǒng)在奇點處可以按任意方向趨近或離開奇點，因此在奇點處，多條相軌跡相交；292．極限環(huán)極限環(huán)：極限環(huán)是相平面圖上一個孤立的封閉軌跡，所有極限環(huán)附近的相軌跡都將卷向極限環(huán)，或從極限環(huán)卷出。極限環(huán)內(nèi)部（或外部）的相軌跡，總是不可能穿過極限環(huán)而進入它的外部（或內(nèi)部）。（1）穩(wěn)定極限環(huán)

在極限環(huán)附近，起始于極限環(huán)外部或內(nèi)部的相軌跡均收斂與該極限環(huán)。這時，系統(tǒng)表現(xiàn)為等幅持續(xù)振蕩。奇線：是將相平面劃分為具有不同運動特點的各個區(qū)域的相軌跡，最常見的是極限環(huán)。30（2）不穩(wěn)定極限環(huán)在極限環(huán)附近的相軌跡是從極限環(huán)發(fā)散出去。在這種情況下，如果相軌跡起始于極限環(huán)內(nèi)，則該相軌跡收斂于極限環(huán)內(nèi)的奇點，如果相軌跡起始于極限環(huán)外，則該相軌跡發(fā)散至無窮遠。（3）半穩(wěn)定極限環(huán)如果起始于極限環(huán)外部的相軌跡，從極限環(huán)發(fā)散出去，而起始于極限環(huán)內(nèi)部各點的相軌跡，收斂于極限環(huán);或者相反，起始于極限環(huán)外部各點的相軌跡收斂于極限環(huán)，而起始于極限環(huán)內(nèi)部各點的相軌跡收斂于圓點。3132設(shè)二階系統(tǒng)自由運動的微分方程為系統(tǒng)的特征方程為上述特征方程的根為

（8-3）式所表示的自由運動，其性質(zhì)由特征方程根的分布特點所決定。（8-3）（8-4）四、線性系統(tǒng)的相軌跡331、無阻尼運動由方程（8-4），相軌跡方程為：（8-5）其中系統(tǒng)的特征根分布？34相軌跡如圖所示，在相平面上是為一族同心的橢圓。相軌跡的方向如圖中箭頭所示。相軌跡垂直穿過橫軸。坐標(biāo)原點處相軌跡的斜率不能由該點的坐標(biāo)唯一地確定，這種點叫做奇點。圖中的奇點（0，0）通常稱為中心點它是極限環(huán)么？352、欠阻尼運動的特征根為具有負實部的共軛復(fù)根，零輸入響應(yīng)為衰減振蕩，收斂于零。對應(yīng)的相軌跡是一簇對數(shù)螺旋線，收斂于相平面原點。這時原點對應(yīng)的奇點稱為穩(wěn)定的焦點。363、負阻尼運動的特征根是一對具有正實部的共軛復(fù)根，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是振蕩發(fā)散的。對應(yīng)的相軌跡是發(fā)散的對數(shù)螺旋線。這時奇點稱為不穩(wěn)定的焦點。

374、過阻尼運動的特征根為兩個負實根，其零輸入響應(yīng)呈指數(shù)衰減狀態(tài)。對應(yīng)的相軌跡是一簇趨向相平面原點的拋物線。相平面原點為奇點，稱為穩(wěn)定的節(jié)點。

385、特征根為兩個正實根，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為非周期發(fā)散的。對應(yīng)的相軌跡是由原點出發(fā)的發(fā)散的拋物線簇。相應(yīng)的奇點稱為不穩(wěn)定的節(jié)點。

396、特征根為兩個符號相反的實根，此時系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是非周期發(fā)散的。這時奇點稱為鞍點。

40設(shè)非線性系統(tǒng)則在奇點（x,0）附近滿足根據(jù)特征方程其特征根在復(fù)平面的位置有上述6種情況，則可根據(jù)特征根的類型，確定對應(yīng)奇點的類型。41特征根和奇點的對應(yīng)關(guān)系42解：

奇點

00=dxxd&

dxxdxx&&&&=

xxxfdxxd&&&),(=

故可由0),(,0===xxfxx&&&&來確定奇點

)(212xxx+-=&&&

令

???íì==T?????íì=+-=000)(2102xxxxx&&&

在奇點處，將),(xxf&進行泰勒(Taylor)級數(shù)展開

xxxxxxfxxxxffxxfxxxxx21)(),()(),()0,0(),(00000-=-??+-??+=====o&&&&&&&&

故有

102xx+=??

特征方程

0212=+l

21j±=l

故奇點為中心點

oe

43（1）將非線性特性用分段的直線特性來表示，寫出相應(yīng)線段的數(shù)學(xué)表達式。（2）首先在相平面上選擇合適的坐標(biāo)，一般常用誤差及其導(dǎo)數(shù)分別為橫縱坐標(biāo)。然后將相平面根據(jù)非線性特性分成若干區(qū)域，使非線性特性在每個區(qū)域內(nèi)都呈線性特性。（3）確定每個區(qū)域的奇點類別和在相平面上的位置。（4）在各個區(qū)域內(nèi)分別畫出各自的相軌跡。（5）將相鄰區(qū)域的相軌跡，根據(jù)在相鄰兩區(qū)分界線上的點對于相鄰兩區(qū)具有相同工作狀態(tài)的原則連接起來，便得到整個非線性系統(tǒng)的相軌跡。（6）基于該相軌跡，全面分析二階非線性系統(tǒng)的動態(tài)及穩(wěn)態(tài)特性。一般非線性系統(tǒng)可用分段線性微分方程來描述。在相平面的不同區(qū)域內(nèi)，代表該非線性系統(tǒng)運動規(guī)律的微分方程是線性的，因而每個區(qū)域內(nèi)的相軌跡都是線性系統(tǒng)的相軌跡，僅在不同區(qū)域的邊界上相軌跡要發(fā)生轉(zhuǎn)換。區(qū)域的邊界線稱為開關(guān)線或轉(zhuǎn)換線。因此，一般非線性系統(tǒng)相軌跡實際上就是分段線性系統(tǒng)相軌跡，我們只需做好相軌跡在開關(guān)線上的銜接工作。用相平面法分析非線性系統(tǒng)的一般步驟：五、非線性系統(tǒng)相平面法分析44例非線性系統(tǒng)方框圖如圖所示，試取其系統(tǒng)在輸入信號（1）死區(qū)非線性系統(tǒng)分析454647484950

8.4描述函數(shù)法1．諧波線性化：具有本質(zhì)非線性的非線性元件在正弦輸入作用下，在其非正弦周期函數(shù)的輸出響應(yīng)中，假設(shè)只有基波分量有意義，從而將本質(zhì)非線性特性在這種假設(shè)下視為線性特性的一種近似。8.4.1描述函數(shù)法的基本概念2.基波假設(shè)：自振狀態(tài)下，非線性部分和線性部分的輸入、輸出均可視為為同頻率的正弦信號（這里自振即）0)(=tr3．應(yīng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的前提a.非線性特性具有奇對稱性，即y(x)=-y(-x),A0=0

；b.非線性系統(tǒng)具有上圖所示的典型結(jié)構(gòu)；c.非線性部分輸出x(t)中的基波分量最強；d.線性部分G(s)的低通濾波效應(yīng)較好。51

非線性環(huán)節(jié)用正弦函數(shù)作為輸入信號， 忽略輸出所有高于一次的諧波分量。

描述函數(shù)=非線性環(huán)節(jié)輸出的一次諧波分量/輸入的正弦函數(shù)系統(tǒng)開環(huán)部分可分離為：

非線性環(huán)節(jié)N(A)、線性部分G(s)假定：①非線性環(huán)節(jié)非線性，即不是時間的函數(shù)；②非線性環(huán)節(jié)特性是斜對稱的；③系統(tǒng)的線性部分具有較好的低通濾波性能。正弦信號輸入時，輸出不含直流分量。！類似傳遞函數(shù)！諧波線性化方法？非線性系統(tǒng)的頻率特性法52斜對稱輸出的一次諧波分量53

這意味著一個非線性元件在正弦輸入下，其輸出也是一個同頻率的正弦量，只是振幅和相位發(fā)生了變化。這與線性元件在正弦信號作用下的輸出具有形式上的相似性，故稱上述近似處理為諧波線性化。

一般高次諧波的振幅小于基波的振幅，因而為進行近似處理提供了可靠的物理基礎(chǔ)。

描述函數(shù)的定義：描述函數(shù)的模等于非正弦周期輸出的基波的振幅與輸入正弦的振幅A之比，其相角為正弦輸出相對正弦輸入的相移，因此)sin()(111f+=wtxtxwtAtesin)(=Ax1)(1tx)(te1f11)(fjeAxAN=54理想繼電器特性的描述函數(shù)傅氏展開斜對稱、奇函數(shù)A0=An=0(偶次對稱性)8.4.2典型非線性特性的描述函數(shù)55飽和特性死區(qū)特性死區(qū)飽和特性56非線性增益I非線性增益II57理想繼電器特性死區(qū)繼電器特性滯環(huán)繼電器特性58間隙、滯環(huán)特性591）單值非線性的描述函數(shù)是實數(shù),非單值非線性的描述函數(shù)是復(fù)數(shù)：2）如果一非線性可以看作是兩個非線性的疊加、即

設(shè)y1、y2、y分別有N1(A)、N2(A)、N(A）非線性特性的描述函數(shù)的共同點60(尼奎斯特判據(jù))若開環(huán)穩(wěn)定，則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是G(j)軌跡不包圍G平面的(-1,j0)。．--負倒描述函數(shù)（描述函數(shù)負倒特性)線性系統(tǒng)(-1,j0)?8.4.3非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析61③G(j)與負倒描述函數(shù)相交閉環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)自持振蕩(極限環(huán)振蕩)？穩(wěn)定？不穩(wěn)定?!振幅（A）?!頻率()設(shè)：系統(tǒng)開環(huán)的線性部分G(j)穩(wěn)定

①G(j)不包圍負倒描述函數(shù)

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定②G(j)包圍負倒描述函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定62當(dāng)微小擾動使振幅A增大到c點時，c點“(-1,j0)”被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)不穩(wěn)定； 振幅A繼續(xù)增大； 不返回到a。當(dāng)微小擾動使振幅A減小到d點，d點“(-1,j0)”未被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)穩(wěn)定； 振幅A繼續(xù)減??； 不返回到a。a點為不穩(wěn)定自振交點。分析法！微小擾動63當(dāng)微小擾動使振幅A增大到e點時，e點“(-1,j0)”未被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)穩(wěn)定； 振幅A減小； 返回到b。當(dāng)微小擾動使振幅A減小到f點，f點“(-1,j0)”被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)不穩(wěn)定； 振幅A增大； 返回到b。b點為穩(wěn)定自振交點。64具有飽和特性的非線性系統(tǒng)具有死區(qū)特性的非線性系統(tǒng)具有間隙特性的非線性系統(tǒng)具有理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)具有滯環(huán)繼電器特性的非線性系統(tǒng)

典型非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性65具有飽和特性的非線性系統(tǒng)A＝a時A∞時負倒描述函數(shù)軌跡=實軸上（-1/k,-∞)。G1(j)軌跡不與負倒描述函數(shù)軌跡相交

不存在自持振蕩G2(j)軌跡與負倒描述函數(shù)軌跡相交b點:穩(wěn)定自振交點bAb66具有死區(qū)特性的非線性系統(tǒng)A＝a時A∞時負倒描述函數(shù)軌跡=實軸上（-∞,-1/k)。G1(j)軌跡不與負倒描述函數(shù)軌跡相交

不存在自持振蕩G2(j)軌跡與負倒描述函數(shù)軌跡相交b點:不穩(wěn)定自振交點67具有間隙特性的非線性系統(tǒng)負倒描述函數(shù)為G平面上一條曲線。A∞時G1(j)軌跡不與負倒描述函數(shù)軌跡相交

不存在自持振蕩G2(j)軌跡與負倒描述函數(shù)軌跡相交b點:穩(wěn)定自振交點bAb68具有理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)負倒描述函數(shù)軌跡為整個負實軸2）如有數(shù)個交點

必有穩(wěn)定的自振交點1）如只有一個交點

必為穩(wěn)定的自振交點69具有滯環(huán)繼電器特性的非線性系統(tǒng)負倒描述函數(shù)為第三象限內(nèi)平行于橫軸的一組直線。3）單邊滯環(huán)寬度h增加

負倒描述函數(shù)軌跡向下