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文檔簡介
線性代數(shù)
LinearAlgebra
第五
章矩陣的相似對角化1在第3章中,利用矩陣的初等變換,引入了矩陣等價的概念及等價標準形(等價類中最簡單的代表),秩為矩陣等價下的不變量.以此處理某些矩陣問題行之有效.方陣的特征值、特征向量是方陣的一個重要屬性(如同秩).是線性代數(shù)理論中的重要內(nèi)容,且在數(shù)學(如解微分方程組、矩陣級數(shù)的收斂性、層次分析法etc.)及工程技術中有著廣泛應用.本章將介紹一種新的矩陣變換(相似變換),研究矩陣相似對角化的條件,在矩陣相似下,秩不變且特征值不變
.本章介紹的內(nèi)容僅對方陣而言第五章矩陣的相似對角化2§1
特征值與特征向量第五章矩陣的相似對角化Definition1一、特征值與特征向量的概念及求法
設A是n階方陣,如果數(shù)和n維非零向量x使關系式(1)成立,則稱為A的特征值,非零向量x稱為A的對應于特征值的特征向量.Theorem
1如果
x1,x2
都是A的屬于特征值的特征向量,則也是A的屬于特征值的特征向量.(其中k1,k2是任意常數(shù),)3§1
特征值與特征向量說明特征向量不是被特征值所唯一確定,相反,特征值卻是被特征向量所唯一確定.一個特征向量只能屬于一個特征值若非零向量x是屬于兩個特征值的特征向量,則有即于是又因為所以.
A的屬于特征值的全體特征向量,構成向量空間嗎?
不!因為不含零向量。4第五章矩陣的相似對角化由(1)可得(2)顯然,(2)有非零解的充要條件是即稱一元n次方程為A的特征方程;稱為方陣A的特征多項式;稱(2)為特征方程組.求特征值與特征向量即為求的根與的解(1)、(2)式都很重要,一般證明用(1),計算用(2)說明滿足的是A的特征值.反之也然.5§1
特征值與特征向量Example1
求的特征值與特征向量.Solution:特征值是當解方程組即解得基礎解系
A對應于全部特征向量為
(k1,k2
是不同時為零的任意常數(shù))當,解方程組解得基礎解系
A對應于全部特征向量為(k3
是不為零的任意常數(shù))未必有兩個6第五章矩陣的相似對角化二、特征值與特征向量的性質(zhì)
Theorem
2設A是n階方陣,則AT
與A有相同的特征值.ProofTheorem
3設n階方陣A=(aij)
的n個特征值為,則其中是
A
的主對角元之和,稱為方陣
A
的跡,記作
tr(A)Proof
Corollary
n階方陣A可逆的充分必要條件是它的任一特征值不等于零.根與系數(shù)的關系Goon
,則一定是A的特征值特征向量未必相同7§1
特征值與特征向量Proof:Theorem2
的證明有相同的特征多項式,故有相同的特征值.8第五章矩陣的相似對角化Theorem3
的證明Proof:又因為是A的全部特征值,故比較得9§1
特征值與特征向量Theorem4設是方陣A的特征值,x是A的屬于的特征向量,則(1)k
是kA的特征值(k是
任意非零常數(shù))(2)是Al
的特征值(l是正整數(shù));(3)
是的特征值(m是正整數(shù));且x仍是矩陣kA,Al,的分別屬于特征值,,的特征向量.即有相同的特征向量.ProofNote:為
A,B
的特征值
未必是
A+B,AB
的特征值。(特征向量不同)GoonProof10第五章矩陣的相似對角化Theorem4
的證明Proof:由有所以,是
kA的特征值,且x也是
kA屬于的特征向量.Proof:因為g(A)x=(a0E+a1A+a2A2+…+amAm)x
=a0(Ex)
+a1
(Ax)
+a2(A2x)+…+am(Amx)=a0x+a1
x+a2x+…+amx=g()x所以,是
g(A)的特征值,且x也是
g(A)
屬于的特征向量.11§1
特征值與特征向量(1)
是A-1
的特征值,且A與A-1
有相同的特征向量;Theorem5設是可逆矩陣
A的特征值,則是A
的伴隨矩陣A*
的特征值,且A
與A*有相同的特征向量.Proof:當
A
可逆時,由Th3
的Co
得因此,設
x是A的屬于的特征向量,即所以,是的特征值,且A與A-1有相同的特征向量.(1)12(2)第五章矩陣的相似對角化由A*(Ax)=A*(x)x=(A*x)即A*x=x結(jié)論成立.Example2
Solution:設3階矩陣A
的特征值為1,-1,2.求
B=A*+3A–2E
特征值,并計算行列式的值.因A
特征值全不為零,故A可逆且.又Bx=(A*+3A–2E)x設
x是A的屬于的特征向量,即得是B
的特征值.則B
的特征值為:g(1)=-1,g(-1)=-3,g(2)=3;且=(-1)(-3)3=9.13§1
特征值與特征向量Theorem
6不同的特征值對應的特征向量線性無關.ProofTheorem
7
若是方陣A
的不同的特征值,而xi1,xi2,…,xiri(i=1,2,…,m)是屬于特征值(i=1,2,…,m)的線性無關的特征向量,則向量組是線性無關的.Theorem
8
設為
n
階方陣
A
的
r重特征值,則對應于的線性無關的特征向量最多只有
r個.Goon14第五章矩陣的相似對角化Proof:設是方陣
A的互不相同特征值,x1,x2,…,xm
是分別屬于它們的特征向量.對特征值的個數(shù)作數(shù)學歸納法.當m=1時,由于特征向量是非零向量,所以必線性無關;假定屬于m-1個不同特征值的特征向量線性無關;設有數(shù)
k1,k2,…,km,使k1x1+k2x2+…+kmxm=0(1)則A(k1x1+k2x2+…+kmxm)=0即Theorem6的證明15§1
特征值與特征向量另一方面,(1)式兩端乘以,有(3)式減去(2)式,得由歸納假設,x1,x2,…,xm-1
是線性無關的,于是但是所以于是(1)式變成
kmxm=0又
所以km=0
即x1,x2,…,xm
是線性無關的,根據(jù)歸納法定理成立.16第五章矩陣的相似對角化Example3
設和是矩陣A
的兩個不同的特征值,對應的特征向量依次為x1
和x2,證明x1+x2
不是A的特征向量.Proof:由題設故用反證法使于是假設x1+x2
是A的特征向量,則應存在數(shù)即因,由Th.6
知x1,x2
線性無關,故由上式得即與題設矛盾因此,x1+x2
不是A的特征向量.17第五章矩陣的相似對角化§2
相似矩陣有了特征值與特征向量的概念,進一步討論新的矩陣變換,使之對角化.一、相似矩陣的概念與性質(zhì)
Definition2設A和B都是n階方陣,若存在n階可逆矩陣P,使
P-1AP=B
成立,則稱B是A
的相似矩陣,或稱矩陣A與B相似.對
A
進行運算
P-1AP
,稱為對
A
進行相似變換,可逆矩陣
P
稱為
A
變成
B的相似變換矩陣.18§2
相似矩陣顯然,矩陣的相似具有如下性質(zhì):(1)反身性
A
與
A相似;(2)對稱性
若
A
與B
相似,則
B
與A也相似;(3)傳遞性
若
A與B
相似,B與C相似,則A與C相似
.彼此相似的矩陣具有一些共性,也稱為相似不變性:Theorem
9若
n
階方陣
A和
B
相似,則(1)R(A)=R(B);(2)
A
與
B有相同的特征多項式和特征值;Proof
Note:1、Th9
(2)中特征向量未必相同;2、Th9
(2)中逆命題是不成立的.
如:(3)
tr(A)=tr(B),.
P-1AP=BA=PBP-1P=Q-1Q-1BQ=A
P-1AP=BQ-1BQ=CQ-1P-1APQ=C(1)R(A)=R(B);(2)
A
與
B有相同的特征多項式和特征值;
矩陣相似關系是一種特殊的等價關系19第五章矩陣的相似對角化Theorem9
的證明Proof:(1)由相似定義知,A與B
等價,從而R(A)=R(B).(2)由相似定義知,所以,A
與
B
有相同的特征多項式,從而有相同的特征值.(3)由(2)與Th3
即可得到.20§2
相似矩陣Theorem
10設n
階矩陣A
和B
相似,函數(shù)g(x)是一個多項式,則g(A)和g(B)相似.Proof:設g(x)=amxm+…+a1x+a0則g(A)=amAm+…+a1A+a0E.由于A
和B
相似,即存在n
階可逆矩陣P,使得P-1AP=B,則P-1AkP=Bk,其中k為正整數(shù).Bk=(P-1AP)(P-1AP)…(P-1AP)=P-1AkP故所以,g(A)和g(B)相似.Note:如果B為對角陣,則可利用該結(jié)果計算
Ak21第五章矩陣的相似對角化主要問題:把方陣
A對角化,即尋找相似變換矩陣
P
使(對角陣)
二、矩陣與對角矩陣相似的條件先討論必要條件:已知存在可逆矩陣
P,使為對角陣由Th9知對角線元素是
A的特征值把
P用列向量表示由得即于是有可見,是
A
的特征值,而
P
的列向量
pi就是
A
的對應于特征值的特征向量.
反之,A
恰好有
n
個特征值(復數(shù)域中),并對應求得
n
個特征向量。這
n個特征向量即可構成矩陣P
使
Note:P
是不唯一問題是:P
是否可逆?即p1,p2,…,pn
是否線性無關?22§2
相似矩陣Example4
設
求可逆矩陣
P使
P-1AP為對角陣.如果存在,對角元素的特點?Solution:A
的特征值為當由即得基礎解系
當由得由前述23第五章矩陣的相似對角化Example5求矩陣的特征值和特征向量.Solution:A
的特征值為當解方程組得基礎解系當解方程組得基礎解系在此例中,找不到三個線性無關的特征向量雖然但
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