第二章軸向拉壓應(yīng)力與力學(xué)性能

中國民航大學(xué)06二月2023第二章拉伸與壓縮第二章拉伸與壓縮第一節(jié)概述第二節(jié)軸力與軸力圖第三節(jié)截面上的應(yīng)力第四節(jié)材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能第十一節(jié)應(yīng)力集中概念第六節(jié)拉、壓桿的強(qiáng)度條件第九節(jié)裝配應(yīng)力和溫度應(yīng)力第五節(jié)材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能第七節(jié)桿的變形胡克定律第八節(jié)拉、壓桿超靜定問題第十節(jié)拉伸（壓縮）時(shí)的應(yīng)變能2.1概述在不同形式的外力作用下，桿件的變形與應(yīng)力也相應(yīng)不同。桿件受力或變形的一種最基本形式為軸向拉伸或壓縮。

拉桿1.受力特征桿件上外力合力的作用線與桿件軸線重合。2.變形特征沿軸線方向的伸長與縮短。3.簡化力學(xué)模型拉伸壓縮2.1概述本章研究拉、壓桿的內(nèi)力和應(yīng)力，材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能，以及拉壓桿的強(qiáng)度、剛度計(jì)算等?！S力由桿件在水平方向的平衡，有1、軸力

截面法FN

的作用線必與軸線重合對于軸力FN，規(guī)定拉為正，壓為負(fù)。2、軸力求解與軸力圖當(dāng)桿件不同截面上的軸力各不相同時(shí)，用軸力圖表示沿桿件軸線方向軸力的變化規(guī)律。得：2.2軸力與軸力圖例1:2.2軸力與軸力圖例2：圖示桿件，沿軸線方向的作用力為：

P1=2.5kN，P2=4kN，P3=1.5kN。試求:

AC、CB段的內(nèi)力，并作出其軸力圖。解：由截面法求解x11(1)1—1截面（受拉）(2)2—2截面22（受壓）(3)軸力圖xFN

/kN①選定一坐標(biāo)系：縱坐標(biāo)——軸力FN橫坐標(biāo)——截面位置x——拉壓桿件的軸力圖②在坐標(biāo)系標(biāo)出各截面的軸力值，畫出軸力隨截面位置的變化曲線。注意：假設(shè)軸力方向時(shí)，將其假設(shè)成受拉，由FN的正負(fù)判斷其拉壓性質(zhì)。桿件表面：1、變形現(xiàn)象觀察與分析縱向纖維均勻伸長橫向線段仍為直線，且垂直于桿軸線；推斷：內(nèi)部縱向纖維也均勻伸長，橫截面上各點(diǎn)沿軸向變形相同。2、平面假設(shè)拉伸壓縮桿件變形前后，各截面仍保持平面。橫截面上每根纖維所受的內(nèi)力相等——橫截面上應(yīng)力均勻分布。3、橫截面上的應(yīng)力應(yīng)力的合力等于截面上的軸力：由于橫截面上應(yīng)力均勻分布，所以有：

FN

——截面上的軸力；A——橫截面的面積。σ——橫截面上的正應(yīng)力。說明：（1）適用于桿件壓縮的情形；（3）當(dāng)F=FN(x)，A=A(x)時(shí)，（2）不適用于集中力的作用點(diǎn)處；2.3截面上的應(yīng)力4、斜截面上的應(yīng)力——斜截面的面積——斜截面上的應(yīng)力將斜截面上的應(yīng)力分解為：——斜截面上的正應(yīng)力；——斜截面上的切應(yīng)力。討論：則：ap2.3截面上的應(yīng)力ABC2m121.5mB例3：圖示結(jié)構(gòu)，鋼桿1為圓形截面，直徑d=16mm；木桿2為正方形截面，面積為100×100mm2

；重物的重量P=40kN。尺寸如圖。求：兩桿的應(yīng)力。解：（1）求兩桿的軸力用截面m-m截結(jié)構(gòu)，取一部分研究，由平衡條件，有：mmxy（2）求兩桿的應(yīng)力（拉應(yīng)力）（壓應(yīng)力）5、圣維南(Saint-Venant)原理（紅色實(shí)線為變形前的線，紅色虛線為紅色實(shí)線變形后的形狀）應(yīng)力分布示意圖：只要軸力大小相等，桿端加力方式不同，一般只對桿端附近區(qū)域的應(yīng)力分布有影響（約離桿端1~2個(gè)桿的橫向尺寸），在離開力系作用區(qū)域較遠(yuǎn)處，應(yīng)力分布幾乎相同。aPσaPσbσPc2.3截面上的應(yīng)力萬能試驗(yàn)機(jī)電拉試驗(yàn)機(jī)通過該實(shí)驗(yàn)可以繪出載荷—變形圖和應(yīng)力—應(yīng)變圖。試驗(yàn)設(shè)備2.4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)壓縮試件dLbbL高度L與d或b的比值在1～3之間標(biāo)準(zhǔn)拉伸試件2.4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)2.4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)塑性材料拉伸曲線的四個(gè)階段2.4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)拉伸圖：P~Δl曲線應(yīng)力應(yīng)變曲線：A——試件原始的截面積l——試件原始標(biāo)距段長度應(yīng)力—應(yīng)變圖可以消除橫截面面積A與標(biāo)距l(xiāng)對載荷—變形圖的影響。曲線2.4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)低碳鋼拉伸曲線的四個(gè)階段：（1）彈性階段（Ob段）特點(diǎn)：變形是彈性的，卸載時(shí)變形可完全恢復(fù)。Oa段——直線段，應(yīng)力應(yīng)變成線性關(guān)系?！牧系膹椥阅Ａ俊狧ooke定律——直線段的最大應(yīng)力，稱為比例極限；——彈性階段的最大應(yīng)力，稱為彈性極限。一般材料，比例極限與彈性極限很相近，近似認(rèn)為：2.4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)e（2）屈服階段（bd段）屈服階段的特點(diǎn)：應(yīng)力變化很小，變形增加很快，卸載后變形不能完全恢復(fù)。——屈服階段應(yīng)力的最小值，稱為屈服極限；重要現(xiàn)象：應(yīng)力在試件表面出現(xiàn)與軸線成45°的滑移線。低碳鋼：屈服極限

——是衡量材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)。2.4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)（3）強(qiáng)化階段（de段）特點(diǎn)：要繼續(xù)增加變形，須增加拉力，材料恢復(fù)了抵抗變形的能力?！獜?qiáng)化階段應(yīng)力的最大值，稱為強(qiáng)度極限；是衡量材料強(qiáng)度另一重要指標(biāo)。低碳鋼：卸載定律：在強(qiáng)化階段某一點(diǎn)d

卸載，卸載過程應(yīng)力應(yīng)變曲線為一斜直線，直線的斜率與比例階段基本相同。冷作硬化現(xiàn)象：在強(qiáng)化階段某一點(diǎn)d

卸載后，短時(shí)間內(nèi)再加載，其比例極限提高，而塑性變形降低。（4）局部變形階段（ef段）特點(diǎn)：名義應(yīng)力下降，變形限于某一局部，出現(xiàn)頸縮現(xiàn)象，最后在頸縮處拉斷。e2.4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)低碳鋼的強(qiáng)度指標(biāo)與塑性指標(biāo)：強(qiáng)度指標(biāo)：——屈服極限；——強(qiáng)度極限；塑性指標(biāo)：

設(shè)試件拉斷后的標(biāo)距段長度為l1，用百分比表示試件內(nèi)殘余變形（塑性變形）為——稱為材料的伸長率或延伸率，是衡量材料塑性能的重要指標(biāo)；塑性材料：脆性材料：低碳鋼：典型的塑性材料。

設(shè)試件原始截面的面積為A，拉斷后頸縮處的最小面積為A1，用百分比表示的比值——稱為斷面收縮率；也是衡量材料塑性能的指標(biāo)；e2.4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)例4：脆性金屬拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線動(dòng)畫：鑄鐵拉伸實(shí)驗(yàn)強(qiáng)度極限

b是衡量強(qiáng)度的唯一指標(biāo)。沒有明顯的直線段，拉斷時(shí)的應(yīng)力較低；沒有屈服和頸縮現(xiàn)象；拉斷前應(yīng)變很小，伸長率很??；2.4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)其它材料拉伸曲線動(dòng)畫：其它拉伸曲線有些材料不存在明顯的屈服階段，工程中通常以卸載后產(chǎn)生數(shù)值為0.2%的殘余應(yīng)變的應(yīng)力作為屈服應(yīng)力，稱為屈服強(qiáng)度或名義屈服極限。2.4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)低碳鋼壓縮曲線1.E、s與拉伸時(shí)相似，e

、p

亦如此。2.屈服以后，試件越壓越扁，橫截面面積不斷增大，試件不能被壓斷。3.測不到強(qiáng)度極限

b和斷裂極限

k

。4.測低碳鋼的力學(xué)性質(zhì)時(shí)，一般不做壓縮實(shí)驗(yàn)，而只做拉伸實(shí)驗(yàn)。5.無法測定強(qiáng)度極限。2.5材料壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)鑄鐵壓縮曲線1.壓縮強(qiáng)度極限遠(yuǎn)大于拉伸強(qiáng)度極限，可以高4-5倍。

2.材料最初被壓鼓，后來沿450~550方向斷裂，主要是剪應(yīng)力的作用。脆性材料的抗壓強(qiáng)度一般均大于其抗拉強(qiáng)度。2.5材料壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)作業(yè)(習(xí)題)P61-622-1(c)、(f)，2-6,2-81、失效與許用應(yīng)力失效——構(gòu)件不能正常工作遼寧盤錦大橋垮落現(xiàn)場

2.6拉、壓桿的強(qiáng)度條件塑性材料：脆性材料：根據(jù)分析計(jì)算所得的應(yīng)力,稱為工作應(yīng)力。極限應(yīng)力u對塑性材料：對脆性材料：一般地，安全系數(shù)由實(shí)際情況確定。

為了確保安全,構(gòu)件應(yīng)有適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度儲備,把工作應(yīng)力限制在比u

更低的范圍，將u除以一個(gè)大于1的系數(shù)

n，這個(gè)系數(shù)稱為安全系數(shù)，得到的應(yīng)力稱為許用應(yīng)力：且；2.6拉、壓桿的強(qiáng)度條件2、強(qiáng)度條件與強(qiáng)度計(jì)算(1)強(qiáng)度條件說明：對等截面桿，應(yīng)取截面來計(jì)算；對軸力不變的桿件，應(yīng)按最小截面（A=Amin）設(shè)計(jì)計(jì)算?！次ｋU(xiǎn)截面設(shè)計(jì)計(jì)算。(2)強(qiáng)度計(jì)算的三類問題（1）強(qiáng)度校核（2）截面設(shè)計(jì)（3）確定許用載荷（結(jié)構(gòu)承載能力計(jì)算）則結(jié)構(gòu)不安全2.6拉、壓桿的強(qiáng)度條件解：（1）作軸力圖（2）校核強(qiáng)度故此桿滿足強(qiáng)度要求，安全。例5A1=300mm2，

A2=140mm2試校核強(qiáng)度。已知：[]=160MPa，例6已知：AAB=50mm2

，ABC=30mm2

，[]AB=100MPa，[]BC=160MPa求：結(jié)構(gòu)的許可載荷[P]。解：取鉸B

為研究對象因此，取B解得：例7：簡易懸臂起重機(jī)，撐桿AB為空心鋼管，外徑105mm，內(nèi)徑95mm。鋼索1和2平行，且設(shè)鋼索可作為相當(dāng)于直徑d=25mm的圓桿計(jì)算。材料的許用應(yīng)力同為[]=60MPa。試確定起重機(jī)的許可吊重。解：畫出滑輪A的受力圖，斜撐AB受壓，軸力為N，鋼索1受力為F1，F(xiàn)2=P，有yxF2F1PN450300150APAB45030015021解得：例7：簡易懸臂起重機(jī)，撐桿AB為空心鋼管，外徑105mm，內(nèi)徑95mm。鋼索1和2平行，且設(shè)鋼索可作為相當(dāng)于直徑d=25mm的圓桿計(jì)算。材料的許用應(yīng)力同為[]=60MPa。試確定起重機(jī)的許可吊重。yxF2F1PN450300150APAB45030015021現(xiàn)確定許可吊重：同理，鋼索1允許的拉力為：結(jié)論：允許吊重17k

N。ll1軸向變形由材料的拉伸試驗(yàn)，在線彈性階段有——胡克定律E——材料的彈性模量——胡克定律即為桿件軸向變形的計(jì)算公式軸向應(yīng)變橫截面應(yīng)力：（1）胡克定律只適用于線彈性，即EA——

桿件的抗拉剛度，表征桿件抵抗變形的能力。（2）說明：bb1一、軸向變形、胡克定律沿軸線方向的變形（3）對于軸力、橫截面積或彈性模量沿桿軸逐段變化的桿有：2.7拉、壓桿的變形胡克定律橫向變形：橫向應(yīng)變：橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變的關(guān)系：——稱為橫向變形系數(shù)或泊松比μ

和E

，是材料的兩個(gè)彈性常數(shù)，由實(shí)驗(yàn)測定。μ是一個(gè)無量綱量，對于大多數(shù)材料，0<μ<0.5。當(dāng)應(yīng)力不超過比例極限時(shí)，有二、橫向變形與泊松比μ鋼材的E約為200GPa,μ為0.25-0.33垂直于軸線方向的變形說明：理論與試驗(yàn)均表明，對于各向同性材料，E、G、μ存在如下關(guān)系：ll1bb12.7拉、壓桿的變形胡克定律2.7拉、壓桿的變形胡克定律xFN

/kN解：計(jì)算桿的變形：60kN80kN50kN30kN1m2m1.5m①②③計(jì)算桿的應(yīng)變：例8：A=500mm2；Ｅ＝200GPa，μ＝0.3，（1）桿的總變形；（2）桿的橫向應(yīng)變。求：2.7拉、壓桿的變形胡克定律例9:已知：E1=200GPa，A1=127mm2，l1=1.155m

,E2=70GPa，A2=101mm2，P=9.8kN。試求：A點(diǎn)的位移。解：(1)、計(jì)算各桿的軸力（截面法）xy(2)、計(jì)算桿的變形1桿的伸長(受壓)2桿的縮短(3)、節(jié)點(diǎn)A的位移與結(jié)構(gòu)原尺寸相比為很小的變形，稱為小變形。在小變形條件下，通?？砂唇Y(jié)構(gòu)原有幾何形狀與尺寸計(jì)算約束力與內(nèi)力，并可采用切線代圓弧的方法確定位移（又稱J.V.Williot圖解法，1877，法國）。2.7拉、壓桿的變形胡克定律例10已知：桿AB

和BC

的拉壓剛度EA

相同，且B

點(diǎn)受集中力P。試求：B點(diǎn)的位移。解：1、計(jì)算各桿的軸力B點(diǎn)的平衡方程為2、計(jì)算AB、BC桿的變形AB桿的變形BC桿的變形B2.7拉、壓桿的變形胡克定律3、求節(jié)點(diǎn)B

的位移切線代圓弧確定B的新位置，如圖所示。B

點(diǎn)的水平位移為B

點(diǎn)的鉛垂位移為B3即為B

點(diǎn)的新位置，為計(jì)算方便，作輔助線BB’，則2.7拉、壓桿的變形胡克定律例10已知：桿AB

和BC

的拉壓剛度EA

相同，且B

點(diǎn)受集中力P。試求：B點(diǎn)的位移。作業(yè)(習(xí)題)P63-652-11，2-15,2-19,2-25一、靜定與靜不定概念能由靜力平衡方程求出全部未知量的問題——稱為靜定問題系統(tǒng)的未知量數(shù)≤

系統(tǒng)所具有的獨(dú)立平衡方程數(shù)不能由靜力平衡方程求出全部未知量的問題——稱為靜不定問題系統(tǒng)的未知量數(shù)＞

系統(tǒng)所具有的獨(dú)立平衡方程數(shù)靜不定次數(shù)=系統(tǒng)的未知量數(shù)－系統(tǒng)所具有的獨(dú)立平衡方程數(shù)1l23BCDAA一次靜不定二次靜不定AEABCDaaaE剛性桿2.8拉、壓超靜定問題二、靜不定問題的求解思路:

根據(jù)系統(tǒng)靜不定的次數(shù)，由變形幾何關(guān)系，尋求補(bǔ)充方程。然后，與平衡方程聯(lián)立求解。1l23BCDAA例11：圖示桁架。已知：E1=E2，A1=A2，E3，A3，α，P。求各桿的軸力。解：（1）建立系統(tǒng)的平衡方程（1）（2）（2）建立變形幾何方程A1（3）——變形協(xié)調(diào)方程（3）建立變形與軸力的關(guān)系方程——物理方程（4）2.8拉、壓超靜定問題聯(lián)立求解平衡方程（1）、（2）與補(bǔ)充方程（5），得：解題步驟小結(jié)：（1）建立系統(tǒng)的平衡方程（2）建立變形協(xié)調(diào)方程（3）建立物理方程——補(bǔ)充方程（4）聯(lián)立求解平衡方程和補(bǔ)充方程（4）由變形協(xié)調(diào)方程和物理方程，得出補(bǔ)充方程：（5）1l23BCDAAA12.8拉、壓超靜定問題ABCDaaaE①②③剛性桿例12:

圖示結(jié)構(gòu)，AE為剛性桿，桿①、②和③的抗拉剛度分別為E1A1、E2A2、E3A3，長度均為l。求：各桿的拉力。解：建立平衡方程：（1）建立變形協(xié)調(diào)方程：AExy（2）（3）將式（4）代入（2）、（3），得（5）建立補(bǔ)充方程（4）建立物理方程聯(lián)立求解方程（1）、（5），可得當(dāng)3個(gè)桿抗拉剛度相等時(shí)，有AExy⑴平衡方程：解：設(shè)1、2桿的軸力分別為N1和N2，例題13：設(shè)橫梁AB的變形可以忽略，1、2兩桿的材料相同，橫截面積相等。試求：1、2兩桿的內(nèi)力。AB⑶物理方程⑵幾何方程l112`C'Cl2aaaPl12ABN1N2⑷聯(lián)立上式求解，得⑵傾斜放置的桿，以固定端為圓心，以原長+變形量為半徑畫弧，或者以“切線代圓弧”來建立變形間三角函數(shù)關(guān)系。結(jié)論：⑴垂直（水平）放置的桿，直接計(jì)算其變形量；l112`C'Cl2abABC例14:

圖示兩端固定等直桿AB，在截面C

處沿軸線方向作用一集中力P，試求：兩端的約束力。ABC解：（1）建立系統(tǒng)的平衡方程（1）（2）建立變形協(xié)調(diào)方程設(shè)AC段的變形為Δl1,BC段的變形為Δl2,應(yīng)有（2）（3）建立物理方程x（4）建立補(bǔ)充方程（4）聯(lián)立求解方程（1）和（4），得12（3）1、熱應(yīng)力——由于溫度變化引起材料熱脹冷縮，在結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的應(yīng)力。求解步驟：lAB1.建立平衡方程2.建立變形協(xié)調(diào)方程設(shè)由于約束力FRA、FRB引起的壓縮變形為Δl，溫度變化引起的伸長變形為ΔlT，3.建立物理方程Hooke定律：其中：α——線膨脹系數(shù)單位：1/°C（單位溫度變化、單位長度桿件的線膨脹量）ΔT——溫度變化量；l——桿件原長。由于約束的作用，有熱應(yīng)力：l將物理方程代入變形協(xié)調(diào)方程2.9溫度應(yīng)力與裝配應(yīng)力熱應(yīng)力問題——超靜定問題變形協(xié)調(diào)方程：l裝配應(yīng)力問題的變形協(xié)調(diào)條件lAB2.9溫度應(yīng)力與裝配應(yīng)力2、裝配應(yīng)力——由于構(gòu)件加工誤差而在安裝時(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)力。解：設(shè)三根桿的內(nèi)力分別為：N1，N2，N3，AB梁的受力如圖，由平衡得：例題15：設(shè)橫梁AB為剛性梁，1桿由黃銅制成，A1=2cm2，E1=100GPa，α1=16.5×10-6/℃。2，3兩桿由碳鋼制成，A2=1cm2，A3=3cm2，E2=E3=200GPa，α2=α3=12.5×10-6/℃。設(shè)溫度升高20℃，P=40kN,c=0.25m,δ=0.2mm，l=2m，a=1.5m，b=1.0m。試求：各桿的應(yīng)力。l1l2l3N1PABN3N2C變形如圖，則協(xié)調(diào)方程為：（1）（2）（3）各桿變形等于載荷產(chǎn)生的變形與溫度引起的變形之和，有：cPl12AB3δab將三桿變形表達(dá)式帶入?yún)f(xié)調(diào)方程得：代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立方程（1）（2）（3），解得各桿內(nèi)力分別為：由此得各桿的應(yīng)力分別為：一、應(yīng)變能概念應(yīng)變能：彈性體因變形而儲存的能量。用Vs表示。由能量守恒定律得：Vs=W其中：W為外力所做功之和。二、外力功與應(yīng)變能計(jì)算以受拉桿件為例來研究軸向載荷在變形過程中所做之功以及桿件的應(yīng)變能。在緩慢加載過程中f所作總功為：2.10拉伸、壓縮時(shí)的應(yīng)變能載荷所作總功在數(shù)值上等于△OAB的