第五章頻率特性

第五章頻域分析法5.1頻率特性5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性與開環(huán)頻率特性曲線的繪制5.3頻域穩(wěn)定性判據(jù)5.4穩(wěn)定裕度5.5閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)5-1頻率特性⑴頻率特性:研究穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)的幅值和相角隨頻率的變化規(guī)律⑵由開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)穩(wěn)定性及性能⑶圖解分析法⑷有一定的近似性(5)可以兼顧動態(tài)響應(yīng)和噪聲抑制兩方面的要求。頻域分析法的特點:頻域分析法的定義:應(yīng)用頻率特性研究線性系統(tǒng)的經(jīng)典方法.頻率特性定義：諧波輸入下，輸出響應(yīng)中與輸入同頻率的諧波分量與諧波輸入的幅值之比為幅頻特性A(w)，相位之差φ(ω)為相頻特性。RC電路如圖所示，ui(t)=Asinwt,求uo(t)=?穩(wěn)態(tài)輸出：穩(wěn)態(tài)輸出：幅頻特性：相頻特性：頻率特性等于傳遞函數(shù)令s=jωui(t)=Asinwt輸入：

頻率特性等于傳遞函數(shù)令s=jω這一結(jié)論可推廣到所有穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)？設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

頻率特性設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，則正弦輸入時輸出為：C(s)=G(s)R(s)=s2+ω2Aω∏(s-si)∏(s-zj)kΦ*1nm1s-siai∑1n=++s+jωB1s-jωB2Cs(s)=ct(t)=∑aies

tict(∞)=0∵系統(tǒng)穩(wěn)定，∴G(jω)A2j(s-jω)+=AG(-jω)-2j(s+jω)G(jω)ejωt

G(-jω)e-jωtA2jcs(t)=G(s)(s+jω)(s-jω)Aωs+jωB1+s-jωB2Φ(jω)=a(ω)+jb(ω)c(ω)+jd(ω)Φ(-jω)=c(ω)-jd(ω)a(ω)-j

b(ω)Φ(-jω)Φ(jω)∠Φ(-jω)∠Φ(jω)A

G(jω)ej∠G(jω)ejωte-j∠G(jω)e-jωt2jAG(jω)sin(ωt+∠G(jω))頻率特性幅頻特性相頻特性定義一：定義二：上例中RC電路的頻率特性：頻率特性定義頻率特性的概念設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，由勞斯判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定。給系統(tǒng)輸入一個幅值不變頻率不斷增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲線如下:40不結(jié)論給穩(wěn)定的系統(tǒng)輸入一個正弦，其穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦，幅值隨ω而變，相角也是ω的函數(shù)。AB相角問題①穩(wěn)態(tài)輸出遲后于輸入的角度為：②該角度與ω有BA360oφ=AB③該角度與初始關(guān)系∴為φ(ω),角度無關(guān)∴,…系統(tǒng)模型間的關(guān)系頻率特性的表示方法幅相頻率特性曲線（Nyquist圖，極坐標(biāo)圖）對數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）對數(shù)幅相曲線（Nichols圖）

一般只繪制ω從0→∞變化時的幅相曲線，箭頭表示ω增加的方向。1)幅相頻率特性曲線(Nyquist圖)

當(dāng)頻率ω從0→∞變化時，以ImG(jω)為縱坐標(biāo)；以ReG(jω)為橫坐標(biāo)。ω從-∞→0變化時的乃氏圖與ω從0→∞變化時乃氏圖關(guān)于實軸對稱。例如，－階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

當(dāng)頻率ω從0→∞變化時，可得到許多矢量，把矢量的端點連接起來，可得到G(jω)的軌跡，兩種表示方法之間關(guān)系：也可以將頻率特性表示為復(fù)指數(shù)形式：G(jω)軌跡上的任意一點到坐標(biāo)原點的連線長度即為系統(tǒng)的幅頻特性；連線與正實軸的夾角即為相頻特性。2)對數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）

分別求出系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性，并對幅頻特性取對數(shù)：對數(shù)幅頻特性分貝（dB）以logω為橫坐標(biāo)，以L(ω)為縱坐標(biāo)繪制對數(shù)幅頻曲線；以logω為橫坐標(biāo)，以

為縱坐標(biāo)繪制對數(shù)相頻曲線。對數(shù)坐標(biāo)系對數(shù)坐標(biāo)系請注意對數(shù)刻度和線性刻度的區(qū)別

123…更詳細的刻度如下圖所示ω１2345678910lgω0.0000.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.000對數(shù)頻率特性采用ω的對數(shù)實現(xiàn)了橫坐標(biāo)的非線性壓縮,便于在較大頻率范圍反映頻率特性的變化情況。系統(tǒng)由這兩個環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，系統(tǒng)頻率特性為例:設(shè)兩個環(huán)節(jié)的頻率特性為：系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性為：

即已知環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻、相頻特性曲線時，只需將其疊加，就可以得到系統(tǒng)的對數(shù)幅頻、相頻特性曲線。對數(shù)幅頻特性采用20lgA(ω),則將幅值的乘除運算化為加減運算。3)對數(shù)幅值曲線將對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性畫在一個圖上。5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性

開環(huán)頻率特性往往是典型環(huán)節(jié)頻率系統(tǒng)的乘積，先求出環(huán)節(jié)的頻率特性，再求開環(huán)頻率特性就容易了。典型環(huán)節(jié)

比例環(huán)節(jié)：K慣性環(huán)節(jié)：1/(Ts+1)，式中T>0

一階微分環(huán)節(jié)：(Ts+1)，式中T>0

積分環(huán)節(jié)：1/s微分環(huán)節(jié)：s振蕩環(huán)節(jié)：1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1];式中ωn>0，0≤ζ<1二階微分環(huán)節(jié)：(s/ωn)2+2ζs/ωn+1;式中ωn>0，0≤ζ<1最小相位環(huán)節(jié)

典型環(huán)節(jié)

比例環(huán)節(jié)：K(K<0)慣性環(huán)節(jié)：1/(-Ts+1)，式中T>0

一階微分環(huán)節(jié)：(-Ts+1)，式中T>0

振蕩環(huán)節(jié)：1/[(s/ωn)2-2ζs/ωn+1];式中ωn>0，0<ζ<1二階微分環(huán)節(jié)：(s/ωn)2-2ζs/ωn+1;式中ωn>0，0<ζ<1非最小相位環(huán)節(jié)最小相位系統(tǒng)（本書主要研究對象）：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面沒有極點和零點。非最小相位系統(tǒng)：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面有一個（或多個）極點和零點。1.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的頻率特性為G(jω)=K

相應(yīng)的幅頻特性和相頻特性為j0K乃氏圖Bode圖對數(shù)幅頻特性和相頻特性為2.積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的頻率特性為其幅頻特性和相頻特性為幅頻特性與角頻率ω成反比,而相頻特性恒為-90°。對數(shù)幅頻特性和相頻特性為積分環(huán)節(jié)的乃氏圖j積分環(huán)節(jié)L(ω)①G(s)=1s②G(s)=10s1③G(s)=5s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-20][-20]

3.微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的頻率特性為其幅頻特性和相頻特性為微分環(huán)節(jié)的幅頻特性等于角頻率ω,而相頻特性恒為90°。對數(shù)幅頻特性和相頻特性為微分環(huán)節(jié)的奈氏圖j①G(s)=s②G(s)=2s③G(s)=0.1s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[+20][+20][+20]微分環(huán)節(jié)L(ω)4.慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的頻率特性為它的幅頻特性和相頻特性為寫成實部和虛部形式,即則有所以,慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖是圓心在(0.5,0),半徑為0.5的半圓。對數(shù)幅頻特性和相頻特性為慣性環(huán)節(jié)G(jω)G(s)=0.5s+110.25ω2+1A(ω)=1φ(ω)=-tg-10.5ωj01Im[G(jω)]Re[G(jω)]ω00.51245820φo(ω)A(ω)01-14.50.97-26.60.89-450.71-63.4 -68.2 -76-840.45 0.37 0.24 0.05慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性一般采用近似的思想繪制低頻部分是零分貝，高頻段部分是斜率為-20dB/dec的直線。當(dāng)ωT=1時,ω=1/T稱為交接頻率,或叫轉(zhuǎn)折頻率、轉(zhuǎn)角頻率。當(dāng)時，，有：當(dāng)時，，有：近似過程如下：幅值特性：慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性漸近特性dB10-10-20漸近線和精確曲線在交接頻率附近的誤差列于表中。在交接頻率處誤差達到最大值:一般來說,這些誤差并不影響系統(tǒng)的分析與設(shè)計。誤差最大慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性在低頻段,ω很小,ωT<<1,φ(ω)=0°;在高頻段,ω很大,ωT>>1,φ(ω)=-90°。所以,φ(ω)=0°和φ(ω)=-90°是曲線φ(ω)的兩條漸近線,在交接頻率處1/T有：相頻特性：慣性環(huán)節(jié)對數(shù)相頻特性曲線角度值慣性環(huán)節(jié)對數(shù)相頻特性曲線是一條中心點對稱的曲線證明:取兩個關(guān)于ω=1/T對稱的頻率ω1=α/T和ω2=1/(αT),則因此有這表明φ(ω)是關(guān)于ω=1/T,φ(ω)=-45°這一點中心對稱的。①G(s)=10.5s+1100②G(s)=s+5100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100慣性環(huán)節(jié)L(ω)[-20][-20]26dB0o-30o-45o-60o-90o5.一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性為幅頻特性和相頻特性為對數(shù)幅頻特性和相頻特性為一階微分環(huán)節(jié)的奈氏圖j低頻部分是零分貝，高頻段部分是斜率位20dB/dec的直線。當(dāng)ωT=1時,ω=1/T稱為交接頻率,或叫轉(zhuǎn)折頻率、轉(zhuǎn)角頻率。近似過程如下：當(dāng)時，，有：當(dāng)時，，有：低頻段高頻段一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性圖一階微分的對數(shù)頻率特性曲線圖5-10一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖①G(s)=0.5s+10.3②G(s)=(0.25s+0.1)L(ω)dB100.2210.1ω0dB2040-40-2020100一階微分L(ω)0o+30o+45o+60o+90o[+20][+20]6.二階振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性為它的幅頻特性和相頻特性為(ω≤ωn)(ω＞ωn)(0<ξ<0.707)諧振峰值Mr=相頻曲線從0o單調(diào)減至-180o當(dāng)時諧振頻率ωrωr,Mr

均為ω的減函數(shù)振蕩環(huán)節(jié)G(jω)曲線（Nyquist曲線）0j1二階振蕩環(huán)節(jié)的奈氏圖ξ>0.707時，A(ω)單調(diào)下降對數(shù)幅頻特性和相頻特性為(ω≤ωn)(ω＞ωn)二階振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖近似過程分析如下：低頻段,ω<<ωn,L(ω)=0dB；高頻段,ω>>ωn,L(ω)=－20lg(ω/ωn)2=－40lg(ω/ωn)dB。

高頻漸近線低頻漸近線振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性漸近線幅頻特性與關(guān)系二階振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線

ω/ωn幅頻特性與關(guān)系二階振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線

ω/ωn幅頻特性與關(guān)系二階振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線

ω/ωn幅頻特性與關(guān)系二階振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線

ω/ωn幅頻特性與關(guān)系二階振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線

ω/ωn二階振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線

幅頻特性與關(guān)系ω/ωn當(dāng)0<ζ＜0.707時,在對數(shù)幅頻特性上出現(xiàn)峰值。二階振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線漸近線和精確曲線的誤差(dB)交接頻率ω=ωn，在交接頻率附近,對數(shù)幅頻特性與漸近線誤差最大,且阻尼比ζ越小,誤差越大。ω/ωn振蕩環(huán)節(jié)的相頻特性漸近線ωn相頻特性與關(guān)系二階振蕩的對數(shù)相頻特性曲線

ω/ωn相頻特性與關(guān)系二階振蕩的對數(shù)相頻特性曲線

ω/ωn相頻特性與關(guān)系二階振蕩的對數(shù)相頻特性曲線

ω/ωn相頻特性與關(guān)系二階振蕩的對數(shù)相頻特性曲線

ω/ωn相頻特性與關(guān)系二階振蕩的對數(shù)相頻特性曲線

ω/ωn二階振蕩的對數(shù)相頻特性曲線

相頻特性與關(guān)系ω/ωn振蕩環(huán)節(jié)L(ω)100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-40]振蕩環(huán)節(jié)再分析0dBL(ω)dBω20lgkωnωr(0＜ξ＜0.707)[-40]0＜ξ＜0.5ξ=0.50.5＜ξ＜1友情提醒:φ(ωn)=-90o?2nn22nS2Sk(s)Gw+xw+w=ω=

r7.二階微分環(huán)節(jié)頻率特性

幅頻特性為二階微分環(huán)節(jié)頻率特性圖相頻特性為二階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性圖對數(shù)幅頻特性為二階微分環(huán)節(jié)漸近線的轉(zhuǎn)折頻率為近似思想同前j01幅相曲線對數(shù)幅頻漸近曲線0dBL(ω)dBω[+40]ωn0<ξ<0.707時有峰值(min)：二階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性圖二階微分環(huán)節(jié)相角單調(diào)上升，從00至+1800。8.遲后環(huán)節(jié)遲后環(huán)節(jié)的頻率特性為幅頻特性和相頻特性為奈氏圖是一個以坐標(biāo)原點為中心,半徑為1的圓。遲后環(huán)節(jié)的奈氏圖對數(shù)幅頻特性和相頻特性為

遲后環(huán)節(jié)的Bode圖5.3控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線的繪制1開環(huán)頻率特性奈氏圖的繪制只需繪出奈氏圖的大致形狀和幾個關(guān)鍵點的準(zhǔn)確位置。先分解成典型環(huán)節(jié)，典型環(huán)節(jié)幅相特性曲線是概略繪制開環(huán)幅相特性曲線的基礎(chǔ)。(4)如果有必要,可求奈氏圖與虛軸的交點。可利用G(jω)的實部Re［G(jω)］=0的關(guān)系式求出；也可利用∠G(jω)=n·90°(其中n為正整數(shù))求出。(1)開環(huán)幅相曲線的起點(ω=0+)和終點(ω=∞)。(2)求奈氏圖與實軸的交點?？衫肎(jω)的虛部Im［G(jω)］=0的關(guān)系式求出也可利用∠G(jω)=n·180°(其中n為整數(shù))求出;(3)變化范圍。象限，單調(diào)性。三個關(guān)鍵因素：0-25Im[G(jω)]Re[G(jω)]例題1：繪制

的幅相曲線。解：求交點：

第二，三象限開環(huán)幅相曲線的繪制令.064,056,0)]j(GRe[222=+w=w+w-=w無實數(shù)解，與虛軸無交點2開環(huán)頻率特性伯德圖的繪制控制系統(tǒng)一般總是由若干環(huán)節(jié)組成的,設(shè)其開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=G1(s)G2(s)…Gn(s)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為或則系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)做典型環(huán)節(jié)分解可先作典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線采用疊加方法即可方便地繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。其中,Li(ω)=20lgAi(ω),(i=1,2,…,n)。典型環(huán)節(jié)分三部分：比例、積分、微分環(huán)節(jié)：記ωmin為最小交接頻率，稱ω<ωmin為低頻段。一階環(huán)節(jié)：慣性和一階微分環(huán)節(jié)，交接頻率為1/T1/(Ts+1)和Ts+1二階環(huán)節(jié)：振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié),交接頻率為ωn1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]和(s/ωn)2+2ζs/ωn+1(2)（1

，20lgK）在ω＝1處的對數(shù)幅值為20lgK(若ωmin<1，則（1，20lgK）在低頻段延長線)

。低頻段的斜率為－20νdB/dec。ν為開環(huán)系統(tǒng)中所包含的串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目。系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性有如下特點:確定低頻段上一點(三種方法)：(1)（ωo

，20lgK-20νlgωo）在ω<ωmin范圍內(nèi)，任取一點ω0，計算La(ωo)=20lgK-20νlgωo(3)(K1/ν,0)取La(ωo)=0，則有若ωo<ωmin，則該點在低頻段延長線2.ω>ωmin頻段處在典型環(huán)節(jié)的交接頻率處，對數(shù)幅頻特性漸近線的斜率要發(fā)生變化，變化的情況取決于對應(yīng)的典型環(huán)節(jié)的類型。遇到一階慣性環(huán)節(jié)1/(Ts+1),交接頻率處斜率改變+20dB/dec;遇二階振蕩環(huán)節(jié)1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1],在交接頻率處斜率改變+40dB/dec。遇到一階微分環(huán)節(jié)Ts+1,交接頻率處斜率改變-20dB/dec;遇二階微分環(huán)節(jié)(s/ωn)2+2ζs/ωn+1,在交接頻率處斜率改變—40dB/dec。繪制對數(shù)幅頻特性的步驟:(1)將開環(huán)頻率特性分解,寫成典型環(huán)節(jié)相乘的形式;

(2)求出各典型環(huán)節(jié)的交接頻率,將其從小到大排列為ω1,ω2,ω3,…并標(biāo)注在ω軸上;(3)繪制低頻漸近線(ω<ωmin),這是一條斜率為-20νdB/dec的直線,它或它的延長線應(yīng)通過(1,20lgK)點;(4)繪制ω≥ωmin頻段漸近線，隨著ω的增加,每遇到一個典型環(huán)節(jié)的交接頻率,就按上述方法改變一次斜率;積分1/s和微分s的對數(shù)坐標(biāo)圖ω0.1(dB)110020-2020dB/dec-20dB/dec(o)90-9000.1110ω0020lgK

(dB)(o)ωω111010比例環(huán)節(jié)k的對數(shù)頻率特性曲線ω0.1(dB)110020-2020dB/dec-20dB/dec1/T慣性環(huán)節(jié)1/(1+Ts)和一階微分環(huán)節(jié)1+Ts的對數(shù)坐標(biāo)圖

(o)90-9000.1110ω10110振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標(biāo)圖ω/ωn

0.1(dB)1040-2040dB/dec-40dB/dec(o)180-18000.1ω/ωn

20繪制L(ω)例題100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-40]繪制的L(ω)曲線低頻段：時為38db時為52db轉(zhuǎn)折頻率：0.5230斜率：-20+20-20[-20][-40]對數(shù)相頻特性可以由各個典型環(huán)節(jié)的相頻特性相加而得,也可以利用相頻特性函數(shù)φ(ω)直接計算。繪制對數(shù)相頻特性的步驟:5.4頻域穩(wěn)定性判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)（奈氏判據(jù)）對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)利用系統(tǒng)的開環(huán)奈氏曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，稱為奈氏判據(jù)。不僅能判斷閉環(huán)系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性而且能夠指出閉環(huán)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性還能確定系統(tǒng)有多少個不穩(wěn)定的根。5.4.1幅角原理設(shè)有一復(fù)變函數(shù)為s為復(fù)變量,以s＝σ+jω表示。F(s)為復(fù)變函數(shù),記F(s)＝U+jV。奈氏判據(jù)的推導(dǎo)幅角原理設(shè)s平面上的封閉曲線包圍了復(fù)變函數(shù)F(s)的P個極點和Z個零點,并且此曲線不經(jīng)過F(s)的任一零點和極點,則當(dāng)復(fù)變量s沿封閉曲線順時針方向移動時,在F(s)平面上的映射曲線按逆時針方向包圍坐標(biāo)原點P-Z周。s平面與F(s)平面的映射關(guān)系如果在s平面畫一條封閉曲線,并使其不通過F(s)的任一零點和極點,則在F(s)平面上必有一條對應(yīng)的映射曲線。幅角原理的推導(dǎo)

若在s平面上的封閉曲線是沿著順時針方向運動的,則在F(s)平面上的映射曲線的運動方向可能是順時針的,也可能是逆時針的,這取決于F(s)函數(shù)的特性。我們感興趣的不是映射曲線的形狀,而是它包圍坐標(biāo)原點的次數(shù)和運動方向,因為這兩者與系統(tǒng)的穩(wěn)定性密切相關(guān)。封閉曲線包圍z1時的映射情況當(dāng)s沿著s平面上的封閉曲線圍繞z1順時針方向移動一周時,F(s)平面上的映射曲線沿順時針方向圍繞著原點旋轉(zhuǎn)一周。復(fù)變函數(shù)F(s)的相角可表示為當(dāng)s沿著s平面上的封閉曲線順時針方向移動一周時,向量(s－z1)的相角變化-2π弧度（逆時針旋轉(zhuǎn)為正）,而其他各相量的相角變化為零。向量F(s)的相角變化了-2π弧度，這意味著在F(s)平面上的映射曲線沿順時針方向圍繞著原點旋轉(zhuǎn)一周。若s平面上的封閉曲線包圍著F(s)的Z個零點,則在F(s)平面上的映射曲線將按順時針方向圍繞著坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)Z周。

用類似分析方法可以推論,若s平面上的封閉曲線包圍了F(s)的P個極點,則當(dāng)s沿著s平面上的封閉曲線順時針移動一周時,在F(s)平面上的映射曲線將按逆時針方向圍繞著原點旋轉(zhuǎn)P周。綜上所述,可以證明幅角原理。5.4.2奈氏穩(wěn)定性判據(jù)已知G(jω)H(jω)，如何判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性？設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為m≤n

此系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為復(fù)變函數(shù)F(s)的零點為系統(tǒng)特征方程的根(閉環(huán)極點)s1、s2、…、sn,而F(s)的極點則為系統(tǒng)的開環(huán)極點p1、p2、…、pn。

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是：特征方程的根,即F(s)的零點,都位于s平面的左半部。

為了判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,需要檢驗F(s)是否有位于s平面右半部和虛軸上的零點。1.假設(shè)F(s)有位于虛軸（包括坐標(biāo)原點）上的零點

若F(s)在s平面的虛軸（包括坐標(biāo)原點）上有零點，表明閉環(huán)系統(tǒng)有極點在s平面的虛軸（包括坐標(biāo)原點）上，則閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定，開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)正好通過（-1，j0）點。2.假設(shè)F(s)無位于虛軸（包括坐標(biāo)原點）上的零點

a.假設(shè)G(s)H(s)在坐標(biāo)原點和虛軸無極點(即F(s)沒有位于坐標(biāo)原點和虛軸上的極點)?？疾霧(s)是否在s平面右半部有零點？奈氏回線：包圍整個s平面右半部的按順時針方向運動的封閉曲線。該線不經(jīng)過F(s)的零點和極點。奈氏回線若G(s)H(s)在坐標(biāo)原點和虛軸無極點時，奈氏回線由兩部分組成：1.沿著虛軸由下向上移動的直線段C1,s＝j(luò)ω,ω由－∞變到＋∞；2.半徑為無窮大的半圓C2。該封閉曲線肯定包圍了F(s)的位于s平面右半部的所有零點和極點。

設(shè)復(fù)變函數(shù)F(s)在s平面的右半部有Z個零點和P個極點。根據(jù)幅角原理：當(dāng)s沿著s平面上的奈氏回線順時針移動一周時,在F(s)平面上的映射曲線CF=1＋G(s)H(s)將按逆時針方向圍繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)N=P－Z周。

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)如果在s平面上,s沿著奈氏回線順時針方向移動一周時,在F(s)平面上的映射曲線CF圍繞坐標(biāo)原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)N=P周,則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

映射曲線CF和CGH之間的關(guān)系？閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：F(s)在s平面右半部無零點,即Z＝0?？傻靡韵路€(wěn)定判據(jù)：

G(s)H(s)=F(s)-1jV(－1，j0)F(s)平面0CFUjVG(s)H(s)平面(－1,j0)0CGHUF(s)的映射曲線CF圍繞原點運動的情況,相當(dāng)于G(s)H(s)的封閉曲線CGH圍繞著(－1,j0)點的運動情況。

繪制映射曲線CGH的方法是:令s＝j(luò)ω代入G(s)H(s),得到開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω),按前面介紹的方法畫出奈氏圖（即虛軸正半軸）。再畫出其對稱于實軸、ω從0變到－∞的那部分曲線（即虛軸負半軸）。映射曲線上對應(yīng)于半徑為無窮大的半圓C2的部分（）。由于在實際物理系統(tǒng)中m≤n。當(dāng)n＞m時，G(jω)H(jω)→0n＝m時，G(jω)H(jω)→實常數(shù)因此,C2映射在GH平面上為一個點。奈氏判據(jù):假設(shè)F(s)沒有位于坐標(biāo)原點和虛軸上的零點和極點時，閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是,當(dāng)ω從－∞變化到＋∞時,系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)按逆時針方向包圍(－1,j0)點P周,P為位于s平面右半部的開環(huán)極點數(shù)目。

若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,即位于s平面右半部的開環(huán)極點數(shù)P＝0,則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是:系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)不包圍(－1,j0)點。例5-1已知開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制(1)K=5,(2)K=15時的奈氏圖,并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解(1)當(dāng)K=5時,開環(huán)幅頻特性和相頻特性分別為ω=0+時,A(ω)=5,φ(ω)=0°;ω=+∞時,A(ω)=0,φ(ω)=-270°與實軸的交點在(－0.439,j0)點。因為s平面右半部的開環(huán)極點數(shù)P＝0,且奈氏曲線不包圍(－1,j0)點,即N=0,則Z＝P－N=0,所以系統(tǒng)穩(wěn)定。(2)當(dāng)K=15時,奈氏圖形狀與(1)相同,只是以坐標(biāo)原點為中心,向外“膨脹”而已?！芭蛎洝钡谋稊?shù)為15/5=3,故與實軸的交點的橫坐標(biāo)在(－1.317，j0),即交點在(－1,j0)點的左側(cè)。因為s平面右半部的開環(huán)極點數(shù)P＝0,且奈氏曲線順時針包圍(－1,j0)點2次,即N=－2,則Z＝P－N=2,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定,有兩個閉環(huán)極點在s平面右半部。

例5-9的奈氏圖MATLAB繪制例5-9的奈氏圖應(yīng)用奈氏判據(jù)的步驟：繪制開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)的奈氏圖，可以先繪出對應(yīng)ω從0變到+∞;計算奈氏曲線G(jω)H(jω)對(-1,j0)逆時針包圍的次數(shù)N。由給定的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)確定位于s平面右半部分的開環(huán)極點數(shù)P。應(yīng)用奈氏判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。b.若G(s)H(s)虛軸(包括坐標(biāo)原點)上有開環(huán)極點，即F(s)在虛軸(包括坐標(biāo)原點)上有極點?？疾霧(s)是否在s平面右半部有零點？G(s)H(s)在虛軸上有極點的情況，通常系統(tǒng)中有串聯(lián)積分環(huán)節(jié),即在s平面的坐標(biāo)原點有極點。

?。。∵@時不能直接應(yīng)用前面的奈氏回線,因為幅角原理要求此奈氏回線不經(jīng)過F(s)的極點。虛軸上有極點的奈氏回線奈氏回線：經(jīng)過以坐標(biāo)原點為圓心,以無窮小量ε為半徑的,在s平面右半部的小半圓。奈氏繞過了開環(huán)極點所在的原點，包圍了F(s)位于s平面右半部所有的零點和極點。虛軸上有極點的奈氏回線該奈氏回線包括3部分：1.沿著虛軸由下向上移動的直線段C1,在此線段上s＝j(luò)ω,ω由－∞變到0-和0+變到＋∞；2.半徑為無窮大的半圓C23.半徑為無窮小量ε的小半圓C3當(dāng)s沿著上述小半圓C3移動時,有當(dāng)ω從0-沿小半圓變到0+時,s按逆時針方向旋轉(zhuǎn)了180°,G(s)H(s)在其平面上的映射為ν為系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)數(shù)目。由以上分析可見,當(dāng)s沿著小半圓從ω=0-變化到ω=0+時,θ角從－90°經(jīng)0°變化到＋90°,這時在G(s)H(s)平面上的映射曲線將沿著半徑為無窮大的圓弧按順時針方向從90ν°經(jīng)過0°轉(zhuǎn)到－90ν°，即從G(j0-)H(j0-)點順時針旋轉(zhuǎn)180ν°至G(j0+)H(j0+)點。判別穩(wěn)定性的方法不變，當(dāng)ω從－∞變化到＋∞時,系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)按逆時針方向包圍(－1,j0)點P周,P為位于s平面右半部的開環(huán)極點數(shù)目。

開環(huán)系統(tǒng)含有等幅振蕩環(huán)節(jié)時，奈氏回線如圖。當(dāng)s沿著上述小半圓移動時,有當(dāng)ω從ωn-沿小半圓變到ωn+時,s按逆時針方向旋轉(zhuǎn)了180°,G(s)H(s)在其平面上的映射為由以上分析可見,當(dāng)s沿著小半圓從ω=ωn-變化到ω=ωn+時,θ角從∠G1(jωn)變化到∠G1(jωn)+180ν°,這時在G(s)H(s)平面上的映射曲線將從G(jωn-)H(jωn-)點順時針旋轉(zhuǎn)180ν°至G(jωn+)H(jωn+)點。判別穩(wěn)定性的方法不變，當(dāng)ω從－∞變化到＋∞時,系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)按逆時針方向包圍(－1,j0)點P周,P為位于s平面右半部的開環(huán)極點數(shù)目。

例5-10繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為的奈氏圖,并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解開環(huán)幅頻特性和相頻特性分別為ω=0+時,A(ω)=∞,φ(ω)=-90°ω=+∞時,A(ω)=0,φ(ω)=-270°由φ(ω)=－180°得即上式兩邊取正切,得0.5ω=1/ω,即ω=1.414,此時A(ω)=1.67。因此奈氏圖與實軸的交點為(－1.67,j0)。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面的原點處有一極點,因此奈氏回線中半徑為無窮小量ε的半圓弧對應(yīng)的映射曲線是一個半徑為∞的圓弧:奈氏回線ω:0-→0+;θ:－90°→0°→＋90°;映射曲線相角φ(ω):＋90°→0°→－90°

s平面右半部的開環(huán)極點數(shù)P＝0,奈氏曲線順時針包圍(－1,j0)點2次,即N=－2,則Z＝P－N=2,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定,有兩個閉環(huán)極點在s平面右半部。圖例5-10的奈氏圖圖5-41MATLAB繪制例5-10的奈氏圖例5-11繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為的奈氏圖,并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解開環(huán)幅頻特性和相頻特性分別為ω=0+時,A(ω)=∞,φ(ω)=-180°;ω=+∞時,A(ω)=0,φ(ω)=-360°系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有2個極點在s平面的原點處,因此奈氏回線中半徑為無窮小量ε的半圓弧對應(yīng)的映射曲線是一個半徑為無窮大的圓弧:ω:0-→0+;θ:－90°→0°→＋90°;φ(ω):＋180°→0°→－180°s平面右半部的開環(huán)極點數(shù)P＝0,且奈氏曲線順時針包圍(－1,j0)點2次,即N=－2,則Z＝P－N=2,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定,有兩個閉環(huán)極點在s平面右半部。圖5-42例5-11的奈氏圖圖5-43MATLAB繪制例5-11的奈氏圖一種更簡便的奈氏判據(jù)通常，只畫出的開環(huán)奈氏圖，可研究半閉合曲線G(jω)H(jω)（）的正負穿越情況。要研究：頻率特性曲線G(jω)H(jω)對(-1,j0)點的包圍情況。當(dāng)ω

增加時，半閉合曲線從上半s平面穿過(-1,j0)點左側(cè)到下半s平面，稱為正穿越（這時隨著ω

的增加，頻率特性的相角是增加的）；意味著逆時針包圍(-1,j0)點。反之稱為負穿越（這時隨著ω的增加，頻率特性的相角是減少的），意味著順時針包圍(-1,j0)點。當(dāng)半閉合曲線起始于（或終止于）(-1,j0)點左側(cè)的負實軸，則記為半次穿越，半次穿越次數(shù)記為1/2。N+：正穿越和正半次穿越之和N-：負穿越和負半次穿越之和正穿越負穿越系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)（ω：－∞→＋∞）按逆時針方向包圍(－1,j0)點次數(shù)：不包圍(-1,j0)點0型系統(tǒng)包圍(-1,j0)點，Ⅰ型系統(tǒng)和Ⅱ型系統(tǒng)對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)——利用Bode圖判斷閉環(huán)穩(wěn)定性奈氏判據(jù)的另一種形式系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的奈氏圖和伯德圖之間有如下對應(yīng)關(guān)系:對數(shù)幅頻特性的0分貝線奈氏圖伯德圖相頻特性(2k+1)π(k為整數(shù))線以原點為圓心的單位圓負實軸

奈氏圖穿越(-1,j0)左側(cè)的點等價于半對數(shù)坐標(biāo)下，對數(shù)幅頻L(ω)>0時，對數(shù)相頻特性曲線與(2k+1)π(k為整數(shù))線的交點。的確定開環(huán)系統(tǒng)無虛軸上極點時，等于φ(ω)曲線。開環(huán)系統(tǒng)存在ν個積分環(huán)節(jié)時，需要從對數(shù)相頻特性曲線ω較小，且L(ω)>0的點向上補做ν×90o的虛直線。開環(huán)系統(tǒng)存在ν個等幅振蕩(ωn)環(huán)節(jié)時，需要從對數(shù)相頻特性曲線φ(ωn-)點向上補做ν×180o的虛直線至φ(ωn+)

。對照圖如下：正穿越負穿越正穿越負穿越相角方向為正伯德圖上,當(dāng)L(ω)>0時，從(2k+1)π線以下增加到(2k+1)π線以上,稱為正穿越;反之,稱為負穿越。補作的虛直線所產(chǎn)生的穿越皆為負穿越。（一般為半次負穿越）

對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)可表述如下:閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是,φ(ωc)≠(2k+1)π，當(dāng)ω由0變到∞時,在開環(huán)對數(shù)幅頻特性L(ω)>0的頻段內(nèi),相頻特性

穿越(2k+1)π線的次數(shù)(N+-N-)為P/2。P為s平面右半部開環(huán)極點數(shù)目。注意,奈氏判據(jù)中,s沿著奈氏回線順時針方向移動一周,故ω由－∞變到∞,所以伯德圖中ω由0變到∞時,穿越次數(shù)為P/2,而不是P。對于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng),此時，P=0，若在L(ω)>0的頻段內(nèi)，相頻特性φ(ω)穿越(2k+1)π線的次數(shù)為0,則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定;否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。5-5穩(wěn)定裕度的定義若z=p-N中p=0,則G(jω)過(-1,j0)點時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，見下圖：G(jω)曲線過(-1,j0)點時，G(jω)=1同時成立！特點：∠

G(jω)

=-180o0j1-1G(jω)j01ωcωxγG(jω)G(jωx)∠G(jωc)∠G(jωc)–γ=–180oG(jωx)h=1幅值裕度h=G(jωx)1相角裕度=180o+∠G(jωc)γ穩(wěn)定裕度的定義續(xù)1-10dB-180ocωxωcx∠

G(jωc)20lgγγ=180o+∠

G(jωc)相角裕度:幅值裕度:hdB=－20lg穩(wěn)定裕度的定義續(xù)2注意：該方法適用于奈氏曲線與單位圓或負實軸至多有一個交點，且是最小相位系統(tǒng)。應(yīng)該同時給出相角裕度和增益裕度，才能確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。一般相角裕度在30o～60o，增益裕度大于6dB，可以獲得滿意的動態(tài)性能。5-6閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)1.由開環(huán)頻率特性估計閉環(huán)頻率特性若系統(tǒng)其開環(huán)頻率特性為G(jω)H(jω),而閉環(huán)頻率特性則為通常H(s)為常數(shù)，因此,已知開環(huán)頻率特性,就可以求出系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性,也就可以繪出閉環(huán)頻率特性曲線。設(shè)系統(tǒng)為單位反饋,即H(jω)=1,則一般實際系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性具有低通濾波的性質(zhì)。所以低頻時|G(jω)|>>1,則高頻時|G(jω)|<<1,則閉環(huán)幅頻特性例單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為而閉環(huán)傳遞函數(shù)為用MATLAB繪制其閉環(huán)頻率特性的伯德圖如圖所示，其程序如下：g1=tf(［10］,conv(conv(［10］,［11］),［15］));g2=tf(［1］,［1］)sys=feedback(g1,g2)margin(sys)圖5-50MATLAB繪制的閉環(huán)頻率特性伯德圖2閉環(huán)系統(tǒng)頻域性能指標(biāo)閉環(huán)系統(tǒng)頻域性能指標(biāo)

截止頻率(帶寬頻率)ωb是指對數(shù)幅頻特性的幅值下降零頻率值以下3dB時對應(yīng)的頻率。

帶寬BW是指0~ωb的頻率范圍。

閉環(huán)系統(tǒng)對于高于截止頻率的信號分量，呈現(xiàn)較大衰減。帶寬與響應(yīng)速度的關(guān)系若兩個控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：則其對數(shù)幅頻特性曲線形狀相同，Φ2(jω)的圖形橫向擴展λ倍即可得到Φ1(jω)有：當(dāng)