第四章隨機變量的數(shù)字特征x

第四章隨機變量的數(shù)字特征前面所討論的隨機變量的分布，是對隨機變量概率特征的一種完整的描述，在實際問題中，一方面不太容易找出隨機變量的分布，另一方面，有時候我們也不必全面地考察一個隨機變量，而只關(guān)心一些僅反映它分布的某些特征的綜合指標(biāo)。在許多場合下，綜合指標(biāo)能比分布更集中、更明顯地反映隨機變量的某些性質(zhì)和特征。本章介紹隨機變量數(shù)字特征的基本概念、性質(zhì)及其某些實際應(yīng)用?！?.1隨機變量的數(shù)字期望例：在檢驗一批棉花的質(zhì)量時，棉花纖維的平均長度是一個重要指標(biāo)。棉花纖維長度是一個隨機變量，并且有無窮多的取值，簡單平均數(shù)無法確定棉花纖維的平均長度，因此引入隨機變量的數(shù)學(xué)期望的概念。一、數(shù)學(xué)期望的概念(1)離散隨機變量的數(shù)學(xué)期望例1、一個年級有100名學(xué)生，年齡組成為：17歲的2人；18歲的2人；19歲的30人；20歲的56人；21歲的10人。求該年級學(xué)生的平均年齡。解：顯然不能用17，18，19，20，21這5個數(shù)的簡單平均數(shù)19作為該年級學(xué)生的平均年齡。而應(yīng)如下計算：實際上，我們是采用了以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均。隨機變量X的數(shù)學(xué)期望EX也被稱為X的均值或分布均值——概率意義下的平均值。例2、隨機變量只?。?，0，1三個值，且相應(yīng)概率的比為1：2：3，計算。解設(shè)P{X=－1}＝a，則P{X=0}=2a,P{X=1}=3a(a>0),因為a+2a+3a=1,故a=1/6求X的數(shù)學(xué)期望。解：X1-2…2n-1-2n…P……（2）連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望解均勻分布的概率密度為計算結(jié)果表明：均勻分布的期望為該隨機變量取值區(qū)間的中點。解:解例8．假設(shè)一部機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,機器發(fā)生故障時全天停止工作,若一周5個工作日里無故障,可獲利潤10萬元;發(fā)生一次故障仍可獲利潤5萬元;發(fā)生兩次故障所獲利潤為0元,發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元,求一周內(nèi)期望利潤是多少。解：記一周利潤為Y（萬元），設(shè)隨機變量X表示5天內(nèi)機器發(fā)生故障的次數(shù)，則X服從參數(shù)n=5，P=0.2的二項分布，隨機變量Y只取-2、0、5、10等四個值。解利用二項式展開公式和期望定義4.1，得解:上面一步中，右邊第一項積分是收斂的并且被積函數(shù)是奇函數(shù)，積分值為0；第二項積分中的被積函數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的密度函數(shù)，積分值為1，因此有（3）.二元隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義4.3如果二元隨機變量（X,Y）的兩個分量X、Y的數(shù)學(xué)期望EX、EY存在，則稱（EX，EY）為（X,Y）的期望向量或均值向量。二、隨機變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理4.1設(shè)X是隨機變量，Y=g(X),且E[g(X)]存在，則1．如果X是離散型隨機變量，2．如果X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x),則有

這兩個公式的重要性在于，當(dāng)我們計算隨機變量Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望時，不必先求出Y=g(X)的分布，再求數(shù)學(xué)期望E[g(X)]；而是可以直接從X的分布出發(fā)，利用公式（3）和公式（4）計算數(shù)學(xué)期望E[g(X)]。例11設(shè)隨機變量的分布律為：X-1012P解:（1）（2）(3)解:解:由（4）式，有三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望具有下述性質(zhì)：如果X為離散型隨機變量，概率分布為特別地注意：該命題的逆命題不成立。關(guān)于(X,Y)為離散型二元隨機變量的情形，留給讀者證明。例15設(shè)離散型二元隨機變量（X,Y）的概率分布為YX﹣101﹣10.300.30.610.10.20.10.40.40.20.4⑴求其期望向量；⑵求E(XY)并判斷X與Y是否獨立。解（1）由聯(lián)合概率分布可確定X和Y的邊緣分布，由此可得EX=(–1)×0.6+1×0.4=–0.2；EY=(–1)×0.4+1×0.4=0。因此，期望向量為（–0.2，0）。（2）通過計算看出E(XY)=EXEY=0,但在上表中，P{X=–1,Y=1}=0.3,P{X=–1}P{Y=1}=0.6×0.4=0.24。故，X與Y不獨立?！?.2隨機變量的方差一、方差與標(biāo)準(zhǔn)差例：在檢驗一批棉花的質(zhì)量時，一方面要知道棉花纖維的平均長度；另一方面要知道棉花纖維長度與平均纖維長度的偏離程度。因為平均纖維長度達到一定要求且這種偏離程度較小時，棉花的質(zhì)量就高。為了表現(xiàn)隨機變量的分布特征，單憑一個數(shù)字——數(shù)學(xué)期望——是不夠的。由于EX是一個常數(shù)，由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，有即隨機變量X的方差表達了X取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度，若X取值比較集中，則D(X)較小，反之，若取值比較分散，則D(X)較大。因此，D(X)是刻畫X取值分散程度的一個量，它是衡量X取值分散程度的一個尺子。X-1012P解：因為所以又

得到:

證明：因

解依題意，X的密度函數(shù)為二、方差的性質(zhì)方差具有下述性質(zhì)：證證注意：上述命題的逆命題不成