第06章 觀測誤差理論

工程測量西北農林科技大學第六章觀測誤差理論6.1觀測誤差6.2評定精度的標準6.3觀測值函數的中誤差6.4等精度觀測值的平差6.5誤差傳播定律在測量中的應用6.1觀測誤差

前面幾章講述的數據采集，要用到各種儀器(經緯儀、水準儀、全站儀），要由人進行操作，要在某種環(huán)境中工作，這些因素都會使采集到的數據不準確，即數據中有誤差。

例如：1）、距離測量誤差

2）、角度測量誤差

3）、高差測量誤差

觀測誤差ABD往D返理論上：

D往=

D返

實測中：D往≠

D返1）距離測量誤差測量上一般要求:D往-

D返/D≦1/K(K=2000,4000,…..),測量成果才合格.觀測誤差ABC理論上：∠A+∠B+∠C=180實測中：A+∠B+∠C≠180理論上：∠L1+∠L2+∠L3+∠L4=360實測中：∠L1+∠L2+∠L3+∠L4≠360L2L3L4ABCDL12）角度測量誤差觀測誤差理論上：hAB+hBA=0

實測中：hAB+hBA≠03）高差測量誤差ABP1P4P3P2h1h3h2h4理論上：h1+h2+h3+h4=0

實測中：h1+h2+h3+h4≠0觀測誤差一、觀測誤差產生的原因

觀測條件二、觀測誤差的種類①系統誤差②偶然誤差③粗差三、偶然誤差的特性觀測誤差1、觀測誤差：指被觀測值(或其函數)與未知量的真實值(或函數的理論值)間的差值。觀測誤差=觀測值-真值

一般用符號△表示。即：△=L觀–L理

=L-X

一、觀測誤差及其產生的原因真值：代表觀測值L真正大小的數值，用X表示。真誤差:觀測值L與真值X之間的差值，用△表示。

△

=L–X真誤差觀測值真值觀測誤差測量上真值如何得到:△=(D往-

D返)–0

△=(A+B+C)–180△=(L1+L2+L3+L4)–360

△=(hAB+hBA)–0△=(h1+h2+

h1+h2)–0一、測量誤差的來源（1）測量儀器：儀器構造上無法達到理論上的要求；例如水準測量時,水準儀的視準軸不水平,會對水準測量結果影響等.（2）觀測者：人的感官上的局限性、操作技能、工作態(tài)度；

儀器的安置\瞄準\讀數（3）外界條件：觀測時所處的外界環(huán)境，如風力、溫度、日照、濕度、氣壓、大氣折光等。

儀器、人和環(huán)境，總稱為觀測條件。

2、觀測條件觀測誤差觀測成果的精確度稱為“精度”。如果使用的儀器是同一個精密等級，操作人員有相同的工作經驗和技能，工作環(huán)境的自然條件（氣溫、風力、濕度等等）基本一致，則稱為相同的觀測條件。在相同的觀測條件下，由于測量時產生偶然誤差的因素大體相同，因此測量所得結果的精度也是相等的，故稱此時的測量為同精度觀測或等精度觀測。觀測誤差觀測條件不相同的各次觀測，稱為非等精度觀測。在觀測結果中，有時還會出現錯誤，稱之為粗差。

粗差在觀測結果中是不允許出現的，為了杜絕粗差，除認真仔細作業(yè)外，還必須采取必要的檢核措施。例：誤差處理方法

鋼尺尺長誤差ld計算改正鋼尺溫度誤差lt

計算改正

水準儀視準軸誤差I操作時抵消(前后視等距)

經緯儀視準軸誤差C操作時抵消(盤左盤右取平均)

…………2.系統誤差

——誤差出現的大小、符號相同，或按規(guī)律性變化，具有積累性。●系統誤差可以消除或減弱。

(計算改正、觀測方法、儀器檢校)測量誤差分為：粗差、系統誤差和偶然誤差1.粗差(錯誤)——超限的誤差測量誤差的分類3.偶然誤差——誤差出現的大小、符號各不相同，表面看無規(guī)律性。例：估讀數、氣泡居中判斷、瞄準、對中等誤差，導致觀測值產生誤差。

●準確度(測量成果與真值的差異）

●最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）

●測量平差（求解最或是值并評定精度）4.幾個概念:

●精（密）度（觀測值之間的離散程度）測量誤差的分類1．系統誤差在相同觀測條件下，對某量進行一系列觀測，如果誤差出現的符號和大小均相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統誤差。系統誤差在測量成果中具有累積性，對測量成果影響較大，但它的符號和大小又具有一定的規(guī)律性，一般可采用下列方法消除或減弱其影響。

（1）進行計算改正

（2）選擇適當的觀測方法（3）檢驗校正儀器測量誤差的分類例如：1）、鋼尺量距，鋼尺的名義長度為30m，而鑒定后的際長度為30.006m,測量時,每量一個整尺,就比實際長度小0.006m,這種誤差的大小與所量的直線長度成正比,而且正負號始終一致.系統誤差測量誤差的分類例如：2）、定線誤差:

傳統的距離測量中,距離較長,需要進行分段丈量.必須進行直線定線.LAB-SAB>0

系統誤差即當直線距離超過一個尺段時，需進行直線定線.LABSABiABSASB水準管軸視準軸b1biSA=SB時，△hAB=0aa1總結:系統誤差具有積累性,可以利用其規(guī)律性對觀測值進行改正或者采用一定的測量方法加以抵消或消弱.例如：3）、水準儀i角對測量高差的影響測量誤差的分類如：1)、距離測量D9.59.49.79.59.69.39.29.6

0.1-0.20-0.10.20.3-0.1

1234567Δ

No測量誤差的分類2．偶然誤差

在相同的觀測條件下，對某量進行一系列的觀測，如果觀測誤差的符號和大小都不一致，表面上沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為偶然誤差。1.71.61.51.591中絲讀數：1.5921.593例如:2）、讀數誤差(水準測量)例如:3）、照準誤差例如:4）、整平誤差測量誤差的分類通常，測量中需要進行多余觀測。應當剔除觀測值中的粗差，利用系統誤差的規(guī)律性將系統誤差消除或減弱到可以忽略不計，使觀測值主要含有偶然誤差，從而利用數理統計方法求得觀測值的最可靠值?？偨Y：在測量工作中，一般需要進行多余觀測，發(fā)現粗差，將其剔除或重測。測量誤差的分類偶然誤差觀測值與真值之差定義：真誤差AMPMh時m偶然誤差從表面上看沒有任何規(guī)律性，但是隨著對同一量觀測次數的增加，大量的偶然誤差就表現出一定的統計規(guī)律性，觀測次數越多，這種規(guī)律性越明顯。觀測值真值觀測誤差【例】在相同的觀測條件下，觀測了217個三角形的全部內角。ＡｉＢｉＣｉ三角形內角和真誤差:△ｉ＝∠Aｉ+∠Bｉ+∠Cｉ-180i=1,2,3…..217

觀測誤差絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差個數多；絕對值相等的正負誤差的個數大致相等；最大誤差不超過27″。結果分析(vi/n)/3△誤差分布曲線-27-24-21-18-15-12-9-6-30369121518212427(vi/n)△每一誤差區(qū)間上方的長方形面積，代表誤差出現在該區(qū)間的相對個數直方圖1、

愈小，愈大。有最大值

△當△=0時橫軸是曲線的漸近線，這就是超限數為零、小誤差大概率2、

是偶函數。對稱性曲線有兩個拐點，橫坐標為：當愈大時，曲線愈平緩，誤差分布比較分散當愈小時，曲線愈陡峭，誤差分布比較集中觀測誤差通過對大量的實驗數據進行統計分析后，特別是當觀測次數足夠多時，可以得出偶然誤差具有以下的規(guī)律性：1、在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值-----超限數為零；有限性2、絕對值較小的偶然誤差比絕對值大的出現的可能性要大

-----小誤差大概率：集中性3、絕對值相等的正負偶然誤差出現的可能性相等

-----正負相等；對稱性4、當觀測次數無窮增多時，偶然誤差的算術平均值為零

----平均理論。抵償性其中觀測誤差6.2評定精度的標準1、中誤差:在相同觀測條件下進行一組觀測，得出的每個觀測值都稱為同精度的觀測值。即每個觀測值的真差不同，但中誤差是相同的。

例：2010級的某班的3個小組，在相同觀測條件下進行四等水準測量。第1個小組測得閉合差為+2mm,第2個小組測得閉合差為-6mm,第三個小組測得閉合差為0。試判斷哪一組觀測精度高？結論：精度相同精度指的是一組觀測值誤差分布的密集或分散的程度。評定精度的標準設有甲、乙兩組觀測值，各組均為等精度觀測，它們的真誤差分別為：甲組：0″+2″+1″-3″+4″+3″-2″-1″+2″-4″乙組：-1″+2″-6″0″-1″+7″+1″0″-3″-1″例：試計算甲、乙兩組各自的觀測精度。說明第一組的精度高于第二組的精度。說明：中誤差越小，觀測精度越高

小，精度高

大，精度低觀測條件誤差分布觀測值精度中誤差評定精度的標準m1小于m2,說明第一組觀測值的誤差分布比較集中，其精度較高；相對地，第二組觀測值的誤差分布比較離散，其精度較低：中誤差所代表的是某一組觀測值的精度。2、容許誤差（限差）通常取標準差的兩倍（或三倍）作為觀測值的容許誤差。實際中常用中誤差代替標準差。即或評定精度的標準極限作用：區(qū)別誤差和錯誤的界線

P(||m)=0.683=68.3出現機會（31.7%）P(||2m)=0.954=95.4出現機會（4.6%）P(||3m)=0.997=99.7出現機會（0.3%）結論：精度不相同3、相對誤差通常是用來衡量和距離有關的觀測量的精度的好壞。例:測量兩條直線，一條100m，另一條30m，其中誤差均為±10mm試問兩條直線的觀測精度相同嗎？哪條直線的觀測精度高？100m的直線的觀測精度高相對中誤差，相對真誤差和相對極限誤差。評定精度的標準6.3觀測值函數的中誤差問題的提出：在上節(jié)討論了如何根據同精度的觀測值的真誤差來評定觀測值精度的問題。許多未知量是不能直接觀測得到的。這些未知量是觀測值的函數，那么如何根據觀測值的中誤差而去求觀測值函數的中誤差呢？闡述觀測值中誤差和觀測值函數的中誤差之間的關系的定律稱為誤差傳播定律。

觀測值函數的中誤差

設未知量

z與

n個獨立觀測值x1,x2,…xn之間有如下的函數關系式：1、一般函數xi的真誤差xi引起z產生真誤差z

則：為獨立觀測值xi均是小量，上式按泰勒級數展開，并舍去二次及以上諸項，兩邊平方后求和除以N：得：

觀測值函數的中誤差由偶然誤差的抵償性知：上式最后一項極小于前面各項，可忽略不計，則：結論：

各獨立觀測值任意函數的中誤差的平方，等于該任意函數對各觀測值的偏導函數值與該觀測值中誤差乘積的平方和。該式為一般函數的中誤差公式，也稱為誤差傳播定律。觀測值函數的中誤差求任意函數中誤差的四個步驟：1、列出函數關系式：z=f(x1,x2,…xn)4、轉換為中誤差表達式并求其值3、列出函數真誤差表達式：2、求函數對各觀測值的偏導函數值：注意：在誤差傳播定律的推導過程中，要求觀測值必須是獨立觀測值;單位要統一。觀測值函數的中誤差例：某建筑場地已劃定為長方形，獨立地測定其長和寬分別為a=30.000m、b=15.000m,其中誤差分別為ma=±0.005m、mb=±0.003m，求該場地面積A及其中誤差mA。解；2、求函數對各觀測值的偏導函數3、列出函數的真誤差表達式4、轉換為中誤差表達式并求其值

1、列出函數式A=a*b觀測值函數的中誤差二.幾種常用函數的中誤差

1.倍數函數的中誤差：設有函數式

全微分

得中誤差式(x為觀測值，K為x的系數)觀測值函數的中誤差例：量得1:1000地形圖上兩點間長度l

=168.5mm0.2mm,

計算該兩點實地距離S及其中誤差ms：解：列函數式求全微分中誤差式觀測值函數的中誤差2.線性函數的中誤差

設有函數式

全微分

中誤差式觀測值函數的中誤差例：設有某線性函數其中：

x1、x2

、x3分別為獨立觀測值，它們的中誤差分別為求Z的中誤差mz。

解：對上式全微分：由中誤差式得：觀測值函數的中誤差函數式

全微分

中誤差式3.算術平均值的中誤差式

觀測值函數的中誤差由于等精度觀測時，，代入上式：得由此可知，算術平均值的中誤差比觀測值的中誤差縮小了倍。

●對某觀測量進行多次觀測(多余觀測)取平均，是提高觀測成果精度最有效的方法。觀測值函數的中誤差4.和或差函數的中誤差函數式：

全微分：

中誤差式：當等精度觀測時：上式可寫成：觀測值函數的中誤差例：測定A、B間的高差hAB

，共連續(xù)測了9站。設測量每站高差的中誤差m=±2mm

，求總高差hAB的中誤差mh

。

解：

觀測值函數的中誤差觀測值函數中誤差公式匯總觀測值函數中誤差公式匯總

函數式函數的中誤差一般函數倍數函數

和差函數

線性函數

算術平均值

6.4等精度直接觀測平差▓觀測值的算術平均值(最或是值)▓用觀測值的改正數v計算觀測值的中誤差

(即:白塞爾公式)▓算術平均值的相對中誤差

等精度直接觀測平差

一.觀測值的算術平均值(最或是值、最可靠值)

證明算術平均值為該量的最或是值：

設該量的真值為X，則各觀測值的真誤差為1=1-

X2=2-

X

······

n=n-

X對某未知量進行了n次觀測，得n個觀測值1,2,···,n,則該量的算術平均值為：上式等號兩邊分別相加得和：等精度直接觀測平差當觀測無限多次時：得兩邊除以n：由當觀測次數無限多時，觀測值的算術平均值就是該量的真值；當觀測次數有限時，觀測值的算術平均值最接近真值。所以，算術平均值是最或是值。L≈X[]0)(limlim=-=D￥?￥?XLnnn等精度直接觀測平差觀測值改正數特點二.觀測值的改正數v

：

以算術平均值為最或是值，并據此計算各觀測值的改正數v，符合[vv]=min的“最小二乘原則”。Vi=L-

i(i=1,2,···,n)特點1——改正數總和為零：對上式取和：以代入：通常用于計算檢核L=

nv=nL-

nv

=n-=0v

=0特點2——[vv]符合“最小二乘原則”：則即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvv

dx∵(x-)=0nx-=0x=

n等精度直接觀測平差精度評定

比較前面的公式，可以證明，兩式根號內的部分是相等的，即在與中：三.精度評定——用觀測值的改正數v計算中誤差一.計算公式(即白塞爾公式)：等精度直接觀測平差證明如下：證明兩式根號內相等對上式取n項的平方和由上兩式得其中:XlXlXlnn-=D-=D-=DLL2211等精度直接觀測平差改正數真誤差證明兩式根號內相等中誤差定義:白塞爾公式:等精度直接觀測平差解：該水平角真值未知，可用算術平均值的改正數V計算其中誤差：例1：對某水平角等精度觀測了5次，觀測數據如下表，求其算術平均值及觀測值的中誤差。次數觀測值VVV備注176°42′49″-416276°42′40″+525376°42′42″+39476°42′46″-11576°42′48″-39平均76°42′45″[V]=0[VV]=6076°42′45″

±1.74″等精度直接觀測平差

例6-2某一段距離共丈量了六次，結果如表下所示，求算術平均值、觀測中誤差、算術平均值的中誤差及相對誤差。測次

觀測值/m觀測值改正數v/mmvv

計算123456平均148.643148.590148.610148.624148.654148.647148.628-15+38+18+4-26-192251444324166763613046距離丈量精度計算例算例3：對某距離用精密量距方法丈量六次，求①該距離的算術平均值；②觀測