概率統(tǒng)計和隨機過程82點估計量的優(yōu)良性課件

第二節(jié)點估計量的優(yōu)良性

11、矩方法；（矩估計）2、極大似然函數(shù)法（極大似然估計）.復(fù)習(xí)點估計的方法1.矩方法方法用樣本的

k

階矩作為總體的

k

階矩的估計量,建立含有待估計參數(shù)的方程，從而可解出待估計參數(shù)2設(shè)待估計的參數(shù)為設(shè)總體的

r

階矩存在，記為設(shè)X1,X2,…,Xn為一樣本，樣本的r階矩為令——含未知參數(shù)1,2,,k的方程組3

定義1:(1)設(shè)r.v.X的概率密度函數(shù)為f(x,),其中為未知參數(shù)(f為已知函數(shù)).x1,x2,,xn為樣本X1,X2,,Xn的樣本觀察值,稱為變量X關(guān)于樣本觀察值x1,x2,,xn的似然函數(shù)。若X是離散型隨機變量，似然函數(shù)定義為2.極大似然估計5

定義2

如果似然函數(shù)在時達(dá)到最大值,則稱是參數(shù)的極大似然估計。

通常步驟

：

第一步似然函數(shù)為注:求導(dǎo)不是求極大似然估計唯一方法第二步令解出6

對于同一個未知參數(shù),不同的方法得到的估計量可能不同,于是提出問題應(yīng)該選用哪一種估計量?用什么標(biāo)準(zhǔn)來評價一個估計量的好壞?常用標(biāo)準(zhǔn)(1)無偏性(3)一致性(2)最小方差無偏估計（有效性）第二節(jié)點估計量的優(yōu)良性

7例1：樣本均值和樣本方差分別是總體均值和總體方差的無偏估計量.計算

是總體X的樣本,

一般的

設(shè)總體X的

k

階矩存在容易知道:不論

X服從什么分布,是的無偏估計量.10例2

設(shè)總體X的概率密度為

(4)求的方差X1,X2,,Xn為來自總體X的樣本.(1)求總體均值EX,總體方差DX；(2)求的矩估計量;

(3)是否為的無偏估計；11(3)所以是的無偏估計;

(4)的方差(2)令

得的矩估計量為13

二、最小方差無偏估計則稱是的最小方差無偏估計。

定義2設(shè)是的一個無偏估計，若對于的任一無偏估計，成立

定義設(shè)有效性都是總體參數(shù)的無偏估計量,且則稱比更有效.14例3

設(shè)X1,X2,,Xn為來自于總體X的樣本,總體均值EX=,總體方差DX=2,求的最小方差線性無偏估計。解已知X1,X2,,Xn獨立且與X同分布,的線性估計是將X1,X2,,Xn的線性函數(shù)

問題是如何選取的值，使得無偏性和最小方差這兩個要求都能得到滿足。

作為的估計量。15由條件

得到于是

是的最小方差無偏估計。

得

若和都是的無偏估計量，且成立，則通常稱估計量較有效,或較佳,或較優(yōu).例

設(shè)X1,X2,X3為總體的一個樣本,試證下列估計量都是總體均值的無偏估計量,且問哪一個最佳？18三、一致估計

設(shè)為總體參數(shù)的估計量，顯然與樣本X1,X2,,Xn有關(guān)，我們希望會隨著樣本容量n的增大而越接近于，這一要求便是衡量估計量好壞的另一標(biāo)準(zhǔn)。例4

試證樣本均值為總體均值的一致性估計。證因為

所以，對于相互獨立且服從同一分布的隨機變量X1,X2,,Xn，由大數(shù)定理，即得此外,還可證明樣本方差S2是總體方差2的一致性估計.21例5

證明正態(tài)總體N(,2)的樣本方差S2是總體方差2的一致性估計量。證由切比雪夫不等式有

而

22例6

X~N(0,2),其中0為已知,X1,X2,,Xn為樣本,記證明為2的無偏估計,一致估計.注意:

不是樣本的二階中心矩.本題即要證23為的無偏估計量同樣的方法可得:因此比更為有效26則稱區(qū)間[1,+)為相應(yīng)于置信度是1-的單側(cè)置信區(qū)間，1稱為置信度是1-的單側(cè)置信下限。類似，滿足下式問題:

如何確定總體參數(shù)的區(qū)間估計[1,2]呢？對于一般總體是難于確定的.現(xiàn)僅能確定正態(tài)總體N(,2)中參數(shù),2的區(qū)間估計這對許多實際應(yīng)用已經(jīng)夠了.的2為單側(cè)置信上限。

我們知道，正態(tài)隨機變量是最為常見的，特別是很多產(chǎn)品的指標(biāo)服從或近似服從正態(tài)分布。因此,我們主要研究正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計。先研究均值的區(qū)間估計，然后再研究方差的區(qū)間估計。這些在實際應(yīng)用中是很重要的.

第四節(jié)正態(tài)分布均值和方差的區(qū)間估計30

設(shè)總體X~N(,2)，其中2已知，又X1,X2,,Xn為來自于總體的樣本。一.均值EX的區(qū)間估計下面分兩種情況進(jìn)行討論。1.方差DX已知，對EX進(jìn)行區(qū)間估計由第七章第三節(jié)中的結(jié)論可知于是

31即

由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布可知，對于給定的，可以找到一個數(shù)z1-/2

，使32

當(dāng)＝0.05時,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得臨界值此時的置信區(qū)間是