獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想及應(yīng)用課件

1.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用高二數(shù)學(xué)選修1-2

第一章統(tǒng)計(jì)案例1、相關(guān)系數(shù)r復(fù)習(xí)回顧3、殘差平方和2、殘差復(fù)習(xí)回顧4、總偏差平方和5、相關(guān)指數(shù)R2（回歸平方和）

吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)9874919965為了調(diào)查吸煙是否對(duì)肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）列聯(lián)表在不吸煙者中患肺癌的比重是

在吸煙者中患肺癌的比重是

說(shuō)明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患肺癌的可能性大。0.54%2.28%探究不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)98749199651、列聯(lián)表2、三維柱形圖3、二維條形圖不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙080007000600050004000300020001000從三維柱形圖能清晰看出各個(gè)頻數(shù)的相對(duì)大小。從二維條形圖能看出，吸煙者中患肺癌的比例高于不患肺癌的比例。通過(guò)圖形直觀判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)：不吸煙吸煙患肺癌比例不患肺癌比例4、等高條形圖等高條形圖更清晰地表達(dá)了兩種情況下患肺癌的比例。因此|ad-bc|越小，說(shuō)明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱；

|ad-bc|越大，說(shuō)明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強(qiáng)。不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d如果“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”，則在吸煙者中不患肺癌的比例應(yīng)該與不吸煙者中相應(yīng)的比例差不多，即

為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，基于上述分析，我們構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量-----卡方統(tǒng)計(jì)量（1）

若H0成立，即“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”，則K2應(yīng)很小。根據(jù)表3-7中的數(shù)據(jù)，利用公式（1）計(jì)算得到K2的觀測(cè)值為：那么這個(gè)值到底能告訴我們什么呢？（2）

獨(dú)立性檢驗(yàn)在H0成立的情況下，統(tǒng)計(jì)學(xué)家估算出如下的概率

即在H0成立的情況下，K2的值大于6.635的概率非常小，近似于0.01。

也就是說(shuō)，在H0成立的情況下，對(duì)隨機(jī)變量K2進(jìn)行多次觀測(cè)，觀測(cè)值超過(guò)6.635的頻率約為0.01。思考

答：判斷出錯(cuò)的概率為0.01。獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想（類似反證法）(1)假設(shè)結(jié)論不成立,即“兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系”.(2)在此假設(shè)下我們所構(gòu)造的隨機(jī)變量K2

應(yīng)該很小,如果由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到K2的觀測(cè)值k很大,則在一定可信程度上說(shuō)明不成立.即在一定可信程度上認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”；如果k的值很小，則說(shuō)明由樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒(méi)有發(fā)現(xiàn)反對(duì)的充分證據(jù)。(3)根據(jù)隨機(jī)變量K2的含義,可以通過(guò)評(píng)價(jià)該假設(shè)不合理的程度,由實(shí)際計(jì)算出的,說(shuō)明假設(shè)合理的程度為99%,即“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信度為約為99%.怎樣判斷K2的觀測(cè)值k是大還是小呢？

這僅需要確定一個(gè)正數(shù)，當(dāng)時(shí)就認(rèn)為K2的觀測(cè)值k大。此時(shí)相應(yīng)于的判斷規(guī)則為：如果，就認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”；否則就認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間沒(méi)有關(guān)系”。----臨界值按照上述規(guī)則，把“兩個(gè)分類變量之間有沒(méi)關(guān)系”錯(cuò)誤的判斷為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”的概率為P().在實(shí)際應(yīng)用中，我們把解釋為有的把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”；把解釋為不能以的把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”，或者樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒(méi)有提供“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”的充分證據(jù)。思考：

利用上面的結(jié)論，你能從列聯(lián)表的三維柱形圖中看出兩個(gè)分類變量是否相關(guān)呢？表1-112x2聯(lián)表

一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的值域分別為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2x2列聯(lián)表）為：y1y2總計(jì)x1aba+bx2cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d在實(shí)際應(yīng)用中，要在獲取樣本數(shù)據(jù)之前通過(guò)下表確定臨界值：0.500.400.250.150.100.4550.7081.3232.0722.7060.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6367.87910.828具體作法是：(1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題需要的可信程度確定臨界值；(2)利用公式(1)，由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到隨機(jī)變量的觀測(cè)值；(3)如果，就以的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；否則就說(shuō)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒(méi)有提供“X與Y有關(guān)系”的充分證據(jù)。例1在某醫(yī)院，因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂；而另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有175人禿頂。分別利用圖形和獨(dú)立性檢驗(yàn)方法判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系？你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效？解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：患心臟病不患心臟病總計(jì)禿頂214175389不禿頂4515971048總計(jì)6657721437

相應(yīng)的三維柱形圖如圖所示，比較來(lái)說(shuō)，底面副對(duì)角線上兩個(gè)柱體高度的乘積要大一些，因此可以在某種程度上認(rèn)為“禿頂與患心臟病有關(guān)”。禿頭不禿頭例1在某醫(yī)院，因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂；而另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有175人禿頂。分別利用圖形和獨(dú)立性檢驗(yàn)方法判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系？你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效？解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：患心臟病不患心臟病總計(jì)禿頂214175389不禿頂4515971048總計(jì)6657721437

根據(jù)聯(lián)表1-13中的數(shù)據(jù)，得到所以有99%的把握認(rèn)為“禿頂患心臟病有關(guān)”。例2為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系，在某城市的某校高中生中隨機(jī)抽取300名學(xué)生，得到如下聯(lián)表：喜歡數(shù)學(xué)課程不喜歡數(shù)學(xué)課程總計(jì)男3785122女35143178總計(jì)72228300由表中數(shù)據(jù)計(jì)算K2的觀測(cè)值k4.514。能夠以95%的把握認(rèn)為高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系嗎？請(qǐng)?jiān)敿?xì)闡述得出結(jié)論的依據(jù)。解：可以有95%以上的把握認(rèn)為“性別與喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系”。分別用a,b,c,d表示樣本中喜歡數(shù)學(xué)課的男生人數(shù)、不喜歡數(shù)學(xué)課的男生人數(shù)、喜歡數(shù)學(xué)課的女生人數(shù)、不喜歡數(shù)學(xué)課的女生人數(shù)。如果性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課有關(guān)系，則男生中喜歡數(shù)學(xué)課的比例與女生中喜歡數(shù)學(xué)課的比例應(yīng)該相差很多，即例2為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系，在某城市的某校高中生中隨機(jī)抽取300名學(xué)生，得到如下聯(lián)表：喜歡數(shù)學(xué)課程不喜歡數(shù)學(xué)課程總計(jì)男3785122女35143178總計(jì)72228300由表中數(shù)據(jù)計(jì)算K2的觀測(cè)值k4.514。能夠以95%的把握認(rèn)為高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系嗎？請(qǐng)?jiān)敿?xì)闡述得出結(jié)論的依據(jù)。因此，越大，“性別與喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系”成立的可能性就越大。另一方面，在假設(shè)“性別與喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系”的前提下，事件的概率為因此事件A是一個(gè)小概率事件。而由樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得的觀測(cè)值k=4.514,即小概率事件A發(fā)生。因此應(yīng)該斷定“性別與喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系”成立，并且這種判斷結(jié)果出錯(cuò)的可能性約為5%。所以，約有95%的把握認(rèn)為“性別與喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系”。例3、某校高三年級(jí)在一次全年級(jí)的大型考試中，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學(xué)生中，物理、化學(xué)、總分也為優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示，則數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分也優(yōu)秀哪個(gè)關(guān)系較大？物理化學(xué)總分?jǐn)?shù)學(xué)優(yōu)秀228225267數(shù)學(xué)非優(yōu)秀14315699注：該年級(jí)此次考試中，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有360人，非優(yōu)秀的有880人。物理優(yōu)秀物理非優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀數(shù)學(xué)非優(yōu)秀合計(jì)（1）列出數(shù)學(xué)與物理優(yōu)秀的2x2列聯(lián)表如下2281323601437378803718691240代入公式可得練習(xí)1：在500人身上試驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒作用，把他們一年中的感冒記錄與另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如表所示。未感冒感冒合計(jì)使用血清252248500未使用血清224276500合計(jì)4765241000試畫(huà)出列聯(lián)表的條形圖，并通過(guò)圖形判斷這種血清能否起到預(yù)防感冒的作用？并進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)。解：設(shè)H0：感冒與是否使用該血清沒(méi)有關(guān)系。因當(dāng)H0成立時(shí)，K2≥6.635的概率約為0.01，故有99%的把握認(rèn)為該血清能起到預(yù)防感冒的作用。P(k≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828P(k≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.