高中數(shù)學 3.2《立體幾何中的向量方法（二）》 新人教B選修21

3.2立體幾何中的向量方法（一）.ala給定一個點A和一個向量a,過點A，以向量a為法向量的平面是完全確定的。.方法指導：怎樣求平面法向量？一般根據(jù)平面法向量的定義推導出平面的法向量，進而就可以利用平面的法向量解決相關立體幾何問題。推導平面法向量的方法如下：.設直線l,m的方向向量分別為a,b，平面α，β的法向量分別為u,v,則線線平行：l∥ma∥ba=kb;線面平行：l∥αa⊥ua·u=0;面面平行：α∥βu∥vu=kv.線線垂直：l⊥ma⊥ba·b=0;面面垂直：α⊥βu⊥vu·v=0.線面垂直：l⊥αa∥ua=ku;.例1、在棱長為1的正方體中，求平面的法向量。ABCDxyA1B1C1D1z圖1.二、講授新課1、用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”。（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；（3）把向量的運算結果“翻譯”成相應的幾何意義。（化為向量問題）（進行向量運算）（回到圖形問題）.

例1：如圖1：一個結晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點A為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60°，那么以這個頂點為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關系？A1B1C1D1ABCD圖1解：如圖1，設化為向量問題依據(jù)向量的加法法則，進行向量運算.所以回到圖形問題這個晶體的對角線的長是棱長的倍。思考：（1）本題中四棱柱的對角線BD1的長與棱長有什么關系？A1B1C1D1ABCD分析:.思考：（2）如果一個四棱柱的各條棱長都相等，并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于,那么有這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長嗎?A1B1C1D1ABCD分析:∴這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長。.（3）本題的晶體中相對的兩個平面之間的距離是多少？（提示：求兩個平行平面的距離，通常歸結為求兩點間的距離）A1B1C1D1ABCDH

分析：面面距離回歸圖形點面距離向量的模解：.∴所求的距離是A1B1C1D1ABCDH.練習:如圖2，空間四邊形OABC各邊以及AC，BO的長都是1，點D，E分別是邊OA，BC的中點，連結DE，計算DE的長。OABCDE圖2.

例2：如圖3，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B處。從A，B到直線（庫底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為和,CD的長為,AB的長為。求庫底與水壩所成二面角的余弦值。解：如圖，化為向量問題根據(jù)向量的加法法則進行向量運算ABCD圖3.于是，得因此設向量與的夾角為，就是庫底與水壩所成的二面角。所以回到圖形問題庫底與水壩所成二面角的余弦值為.

例2：如圖3，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B處。從A，B到直線（庫底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為和,CD的長為,AB的長為。求庫底與水壩所成二面角的余弦值。思考：（1）本題中如果夾角可以測出，而AB未知，其他條件不變，可以計算出AB的長嗎？ABCD圖3分析：∴可算出AB的長。.（2）如果已知一個四棱柱的各棱長和一條對角線的長，并且以同一頂點為端點的各棱間的夾角都相等，那么可以確定各棱之間夾角的余弦值嗎？分析：如圖，設以頂點為端點的對角線長為，三條棱長分別為各棱間夾角為。A1B1C1D1ABCD.（3）如果已知一個四棱柱的各棱長都等于，并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于，那么可以確定這個四棱柱相鄰兩個夾角的余弦值嗎？A1B1C1D1ABCD分析：二面角平面角向量的夾角回歸圖形解：如圖，在平面AB1內(nèi)過A1作A1E⊥AB于點E，EF在平面AC內(nèi)作CF⊥AB于F?！嗫梢源_定這個四棱柱相鄰兩個夾角的余弦值。.練習：（1）如圖4，60°的二面角的棱上有A、B兩點，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的長。B圖4ACD.（2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是邊長為2的正三角形，∠A1AB＝45°，∠A1AC＝60°，求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。ABCA1B1C1圖5.如圖6，在棱長為的正方體中，分別是棱上的動點，且。（1）求證：；（2）當三棱錐的體積取最大值時，求二面角的正切值。O’C’