半期作業(yè)力學(xué)講評

（A）只有(1)、(4)是對的．（B）只有(2)、(4)是對的．（C）只有(2)是對的．（D）只有(3)是對的．(1)

(2)

(3)

(4)

4

質(zhì)點作曲線運動，表示位置矢量，表示速度，表示加速度，S表示路程，at表示切向加速度，下列表達式中，第一章質(zhì)點的運動（一）7一質(zhì)點從靜止出發(fā)繞半徑為R作圓周運動，角加速度為，該質(zhì)點走完一圈回到出發(fā)點，所經(jīng)歷的時間為：(D)條件不夠，不能確定分析6下列說法哪一條正確？(A)加速度恒定不變時，物體運動方向也不變．(B)平均速率等于平均速度的大?。?C)不管加速度如何，平均速率表達式總可以寫成(分別為初、末速率)

(D)運動物體速率不變時，速度可以變化．8.某人騎自行車以速率v向西行駛，今有風(fēng)以相同速率從北偏東30°方向吹來，試問人感到風(fēng)從哪個方向吹來？（A）北偏東30°(B)南偏東30°(C)北偏西30°(D)西偏南30°．V人地V風(fēng)人V風(fēng)地30°WNES4兩輛車A和B，在筆直的公路上同向行駛，它們從同一起始線上同時出發(fā)，并且由出發(fā)點開始計時，行駛的距離x與行駛時間t的函數(shù)關(guān)系式：xA

=4t＋t2（SI），xB

=2t2＋2t3(SI),(1)它們剛離開出發(fā)點時，行駛在前面的一輛車是_____；(2)出發(fā)后，兩輛車行駛距離相同的時刻是_____________；(3)出發(fā)后，B車相對A車速度為零的時刻是____________．分析：（1）A（2）兩輛車行駛距離相同，即xA=xB

4t＋t2=2t2＋2t3有意義的解為：

（3）B車相對A車速度為零，即有意義的解為：

1.19s0.67s7汽車在半徑為200m的圓弧形公路上剎車，剎車開始階段的路程隨時間的變化關(guān)系為，汽車在t=1s時的切向加速度

，法向加速度大小為

，加速度的大小和方向為

和

。8圖1-1-1所示為一高為h的汽車在雨中直線行駛，其速率為u1，下落雨滴的速度方向偏于豎直并朝向車前進方向，偏向角為q，速率為u2.車后有一長為l的物體，則當(dāng)車速u1=

時，此物體正好不會被雨淋濕。據(jù)伽利略速度變換有：分析：只要u雨對車的速度與豎直方向夾角滿足條件時，車后物體不會被雨淋濕，等號對應(yīng)于正好不被淋.u1qu2u雨對車fu雨對車lu1hf3.一質(zhì)點在水平面內(nèi)以順時針方向沿半徑為2m的圓形軌道運動，此質(zhì)點的角速度與運動時間的二次方成正比，即w=Kt2(SI)，式中K為常數(shù)。已知質(zhì)點在第2末的線速度為32m/s，試求t=0.5s時質(zhì)點的線速度與加速度。解：t=0.5s時質(zhì)點的線速度加速度加速度與軌道切線的夾角ooMyx證明：（1）消去t得軌道方程為（橢圓）

（2）上式表明：加速度恒指向橢圓中心。4．已知質(zhì)點的運動方程為，其中A1，A2，w均為常數(shù),（1）試證明質(zhì)點的運動軌跡為一橢圓；（2）證明質(zhì)點的加速度恒指向橢圓中心；（3）試說明質(zhì)點在通過圖中M點時，其速率是增大還是減?。浚?）當(dāng)t=0時，x=A1，y=0，質(zhì)點位于圖中P點質(zhì)點位于時，顯然質(zhì)點在橢圓形軌道上沿反時針方向運動。而在M點，切向加速度的方向與速度的方向相反。所以，質(zhì)點在通過M點速率減小。Pooyx質(zhì)點位于圖中的Q點,QMatanaＶ質(zhì)點在通過圖中M點時，其速率是增大還是減??？5．河水自西向東流動，速度為10km/h．一輪船在水中航行，船相對于河水的航向為北偏西300，相對于水的航速為20km/h．此時風(fēng)向為正西，風(fēng)速為10km/h．試求在船上觀察到的煙囪冒出的煙縷的飄向．（設(shè)煙離開煙囪后很快就獲得與風(fēng)相同的速度）西東北南解：方向:南偏西30o第一章質(zhì)點運動學(xué)（二）1．某物體的運動規(guī)律為，式中的k為大于零的常數(shù)．當(dāng)t＝0時，初速為，則速度與時間t的函數(shù)關(guān)系是(B)(C)

(D)

(A)解:1.一質(zhì)點沿x軸運動，其加速度a與位置坐標的關(guān)系為,如果質(zhì)點在原點處的速度為零，試求其在任意位置的速度為

．3.一物體作如圖的斜拋運動，測得在軌道A點處速度的大小為v，其方向與水平方向夾角成30°．則物體在A點的切向加速度軌道的曲率半徑

.1一模型飛機在離地面4.9m的高度以4.9m/s的恒定水平速度飛行，一負重（可視為質(zhì)點）從飛機上沿水平方向拋出時相當(dāng)于飛機的初速度為12m/s，方向與飛機飛行方向相反。求：（1）當(dāng)負重落地時，它與模型飛機的水平距離；（2）負重剛要著地時其速度矢量與地面的夾角。解：以拋出點為坐標原點建立如圖所示坐標系,x軸正向與模型飛機飛行方向反向。重物在x方向做勻速運動，據(jù)伽利略速度變換有：重物在y方向做初速為0的勻加速運動，有（1）當(dāng)負重落地時，它與模型飛機的水平距離（2）負重剛要著地時其速度矢量與地面的夾角oxyq2.一電子在電場中運動，其運動方程為,(SI)(1)計算電子的運動軌跡；(2)計算t=1s時電子的切向加速度、法向加速度及軌道上該點處的曲率半徑；(3)在什么時刻電子的位矢與其速度矢量恰好垂直；(4)在什么時刻電子離原點最近．解：(1)從運動方程中消去時間就得到軌道方程(2)(3)位矢與其速度矢量垂直的條件為：有物理意義的解為：(4)電子離原點最近，表明電子位矢大小平方取極小值。令有物理意義的解為：且此時電子離原點最近的時刻是第二章質(zhì)點的運動定律（一）3．一單擺掛在木板的小釘上（擺球的質(zhì)量<<木板的質(zhì)量），木板可沿兩根豎直且無摩擦的軌道下滑，如圖．開始時木板被支撐物托住，且使單擺擺動．當(dāng)擺球尚未擺到最高點時，移開支撐物，木板自由下落，則在下落過程中，擺球相對于板(A)作勻速率圓周運動(B)靜止(C)仍作周期性擺動(D)作上述情況之外的運動

分析：在板上來看小球受到豎直向上的平移慣性力與所受重力抵消，所以小球所受合力沿繩指向中心。mgmg

7質(zhì)量為0.10kg的質(zhì)點，由靜止開始沿曲線(SI)運動，則在t=0到t=2s時間內(nèi)，作用在該質(zhì)點上的合外力所做的功為

(A)5/4J．(B)20J．

(C)75/4J．(D)40J．

分析：合外力所做的功1．質(zhì)量分別為m1、m2、m3的三個物體A、B、C，用一根細繩和兩根輕彈簧連接并懸于固定點O，如圖．取向下為x軸正向，開始時系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，后將細繩剪斷，則在剛剪斷瞬時，物體B的加速度

物體A的加速度。―(m3/m2)gＡＴ１Ｔ２ＢＴ２Ｔ３ＣＴ３解：因開始時系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，各物體的受力分析如右圖。Ａ物體受力情況不變繩剛剪斷時，彈簧形變狀態(tài)未變，此時B物體未受T3作用，對Ｂ物體應(yīng)用牛頓第二定律有：2．質(zhì)量為m的小球，用輕繩AB、BC連接，如圖，其中AB水平．剪斷繩AB前后的瞬間，繩BC中的張力比T:T′＝

．解：繩斷前小球在豎直方向受力平衡，即有：剪斷前mgTT2剪斷后mgT’繩斷后，小球沿BC長度方向受力平衡，張力與球重量的關(guān)系為：從上兩式易得：

解：碰前小球沿x和y方向的速度分別為：碰后小球沿x和y方向的速度分別為：地面對小球的豎直沖量大小地面對小球的水平?jīng)_量大小4．質(zhì)量為m的小球自高為y0處沿水平方向以速率v0拋出,與地面碰撞后跳起的最大高度為y0/2，水平速率為v0/2.則碰撞過程中地面對小球的豎直沖量的大小為___________；(2)地面對小球的水平?jīng)_量的大小為_________．6質(zhì)量為m1和m2的兩個物體，具有相同的動量．欲使它們停下來，外力對它們做的功之比A1∶A2=___；若它們具有相同的動能，欲使它們停下來，外力的沖量之比I1∶I2=____．解：由第一已知條件有：

由動能定理有：

由第二已知條件有：

由動量定理有：

2．一質(zhì)量為m的物體，最初靜止于x0處,在力F=-k/x2

的作用下沿直線運動，試求出物體在任意位置x處的速度

解1：

解2：根據(jù)動能定理有：據(jù)上式也可得到正確答案。3頂角為2q的直圓錐體,底面固定在水平面上,如圖所示。質(zhì)量為m的小球系在繩的一端，繩的另一端系在圓錐的頂點，繩長為l，且不能伸長，質(zhì)量不計。圓柱面是光滑的，今使小球在圓錐面上以角速度繞OH軸勻速轉(zhuǎn)動，求：(1)錐面對小球的支持力N和細繩的張力T；(2)當(dāng)增大到某一值c時小球?qū)㈦x開錐面，這時c及T又各是多少？解：在x和y方向?qū)π∏驊?yīng)用牛頓第二定律HOlNmgTxy5一升降機內(nèi)有一傾角為a的固定光滑斜面，如圖所示．當(dāng)升降機以勻加速度a0上升時，質(zhì)量為m的物體A沿斜面滑下，求A對地面的加速度．

解：取A為研究對象,A受力如圖在非慣性系（升降機）中的應(yīng)用牛頓第二定律得：沿x′：

沿y′：

由伽利略加速度變換寫出A對地面加速度則A對地面的加速度的x和y方向的投影分別為

第二章質(zhì)點的運動定律（二）2一只質(zhì)量為m的猴，原來抓住一根用繩吊在天花板上的質(zhì)量為M的直桿，懸線突然斷開，小猴則沿直桿豎直向上爬以保持它離地面的高度不變，此時直桿下落的加速度為(A)g

解：猴保持它離地面的高度不變，猴相對于地面靜止，受力平衡，即有： F猴桿=mgF猴桿與F桿猴是一對作用力和反作用力，對桿利用牛頓第二定律有：mgF猴桿MgF桿猴．2．圖示一圓錐擺，質(zhì)量為m的小球在水平面內(nèi)以角速度w勻速轉(zhuǎn)動．在小球轉(zhuǎn)動一周的過程中，(1)小球動量增量的大小等于______________．(2)小球所受重力的沖量的大小等于_____________．(3)小球所受繩子拉力的沖量大小等于___________2pmg/w02pmg/w3一列火車以速度u作勻速直線運動，當(dāng)一位實驗者站在一節(jié)敞車上面將一質(zhì)量為m的小球以速度v（相對于火車）向前或豎直向上拋出，在地面參考系中看來實驗者對小球作的功分別是：

W（前）=______________．W（上）=______________．

分析：利用伽利略速度變換,并考慮到速度的方向，知利用動能定理有：向前拋，小球?qū)Φ氐乃俣却笮椋合蛏蠏仯∏驅(qū)Φ氐乃俣却笮椋?一條長為l，質(zhì)量均勻分布的細鏈條AB，掛在半徑可忽略的光滑釘子C上，開始時處于靜止狀態(tài)，BC段長為L（3l/2>L>l/2）

，釋放后鏈條將作加速運動．試求：當(dāng)BC=2l/3時，鏈條的加速度和運動速度的大小．解：鏈條運動過程中，當(dāng)時,此時BC段和AC段在C點處所受張力分別為T1和T2對BC段有

對AC段有

因

3質(zhì)量為m的小球在水平面內(nèi)作半徑為R的勻速圓周運動，圓周運動的角速度為.試通過小球受到合外力的時間積分計算，小球在經(jīng)過(1)1/4圓周，(2)1/2圓周，(3)3/4圓周，(4)整個圓周，幾個的過程中向心力的沖量，以及由動量定理得出這幾個過程中的沖量．解：方法1小球所受合力作為它作圓周運動的向心力，合力的沖量表示為：tORxy將分別帶入上式，得到?jīng)_量tORxy方法1利用動量定理求解小球經(jīng)過(1)1/4圓周，(2)1/2圓周，(3)3/4圓周，(4)整個圓周后的末態(tài)動量利用動量定理得：得到四種情況下小球受到的沖量為：小球初態(tài)動量第三章質(zhì)點系運動定理（一）

3空中有一氣球，下連一繩梯，它們的質(zhì)量共為m’．在梯上站一質(zhì)量為m的人，起始時氣球與人均相對于地面靜止．當(dāng)人相對于繩梯以速度u向上爬時，氣球的速度為（以向上為正）

分析：將人和氣球看為一系統(tǒng)，動量守恒。假定氣球相對于地向上的速度為v，則人相對地的速度為u+v,則有：5一火箭初質(zhì)量為m0，每秒噴出的質(zhì)量(-dm/dt)恒定，噴氣相對火箭的速率恒定為u．設(shè)火箭豎直向上發(fā)射，不計空氣阻力，重力加速度g恒定，則t=0時火箭加速度a在豎直方向（向上為正）的投影式為分析：坐標軸oy數(shù)值向上，坐標原點選在地面上，假定在t時刻火箭的總質(zhì)量為m,對地的速度為v，該系統(tǒng)受到向下的重力作用。在dt時間內(nèi)，火箭噴出了-dm的氣體，在t+dt時刻火箭速度為v+dv,噴出氣體對地的速度v+dv-u,在地面參考系中利用動量定律得：Oy整理上式得：火箭加速度6．如圖所示兩個小球用不能伸長的細軟線連接，垂直地跨過固定在地面上、表面光滑的半徑為R的圓柱，小球B著地，小球A的質(zhì)量為B的兩倍，且恰與圓柱的軸心一樣高．由靜止狀態(tài)輕輕釋放A，當(dāng)A球到達地面后，B球繼續(xù)上升的最大高度是

解：A釋放到A觸地以前的過程中，A、B和地組成的系統(tǒng)B機械能守恒，令A(yù)球的質(zhì)量為m,則有：A觸地后，B物體相當(dāng)于以速度u豎直上拋，B和地組成的系統(tǒng)機械能也守恒.8．勁度系數(shù)為k的輕彈簧,一端與傾角為的斜面上的固定檔板A相接,另一端與質(zhì)量為m的物體B相連.O點為彈簧沒有連物體、長度為原長時的端點位置，a點為物體B的平衡位置．現(xiàn)在將物體B由a點沿斜面向上移動到b點，設(shè)a點與O點，a點與b點之間距離分別為x1和x2，則在此過程中，由彈簧、物體B和地球組成的系統(tǒng)勢能的增加為3．有一質(zhì)量為M（含炮彈）的炮車，在一傾角為q的光滑斜面上下滑，當(dāng)它滑到某處速率為v0時，從炮內(nèi)射出一質(zhì)量為m的炮彈沿水平方向．欲使炮車在發(fā)射炮彈后的瞬時停止下滑，則炮彈射出時對地的速率v=可看成是爆炸問題，應(yīng)用沿斜面方向動量守恒可得。OSabrarb解：（1）6質(zhì)點在力的作用下，由位置ra運動到位置rb，經(jīng)過路程為S，如圖所示．如果力的函數(shù)分別為：和,其中k為常數(shù)，分別是沿矢徑、速度的單位矢量．則F1在該過程中所做的功W1=

，F(xiàn)2在該過程中所做的功W2=

；兩個力的

是保守力．F1F2(2)因F1所作的功與具體路徑無關(guān)，由質(zhì)點始末位置確定，而F2作的功與具體路徑有關(guān)，所以F1是保守力。7．勁度系數(shù)為k的彈簧，上端固定，下端懸掛重物．當(dāng)彈簧伸長x0，重物在O處達到平衡，現(xiàn)取重物在O處時各種勢能均為零，則當(dāng)彈簧長度為原長時，系統(tǒng)的重力勢能為_____；系統(tǒng)的彈性勢能為___________；系統(tǒng)的總勢能為___________．（答案用k和x0表示）2.桌面上堆放一串柔軟的長鏈，今拉住長鏈的一端豎直向上以恒定的速度v0上提，如圖所示．試證明：當(dāng)提起的長度為l時，所用的向上的力，其中為長鏈單位長度的質(zhì)量．因提起速度為恒定的v0，所以，如提起長度為l，則有：證明：以被提起的繩段y為研究對象，它受拉力F和重力yg的作用，由牛頓第二定律：可證明：當(dāng)初速為0,并以恒定加速度a提起時力為：能否用功能原理來做？不能用功能原理來做！5、在光滑的水平面上，有一根原長l0=0.6m、勁度系數(shù)k=8N/m的彈性繩，繩的一端系著一個質(zhì)量m=0.2kg的小球B，另一端固定在水平面上的A點．最初彈性繩是松弛的，小球B的位置及速度如圖所示．在以后的運動中當(dāng)小球B的速率為v時，它與A點的距離最大，且彈性繩長l=0.8m，求此時的速率v及初速率v0。解：重力、支持力、繩中張力對A點的力矩之和為零，故小球?qū)點的角動量守恒．當(dāng)B與A距離最大時，B的速度應(yīng)與繩垂直．故有由機械能守恒有

聯(lián)解上兩式得：第三章質(zhì)點系運動定理（二）

3．質(zhì)量分別為m1、m2的兩個物體用一勁度系數(shù)為k的輕彈簧相聯(lián)，放在水平光滑桌面上，如圖所示．當(dāng)兩物體相距x時，系統(tǒng)由靜止釋放．已知彈簧的自然長度為x0，則當(dāng)物體相距x0時，m1的速度大小為

解：將兩物體和彈簧作為一系統(tǒng)，在整個過程中，系統(tǒng)所受合外力為0，所以動量守恒，即有在整個過程中只有保守內(nèi)力做功，系統(tǒng)機械能守恒，即有聯(lián)解兩方程可得：解：3.角動量為L，質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星，在半徑為r的圓軌跡上運行.它的動能為

、勢能為

和總能量為

。衛(wèi)星受到的萬有引力作為它作圓周運動的向心力是否如下計算萬有引力勢能？不能這樣計算！1一輛總質(zhì)量為m0的裝滿沙子的小車，車下有一可調(diào)節(jié)的小孔，當(dāng)小孔打開時，沙子從小孔中豎直漏出。設(shè)每秒均勻漏出的沙子質(zhì)量為△m,小車在水平恒力F的作用下，在水平地面上由靜止開始運動時，沙子也同時開始從小孔中漏出。如果小車行進時的摩擦忽略不計，試用動量定理求解t時刻小車的運動速度和加速度。解：車與車內(nèi)沙子的總質(zhì)量m隨時間t的變化關(guān)系寫為：

m0假定在t時刻，車子的速度為u,在經(jīng)過dt時間以后，車與車內(nèi)沙子的重質(zhì)量為m+dm，速度為u+du,而漏下沙子在水平方向的速度為u，在該方向利用動量定理有：

整理并忽略二階無窮小得

F2．一鏈條總長為l，質(zhì)量為m，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的長度為a．設(shè)鏈條與桌面之間的滑動摩擦系數(shù)為．令鏈條由靜止開始運動，則(1)到鏈條剛離開桌面的過程中，摩擦力對鏈條作了多少功？(2)鏈條剛離開桌面時的速率是多少？解：(1)建立如圖坐標.某一時刻桌面上全鏈條長為y,則摩擦力大小為：摩擦力的功：

(2)以鏈條為對象，重力所作的功

0yx應(yīng)用質(zhì)點的動能定理

第四章剛體定軸轉(zhuǎn)動(一)6．一水平圓盤可繞通過其中心的固定豎直軸轉(zhuǎn)動，盤上站著一個人.把人和圓盤取作系統(tǒng)，當(dāng)此人在盤上隨意走動時，若忽略軸的摩擦，此系統(tǒng)(A)動量守恒．(B)機械能守恒．(C)對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒．(D)動量、機械能和角動量都守恒．(E)動量、機械能和角動量都不守恒．

1．（1）一個質(zhì)量為M，半徑為R的環(huán)放在刀口上，環(huán)可以在自身平面內(nèi)擺動，形成一個物理擺。求此時圓環(huán)擺的轉(zhuǎn)動慣量。（2）假設(shè)一個相同的環(huán)固定在與其共面且與圓周相切的軸PP?上環(huán)可以自由在紙面內(nèi)外擺動。求此時圓環(huán)擺的轉(zhuǎn)動慣量。解：（1）圓環(huán)放在刀口上O，以環(huán)中心的C點的為坐標原點。Z軸指向讀者。圓環(huán)繞Z軸的轉(zhuǎn)動慣量為由平行軸定理，關(guān)于刀口的轉(zhuǎn)動慣量為RCO（2）由垂直軸定理有：PP?RO?xZ由平行軸定理有：5．一輕繩繞過一半徑R，質(zhì)量為M/4的滑輪。質(zhì)量為M的人抓住繩子的一端，而繩子另一端系一質(zhì)量為M/2的重物，如圖。求當(dāng)人相對于繩勻速上爬時，重物上升的加速度是多少？解1：在地面參考系中對人和重物寫出牛頓第二定律，對滑輪寫出定軸轉(zhuǎn)動定律有：MgT1Mg/2T2聯(lián)立求解得：選人、滑輪、與重物為系統(tǒng)，系統(tǒng)所受對滑輪軸的外力矩為解2：利用物體系定軸轉(zhuǎn)動定律做設(shè)u為人相對繩的速度，u為重物上升的速度。則該系統(tǒng)在地面參考系中對滑輪軸的角動量為據(jù)定軸轉(zhuǎn)動定律有即

第四章

剛體定軸轉(zhuǎn)動(二)選擇題Oxlmm1.如圖所示的剛性啞鈴，設(shè)長為2l的桿質(zhì)量與兩個小球的質(zhì)量相等，均為m．啞鈴桿中點O與定軸連接，