2019-2020學(xué)年人教B版必修 第一冊(cè)1 2.1.1 等式的性質(zhì)與方程的解集 學(xué)案

2．1.1等式的性質(zhì)與方程的解集考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)等式的性質(zhì)掌握等式的性質(zhì)，會(huì)用十字相乘法分解因式數(shù)學(xué)運(yùn)算方程的解集會(huì)利用等式的性質(zhì)解一兀一次方程，會(huì)用因式分解法解一元二次方程數(shù)學(xué)運(yùn)算預(yù)習(xí)教材P43—P46的內(nèi)容，思考以下問題：1．等式的性質(zhì)有哪些？2．恒等式的概念是什么？3．十字相乘法的內(nèi)容是什么？4．方程的解集的概念是什么？、新知初掠，1．等式的性質(zhì)等式的兩邊同時(shí)加上(減去)同二個(gè)數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立；等式的兩邊同時(shí)乘以(除以)同一個(gè)丕為零的數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立.［注意］等式性質(zhì)成立的條件，特別是性質(zhì)(2)中的“不為零”．2．恒等式一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意實(shí)數(shù)時(shí)等式都成立，則稱其為恒等式,也稱等式兩邊恒等.3．方程的解集一般地，把一個(gè)方程所有解組成的集合稱為這個(gè)方程的解集.o判斷正誤(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”)

TOC\o"1-5"\h\z⑴若a=b，貝9a_c=b_c.（）⑵若a=b,則c=：?（）⑶若C=C，則a=b?（）（4）x3＋1=（x＋1）（x2－x＋1）．（）（5）x2＋5x＋6=（x＋2）（x＋3）．（）答案：（1"（2）X（3"（4）V（5）V&下列各式由左邊到右邊的變形為因式分解的是（）A．a(chǎn)2－b2＋1=（a＋b）（a－b）＋1B．m2－4m＋4=（m－2）2C．（x＋3）（x－3）=x2－9D．t2＋3t－16=（t＋4）（t－4）＋3t答案：B?已知x2+kxy+64y2是一個(gè)完全式，則k的值是（）A．8B．±8C．16D．±16答案：D解析：2x+13解析：2x+133x+42=*的解集為.2x＋1由丁3x+412=2得2(2x得2(2x+1)-3(3x+4)=3，即-5x-10=3,13r13〕所以x=-13.所以方程的解集為?}-$>.答案：芋?方程x2+2x—15=0的解集為.解析：x2+2x-15=(x-3)(x+5)=0，所以x=3或x=-5.所以方程的解集為{3，-5}．答案：{3，—答案：{3，—5}利用十字相乘法分解單變量多項(xiàng)式角度一x2＋(p＋q)x＋pq型式子的因式分解例1分解因式：x2－3x＋2；x2＋4x－12.【解】⑴如圖，將二次項(xiàng)X2分解成圖中的兩個(gè)x的積，再將常數(shù)項(xiàng)2分解成-1與-2的乘積，而圖中的對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為-3x,就是x2-3x+2中的一次項(xiàng)，所以x2-3x+2—(x-1)(x-2).說明：今后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以直接將圖中的兩個(gè)x用1來表示(如圖).X；(2)由圖，得所以x2+4x-12—(x-2)(x+6).規(guī)律方法x2+(p+q)x+pq此類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)系數(shù)是1；常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和.其分解因式為：x2+(p+q)x+pq—(x+p)(x+q).角度二ax2＋bx＋c型式子的因式分解例2分解因式：6x2＋5x＋1；6x2＋11x－7；42x2－33x＋6；2x4－5x2＋3.【解】(1)由圖，得所以6x2+5x+1=(2x+l)(3x+1).(2)由圖，得所以6x2+llx-7=(2x-1)(3x+7).(3)由圖，得所以42x2-33x+6=(6x-3)(7x-2).(4)由圖，得所以2x4-5x2+3=(x2-1)(2x2-3)=2(x+1)(x-1)lx+規(guī)律方法對(duì)于ax2+bx+c，將二次項(xiàng)的系數(shù)a分解成a1Xa2,常數(shù)項(xiàng)c分解成c1Xc2，并且把a(bǔ)1,a2,c1,c2排列如圖：:，按斜線交叉相乘，再相加，就得到a1c2+a2c1，如果它正好等于ax2+bx+c的一次項(xiàng)系數(shù)b，那么ax2+bx+c就可以分解成(a1x+c1)(a2x+c2)，其中a1，q位于上圖中上一行，a2，c2位于下一行.把下列各式分解因式：TOC\o"1-5"\h\zx2—3x+2=；x2+37x+36=；(a－b)2＋11(a－b)＋28=4m2－12m＋9=?解析：(1)x2-3x+2=(x-1)(x-2).(2)x2+37x+36=(x+1)(x+36).(3)(a-b)2+11(a-b)+28=[(a-b)+4][(a-b)+7]=(a-b+4)(a-b+7).(4)4m2-12m+9=(2m-3)2.答案：(l)(x—l)(x—2)(x＋1)(x＋36)(a－b＋4)(a－b＋7)(2m－3)2利用十字相乘法分解雙變量多項(xiàng)式角度一x2＋(p＋q)xy＋pqy2型式子的因式分解例3把下列各式因式分解：a2－2ab－8b2；x+5\；xy—6y(x>0,y>0)；(x＋y)2－z(x＋y)－6z2；m4＋m2n2－6n4.【解】(l)(a＋2b)(a-4b)；⑵&x+6-Jy)(-Jx-、：y)；(x＋y＋2z)(x＋y-3z)；(m+\'2n)(m-\2h)(m2+3n2).規(guī)律方法x2＋(p＋q)xy＋pqy2這類二次齊次式的特點(diǎn)是：x2的系數(shù)為1；y2的系數(shù)為兩個(gè)數(shù)的積0q)；xy的系數(shù)為這兩個(gè)數(shù)之和(p+q).x2+(p+q)xy+pqy2=x2+pxy+qxy+pqy2=x(x+py)+qy(x+py)=(x+py)(x+qy).角度二ax2＋bxy＋cy2型式子的因式分解例4把下列各式因式分解：6m2－5mn－6n2；20x2＋7xy－6y2；2x4＋x2y2－3y4；6(x+y)+7\'z(x+y)+2z(x>0,y>0,z>0).【解】(1)(3m＋2n)(2m-3n).

(2)(4x＋3y)(5x－2y)．(3)(x＋y)(x－y)(2x2＋3y2)．(4)(3\；x+y+2\'z)(2\i'x+y+-Jz).規(guī)律方法對(duì)ax2+bxy+cy2因式分解時(shí)，若將y2也視為常數(shù)，則與ax2+bx+c的分解方法是一致的.1．分解下列各因式：x2－xy－2y2－2x＋7y－3；ab－2a－b＋2.解：(1)(x-2y)(x+y)-2x+7y-3=(x-2y+1)^(x+y-3)；(2)(b－2)(a－1).分解因式：x2+(2m+l)x+m2+m.解：x2+(2m+1)x+m(m+1)=(x+m)(x+m+1).元次方程的解集元次方程的解集用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笙铝蟹匠痰慕饧?1)爲(wèi)—0.17—0.2x003=1(1)爲(wèi)—0.17—0.2x003=1;(2)x—2x—2(x_1)2(x—1)3__解】(1)原方程可化為■yx-^(0.17-0.2x)=1去分母，得30x-7(17-20x)二21,去括號(hào)，得30x-119+140x=21,移項(xiàng)，得30x+140x=21+119,合并同類項(xiàng)，得170x=140,14系數(shù)化為1，得x詣.所以該方程的解集為(17〉.⑵去小括號(hào)，得x⑵去小括號(hào)，得x-2(x11、2x-2-2x+21112x-2去括號(hào)，得乳-彳工+二工-才二―,去分母，得12x-6x+3x-3二8x-8,移項(xiàng)，得12x-6x+3x-8x--8+3,合并同類項(xiàng)，得x=-5.所以該方程的解集為｛-5｝．規(guī)律方法解一元一次方程時(shí)，有些變形的步驟可能用不到，要根據(jù)方程的形式靈活安排求解步驟．(1)在分子或分母中有小數(shù)時(shí)，可以化小數(shù)為整數(shù)．注意根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，分子、分母必須同時(shí)擴(kuò)大同樣的倍數(shù)．(2)當(dāng)有多層括號(hào)時(shí)，應(yīng)按一定的順序去括號(hào)，注意括號(hào)外的系數(shù)及符號(hào)．1．求下列方程的解集4—3(10—y)=5y；2x—12x+1⑵丁=—1.解：(1)去括號(hào)，得4-30+3y=5y.移項(xiàng)，得3y-5y=30-4.合并同類項(xiàng)，得-2y=26.系數(shù)化為1,得y=-13.所以該方程的解集為｛-13｝．(2)去分母，得2(2x-1)二(2x+1)-6.去括號(hào)，得4x-2=2x+1-6.移項(xiàng)，得4x-2x=1-6+2.合并同類項(xiàng)，得2x=-3.3系數(shù)化為1，得x=-|

r3〕所以該方程的解集為］-2‘.x－4x＋2如果方程3—8=—2的解集與方程4x—(3a+l)=6x+2a—l的解集相同，求式子a—嚴(yán)的值.a解：x解：x－4解方程^廠-8=去分母，得2(x-4)-48=-3(x+2),去括號(hào)，得2x-8-48--3x-6,移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得5x=50,系數(shù)化為1,得x=10.得4X10-(3a+1)=6X10+2a-1，解得a=-4.當(dāng)a=-得4X10-(3a+1)=6X10+2a-1，解得a=-4.當(dāng)a=-4時(shí)，a-丄二-4-丄=-弓.a-44因式分解法解一元二次方程側(cè)13用因式分解法求下列方程的解集.6x(x+1)=5(x+1)；(2x—1)2—(x+1)2=0；(x+3)(x+1)=6x+2.【解】(1)分解因式，得(6x-5)(x+1)=0,所以6x-5=0或x+1=0，所以x1=6,x2=-1.所以方程的解集為￡，-「?(2)分解因式，得[(2x-1)+(x+1)][(2x-1)-(x+1)]=0，所以3x(x-2)=0，所以x1=0，x2=2.所以方程的解集為｛0，2｝．⑶整理，得x2-2x+1=0.即(x-1)2=0，所以x1=x2=1.所以方程的解集為｛1｝．規(guī)律方法用因式分解法解一元二次方程的步驟將方程右邊化為0；將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的積；令每個(gè)因式等于0，得兩個(gè)一元一次方程，再求解．［提醒］①用因式分解法解一元二次方程，經(jīng)常會(huì)遇到方程兩邊含有相同因式的情況，此時(shí)不能將其約去，而應(yīng)當(dāng)移項(xiàng)將方程右邊化為零，再提取公因式，若約去則會(huì)使方程失根；②對(duì)于較復(fù)雜的一元二次方程，應(yīng)靈活根據(jù)方程的特點(diǎn)分解因式.用因式分解法求下列方程的解集：66=09(2x+3)2-4(2x-5)2=0.解：(1)x(-2-J=°，即x(x-D=0,_3所以x1=0,x2=2,f3〕所以該方程的解集為f0,牙.(2)(x-3)2＋2(x-3)=0，(x-3)(x-3＋2)=0，所以x-3=0或x-1=0，所以x1=3，x2=1，所以該方程的解集為｛3，1｝．(3)[3(2x＋3)＋2(2x-5)][3(2x＋3)-2(2x-5)]=0，所以(10x-1)(2x+19)=0,所以10x-1=0或2x＋19=0，192-所以該方程的解集為｛需，-學(xué)1?分解因式X3—X,結(jié)果為()A．x(x2－1)B．x(x－1)2C．x(x＋1)2D．x(x＋1)(x—1)解析：選D.x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1).TOC\o"1-5"\h\z已知a+b=3,ab=2，計(jì)算：a2b+ab2等于()A．5B．6C.9D.1解析：選B.a2b+ab2=ab(a+b)=2X3=6.分解因式a2+8ab—33b2得()(a＋11)(a—3)B.(a＋11b)(a—3b)C.(a—11b)(a—3b)D.(a—11b)(a＋3b)解析：選B.a2+8ab-33b2=(a-3b)(a+11b).方程3x(x—2)=2—x的解集為解析：因?yàn)?x(x-2)=2-x，所以3x(x-2)-(2-x)=0，即3x(x-2)＋(x-2)=0，所以(x-2)(3x+1)=0,所以x=2或x=-3,r1〕所以方程的解集為［2,-亍.r1〕答案：〔2,-亍把下列各式分解因式：x2＋15x＋56；6x2＋7x—3；x2—6xy—7y2；8x2＋26xy＋15y2.

解：(1)x2+15x+56=(x+7)(x+8)；(2)6x2+7x-3=(2x+3)(3x-1)；(3)x2-6xy-7y2二(x-7y)(x+y)；(4)8x2(4)8x2+26xy+15y2二(2x+5y)(4x+3y).[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．多項(xiàng)式2x2－xy－15y2的一個(gè)因式為()A．2x－5yB．x－3yC．x＋3yD．x－5y解析：選B.2x2-xy-15y2=(x-3y)(2x+5y).2．(a＋b)2＋8(a＋b)－20分解因式得()A．(a＋b＋10)(a＋b－2)B．(a＋b＋5)(a＋b－4)C．(a＋b＋2)(a＋b－10)D．(a＋b＋4)(a＋b－5)解析：選A.(a+b)2+8(a+b)-20=[(a+b)-2][(a+b)+10]=(a+b-2)(a+b+10).若多項(xiàng)式x2—3x+a可分解為(x—5)(x—b)，則a,b的值是()A.a=10,b=2B.a=10,b=——2C.a=—10,b=—2D.a=—10,b=2解析：選C.因?yàn)?x-5)(x-b)=x2-(5+b)x+5b,-(5+b)=-3fb=-2所以]，即＜、5b—aa--10方程2x—(x+10)=5x+2(x+1)的解集為()〔4]B.1-D.{2}C.{D.{2}解析：選C.因?yàn)?x-(x+10)-5x+2(x+1),所以2x-x-10-5x+2x+2，即-6x-12，所以x--2.5．下列說法正確的是()解方程3x(x+2)=5(x+2)時(shí)，可以在方程兩邊同時(shí)除以(x+2)，得3x=5,故x=§解方程(x+2)(x+3)=3X4時(shí)，對(duì)比方程兩邊知x+2=3,x+3=4,故x=1解方程(3y+2)2=4(y—3)2時(shí)，只要將兩邊開平方，方程就變形為3y+2=2(y—3),從而解得y=－8若一元二次方程的常數(shù)為0則0必為它的一個(gè)根答案：D若x2+mx—10=(x+a)(x+b)，其中a，b為整數(shù)，則m取值的集合為.解析：因?yàn)閤2+mx-10=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,m=a+b所以＜.、ab=-10又因?yàn)閍,b為整數(shù)，a=-1a=1a=2a=-2所以或或或b=10b=-10b=-5b=5所以m=±9或±3,所以m取值的集合為{-9，-3，3，9}．答案：{—9，—3，3，9}已知y=1是方程2—13(m—y)=2y的解，則關(guān)于x的方程m(x—3)—2=m(2x—5)的解集為解析：因?yàn)閥=1是方程2-13(m-y)=2y的解，所以2-13(m-1)=2,即m=1.所以方程m(x-3)-2=m(2x-5)(x-3)-2=2x-5，解得x=0.所以方程的解集為{0}．答案：{0}若實(shí)數(shù)a，b滿足(4a+4b)(4a+4b—2)—8=0,則a+b=.解析：設(shè)a+b=x，則原方程可化為4x(4x-2)-8=0，整理，得(2x+1)(x-1)=0,

解得X1=-1,x2=1,則a+b=-2或1.答案：一*或19．把下列各式分解因式：（1）6x2+7x—3；（2）12x2＋25x＋12；（3）42x2—5x一2；（4）72x2+7x—2.解：（1）（2x＋3）（3x－1）；（2）（3x＋4）（4x＋3）；（3）（6x＋1）（7x－2）；（4）（9x＋2）（8x－1）．10．把下列各式分解因式：（1）x2—y2—x+3y—2；（2）6xy＋4x＋3y＋2；（3）x2—（a＋b）x＋ab；（4）（x＋y）2—（3＋a）|x＋y|＋3a.解：（1）（x＋y）（x－y）－x＋3y－2=（x＋y－2）（x－y＋1）；（2）（2x＋1）（3y＋2）；（3）（x－a）（x－b）；（4）（|x＋y|－3）（|x＋y|－a）．[B能力提升]b=adb=ad—bc.例如:d=8,運(yùn)算得5x—2=8,解得x=2.規(guī)定一種運(yùn)算：c按照這種運(yùn)算的規(guī)定，那么=按照這種運(yùn)算的規(guī)定，那么=5時(shí)，x的值為xx2x解析：由題意，得=x2－4x=5，2x即x2－4x－5=0，解得x=5或x=－1.答案：5或—1

小奇設(shè)計(jì)了一個(gè)魔術(shù)盒，當(dāng)任意實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)進(jìn)入其中時(shí)，會(huì)得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)a2—3b—5,例如把(1,-2)放入其中，就會(huì)得到12—3X(—2)—5=2.現(xiàn)將實(shí)數(shù)對(duì)(m,3m)放入其中，得到實(shí)數(shù)5,則m=.解析：因?yàn)閷?shí)數(shù)對(duì)(m,3m)放入其中，得到實(shí)數(shù)5,所以m2-9m-5=5,解得m=10或-1.答案：10或—113．用因式分解法求下列方程的解集x2—10x＋9=0；2(x—3)=3x(x—3)；4(3x—2)(x＋1)=3x＋3；2(2x—3)2—3(2x—3)=0；2x2—16=x2＋5x＋8；(3x—1)2＋3(3x—1)＋2=0.解：(1)(x-1)(x-9)=0,所以x1=1,x2=9；所以該方程的解集為｛1，9｝．(2)整理，得(x-3)(2-3x)=0,所以x-3=0或2-3x=0，_2所以X]二3，工2二3；r2〕所以該方程的解集為卩，亍.(3)4(3x-2)(x＋1)-3(x＋1)=0，所以(x+1)(12x-11)=0,所以x1=-1,x2=H；所以該方程的解集為｛所以該方程的解集為｛-1，H(