初中數(shù)學(xué)北師大版八年級上冊第七章平行線的證明5三角形內(nèi)角和定理“衡水杯”一等獎(jiǎng)

《三角形內(nèi)角和定理》一、選擇題1．若一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為2：7：4，那么這個(gè)三角形是（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形2．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角∠A、∠B、∠C滿足關(guān)系式∠B+∠C=∠A，則此三角形（）A．一定有一個(gè)內(nèi)角為45° B．一定有一個(gè)內(nèi)角為60°C．一定是直角三角形 D．一定是鈍角三角形3．在△ABC中，∠A﹣∠B=35°，∠C=55°，則∠B等于（）A．50° B．55° C．45° D．40°4．如圖，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，則∠ADE的大小是（）A．45° B．54° C．40° D．50°5．如圖，△ABC中，∠C=70°，若沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2=（）A．360° B．250° C．180° D．140°6．關(guān)于三角形內(nèi)角的敘述錯(cuò)誤的是（）A．三角形三個(gè)內(nèi)角的和是180°B．三角形兩個(gè)內(nèi)角的和一定大于60°C．三角形中至少有一個(gè)角不小于60°D．一個(gè)三角形中最大的角所對的邊最長7．如圖，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，則∠BOC等于（）A．95° B．120° C．135° D．無法確定二、填空題8．三角形中，最大角等于最小角的2倍，最大角又比另一個(gè)角大20°，則此三角形的最小角等于．9．如圖所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，則∠B=∠，∠C=∠．10．一副三角板疊在一起如圖放置，最小銳角的頂點(diǎn)D恰好放在等腰直角三角板的斜邊AB上，BC與DE交于點(diǎn)M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD為度．11．如圖，∠α=．12．如圖，直線a∥b，則∠A=，若作BH⊥AC于H，則∠ABH=．13．計(jì)算∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度數(shù)為．14．如圖所示，在△ABC中，∠B=∠C，F(xiàn)D⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=158°，則∠ACD=度．15．直角三角形的兩個(gè)銳角的平分線所交成的角的度數(shù)是．16．在△ABC，BC邊不動(dòng)，點(diǎn)A豎直向上運(yùn)動(dòng)，∠A越來越小，∠B、∠C越來越大．若∠A減小α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，則α、β、γ三者之間的等量關(guān)系是．三、解答題17．在△ABC中，如果∠A=∠B=∠C，求∠A，∠B，∠C分別等于多少度．18．如圖所示，B處在A處的南偏西45°方向，C處在A處的南偏東15°方向，C處在B處的北偏東80°方向，求∠ACB．19．如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=66°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，求∠DAE的度數(shù)．20．如圖，已知AB∥DE，點(diǎn)C是BE上的一點(diǎn)，∠A=∠BCA，∠D=∠DCE．求證：AC⊥CD．21．如圖所示，有一塊直角三角板XYZ放置在△ABC中，三角板的兩條直角邊XY和XZ恰好分別經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C．（1）若∠A=30°，則∠ABX+∠ACX的大小是多少？（2）若改變?nèi)前宓奈恢?，但仍使點(diǎn)B，點(diǎn)C在三角板的邊XY和邊XZ上，此時(shí)∠ABX+∠ACX的大小有變化嗎？請說明你的理由．

《三角形內(nèi)角和定理》參考答案與試題解析一、選擇題1．若一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為2：7：4，那么這個(gè)三角形是（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可分別求得每個(gè)角的度數(shù)，從而根據(jù)最大角的度數(shù)確定其形狀．【解答】解：依題意，設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為：2x，7x，4x，∴2x+7x+4x=180°，∴7x≈97°，∴這個(gè)三角形是鈍角三角形．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對三角形內(nèi)角和定理及三角形形狀的判斷的綜合運(yùn)用．2．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角∠A、∠B、∠C滿足關(guān)系式∠B+∠C=∠A，則此三角形（）A．一定有一個(gè)內(nèi)角為45° B．一定有一個(gè)內(nèi)角為60°C．一定是直角三角形 D．一定是鈍角三角形【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理．【分析】由三角形內(nèi)角和定理和已知條件得出∠A=90°，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B+∠C=∠A，∴2∠A=180°，∴∠A=90°，即△ABC一定是直角三角形；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的判定方法；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．3．在△ABC中，∠A﹣∠B=35°，∠C=55°，則∠B等于（）A．50° B．55° C．45° D．40°【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理．【專題】探究型．【分析】先根據(jù)∠C=55°，求出∠A+∠B的度數(shù)，再根據(jù)∠A﹣∠B=35°求出∠B的度數(shù)即可．【解答】解：∵△ABC中，∠C=55°，∴∠A+∠B=180°﹣∠C=180°﹣55°=125°①，∵∠A﹣∠B=35°②，∴①﹣②得，2∠B=90°，解得∠B=45°．故選C．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，即三角形內(nèi)角和是180°．4．如圖，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，則∠ADE的大小是（）A．45° B．54° C．40° D．50°【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ADE=∠BAD．【解答】解：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟記性質(zhì)與概念是解題的關(guān)鍵．5．如圖，△ABC中，∠C=70°，若沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2=（）A．360° B．250° C．180° D．140°【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；多邊形內(nèi)角與外角．【分析】先利用三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．故選B．【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．6．關(guān)于三角形內(nèi)角的敘述錯(cuò)誤的是（）A．三角形三個(gè)內(nèi)角的和是180°B．三角形兩個(gè)內(nèi)角的和一定大于60°C．三角形中至少有一個(gè)角不小于60°D．一個(gè)三角形中最大的角所對的邊最長【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和進(jìn)行解答即可．【解答】解：A、三角形三個(gè)內(nèi)角的和是180°，此選項(xiàng)正確；B、三角形兩個(gè)內(nèi)角的和不一定大于60°，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、三角形中至少有一個(gè)角不小于60°，此選項(xiàng)正確；D、一個(gè)三角形中最大的角所對的邊最長，此選項(xiàng)正確；故選B．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)角和，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．7．如圖，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，則∠BOC等于（）A．95° B．120° C．135° D．無法確定【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理．【專題】探究型．【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OBC+∠OCB的度數(shù)，再根據(jù)∠BOC+（∠OBC+∠OCB）=180°即可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，∴∠OBC+∠OCB=180°﹣∠A﹣∠1﹣∠2=180°﹣80°﹣15°﹣40°=45°，∵∠BOC+（∠OBC+∠OCB）=180°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣45°=135°．故選C．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，即三角形內(nèi)角和是180°．二、填空題8．三角形中，最大角等于最小角的2倍，最大角又比另一個(gè)角大20°，則此三角形的最小角等于40°．【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理．【分析】根據(jù)題意，可設(shè)最小角度數(shù)為x，則最大角為2x，另一角為2x﹣20°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，列方程解答．【解答】解：設(shè)最小角度數(shù)為x，則最大角為2x，另一角為2x﹣20°，列方程得，x+2x+2x﹣20°=180°，解得x=40°．答：這個(gè)三角形的最小角度數(shù)為40°．故答案為：40°．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和180°，解答體現(xiàn)了方程思想．9．如圖所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，則∠B=∠DAC，∠C=∠BAD．【考點(diǎn)】直角三角形的性質(zhì)．【分析】先根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出∠B+∠C=90°，再由三角形的高的定義得出∠ADB=∠ADC=90°，那么根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出∠DAC+∠C=90°，∠B+∠BAD=90°，然后根據(jù)同角的余角相等即可得到∠B=∠DAC，∠C=∠BAD．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∵AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∠B+∠BAD=90°，∴∠B=∠DAC，∠C=∠BAD．故答案為DAC，BAD．【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，三角形的高，掌握直角三角形中，兩個(gè)銳角互余是解題的關(guān)鍵．10．一副三角板疊在一起如圖放置，最小銳角的頂點(diǎn)D恰好放在等腰直角三角板的斜邊AB上，BC與DE交于點(diǎn)M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD為85度．【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理．【專題】壓軸題．【分析】先根據(jù)∠ADF=100°求出∠MDB的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠BMD的度數(shù)即可．【解答】解：∵∠ADF=100°，∠EDF=30°，∴∠MDB=180°﹣∠ADF﹣∠EDF=180°﹣100°﹣30°=50°，∴∠BMD=180°﹣∠B﹣∠MDB=180°﹣45°﹣50°=85°．故答案為：85．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，即三角形內(nèi)角和是180°．11．如圖，∠α=17°．【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；對頂角、鄰補(bǔ)角．【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出關(guān)于α的方程，求出α的值即可．【解答】解：∵三角形內(nèi)角和是180°，∴40°+32°=55°+α，解得α=17°．故答案為：17°．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．12．如圖，直線a∥b，則∠A=20°，若作BH⊥AC于H，則∠ABH=70°．【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【分析】由平行線的性質(zhì)得出同位角相等∠BCH=60°，由三角形的外角性質(zhì)即可得出∠A的度數(shù)；由角的互余關(guān)系求出∠ABH的度數(shù)即可．【解答】解：∵a∥b，∴∠BCH=60°，∵∠BCH=∠A+∠ABC，∴∠A=60°﹣40°=20°；∵BH⊥AC，∴∠BHA=90°，∴∠ABH=90°﹣∠A=90°﹣20°=70°；故答案為：20°，70°．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角的互余關(guān)系；熟練掌握平行線的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．13．計(jì)算∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度數(shù)為360°．【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理．【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠8=∠1+∠2，∠7=∠3+∠4，∠9=∠6+∠5，根據(jù)三角形外角和定理得出∠8+∠7+∠9=360°，即可求出答案．【解答】解：由三角形外角性質(zhì)得：∠8=∠1+∠2，∠7=∠3+∠4，∠9=∠6+∠5，∴∠8+∠7+∠9=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，∵△ABC的外角和等于360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠7+∠8+∠9=360°，故答案為：360°．【點(diǎn)評】本題考查了三角形外角和定理，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，注意：三角形的外角和等于360°．14．如圖所示，在△ABC中，∠B=∠C，F(xiàn)D⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=158°，則∠ACD=68度．【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)．【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解．【解答】解：∵FD⊥BC，∴∠CDF=90°，∵∠AFD=158°，∴∠ACD=∠AFD﹣∠CDF=158°﹣90°=68°．故答案為：68．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵，注意題目中多余條件的干擾．15．直角三角形的兩個(gè)銳角的平分線所交成的角的度數(shù)是45°或135°．【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理．【分析】根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余、角平分線的定義求較小的夾角，由鄰補(bǔ)角定義即可求得較大夾角的度數(shù)．【解答】解：直角三角形的兩個(gè)銳角的平分線所交成的銳角是×90°=45°，則直角三角形的兩個(gè)銳角的平分線所交成的鈍角是180°﹣45°=135°．故答案為：45°或135°．【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，注意兩條直線相交所成的角有兩個(gè)不同度數(shù)的角．16．在△ABC，BC邊不動(dòng)，點(diǎn)A豎直向上運(yùn)動(dòng)，∠A越來越小，∠B、∠C越來越大．若∠A減小α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，則α、β、γ三者之間的等量關(guān)系是α=β+γ．【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理．【專題】探究型．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和是個(gè)定值180度計(jì)算．【解答】解：∵三角內(nèi)角和是個(gè)定值為180度，∴∠A+∠B+∠C=180°∴∠A越來越小，∠B、∠C越來越大時(shí)，∴∠A﹣α+∠B+β+∠C+γ=180°，∴α=β+γ．故答案為：α=β+γ．【點(diǎn)評】主要考查了三角形的內(nèi)角和為180度這個(gè)知識點(diǎn)．三、解答題17．在△ABC中，如果∠A=∠B=∠C，求∠A，∠B，∠C分別等于多少度．【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理．【分析】由三角形內(nèi)角和定理和已知條件得出∠A+2∠A+2∠A=180°，求出∠A=36°，即可得出∠B=∠C=72°．【解答】解：∵∠A=∠B=∠C，∴∠B=∠C=2∠A，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+2∠A+2∠A=180°，解得：∠A=36°，∴∠B=∠C=72°．【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．18．如圖所示，B處在A處的南偏西45°方向，C處在A處的南偏東15°方向，C處在B處的北偏東80°方向，求∠ACB．【考點(diǎn)】方向角．【分析】根據(jù)方向角的定義，即可求得∠DBA，∠DBC，∠EAC的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：∵AE，DB是正南正北方向，∴BD∥AE，∵∠DBA=45°，∴∠BAE=∠DBA=45°，∵∠EAC=15°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°，又∵∠DBC=80°，∴∠ABC=80°﹣45°=35°，∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣60°﹣35°=85°．【點(diǎn)評】本題主要考查了方向角的定義，以及三角形的內(nèi)角和定理，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．19．如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=66°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，求∠DAE的度數(shù)．【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；角平分線的定義．【專題】計(jì)算題．【分析】先在△ABC中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出∠BAC=84°，再根據(jù)角平分線定義得到∠DAC=∠BAC=42°，接著根據(jù)垂直的定義得到∠AEC=90°，則在△AEC中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠EAC=90°﹣∠C=24°，然后利用∠DAE=∠DAC﹣∠EAC進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣66°=84°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠BAC=42°，∵AE⊥BC于E，∴∠AEC=90°，∴∠EAC=90°﹣∠C=90°﹣66°=24°，∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=42°﹣24°=18°．【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．準(zhǔn)確識別圖形，即在哪個(gè)三角形中運(yùn)用內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．20．如圖，已知AB∥DE，點(diǎn)C是BE上的一點(diǎn)，∠A=∠BCA，∠D=∠DCE．求證：AC⊥CD．【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【分析】由平行線的性質(zhì)得出同旁內(nèi)角互補(bǔ)∠B+∠E=180°，由三角形內(nèi)角和定理和已知條件得出∠ACB+∠DCE=90°，得出∠ACD=90°，即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵AB∥DE，∴∠B+∠E=180°，∵∠B+∠A+∠BCA=180°，∠E+∠D