2018版高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法（一）學(xué)案5

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE16學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法(一)［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1。理解數(shù)列及其有關(guān)概念.2。理解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會(huì)用通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任意一項(xiàng)。3.對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)列,會(huì)根據(jù)其前n項(xiàng)寫出它的通項(xiàng)公式．知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列的概念1．?dāng)?shù)列與數(shù)列的項(xiàng)按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．?dāng)?shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號(hào)有關(guān),排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（通常也叫做首項(xiàng)),排在第二位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，……，排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)．2．?dāng)?shù)列的表示方式數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2,…，an，…，簡(jiǎn)記為｛an}．3．?dāng)?shù)列中的項(xiàng)的性質(zhì)：（1）確定性;（2)可重復(fù)性；(3）有序性．思考1數(shù)列的項(xiàng)和它的項(xiàng)數(shù)是否相同?答案數(shù)列的項(xiàng)與它的項(xiàng)數(shù)是不同的概念．?dāng)?shù)列的項(xiàng)是指這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù)，是一個(gè)函數(shù)值，也就是相當(dāng)于f（n），而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在數(shù)列中的位置序號(hào)，它是自變量的值，相當(dāng)于f（n)中的n.思考2數(shù)列1，2，3，4，5，數(shù)列5,3，2,4，1與｛1，2,3,4,5｝有什么區(qū)別？答案數(shù)列1，2，3，4，5和數(shù)列5，3，2，4，1為兩個(gè)不同的數(shù)列，因?yàn)槎叩脑仨樞虿煌?而集合｛1,2，3，4，5｝與這兩個(gè)數(shù)列也不相同，一方面形式上不一致,另一方面，集合中的元素具有無(wú)序性．知識(shí)點(diǎn)二數(shù)列的分類(1）根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以將數(shù)列分為兩類：①有窮數(shù)列——項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列．②無(wú)窮數(shù)列——項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列．（2）根據(jù)數(shù)列的每一項(xiàng)隨序號(hào)變化的情況分類：①遞增數(shù)列—-從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列；②遞減數(shù)列——從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列;③常數(shù)列——各項(xiàng)相等的數(shù)列;④擺動(dòng)數(shù)列——從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．(3）根據(jù)其他原則,還可將數(shù)列分為有(無(wú)）數(shù)列、周期數(shù)列等．思考判斷正誤(1）數(shù)列1，2，3，4，…，2n是無(wú)窮數(shù)列()（2）由所有的自然數(shù)構(gòu)成的數(shù)列均為遞增數(shù)列(）答案（1)×(2）×解析(1）中的數(shù)列是有窮數(shù)列，共有2n個(gè)數(shù)．（2）中“由自然數(shù)構(gòu)成的數(shù)列”是否遞增，取決于這些自然數(shù)排列的順序,未必全是遞增的，如2，1，3,4,5……并不是遞增數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)三數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列｛an｝的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．思考1數(shù)列的通項(xiàng)公式有什么作用？答案（1)可以求得這個(gè)數(shù)列的任一項(xiàng)，即可以根據(jù)通項(xiàng)公式寫出數(shù)列；（2)可以確定這個(gè)數(shù)列是有窮數(shù)列還是無(wú)窮數(shù)列,還可以知道這個(gè)數(shù)列是遞增（減)數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列，還是常數(shù)列；(3）可以判斷一個(gè)數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)．思考2數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an＝－58＋16n－n2，則()A．｛an｝是遞增數(shù)列B．{an｝是遞減數(shù)列C．{an｝先增后減，有最大值D．｛an｝先減后增，有最小值答案C解析易于看出an是關(guān)于n的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為n＝8，故｛an}先增后減，有最大值．題型一數(shù)列的概念與分類例1（1)下列四個(gè)數(shù)列中，既是無(wú)窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是(）A．1，eq\f（1，2），eq\f(1,3）,eq\f(1,4)，…B．sineq\f(π，7），sineq\f（2π，7）,sineq\f（3π，7），…C．－1，－eq\f(1，2），－eq\f（1，4)，－eq\f(1，8），…D．1，eq\r（2)，eq\r(3),…，eq\r（21)(2）設(shè)函數(shù)f（x)＝eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1((3－a）x－3，x≤7，，ax－6，x>7，）)數(shù)列{an}滿足an＝f（n),n∈N＊，且數(shù)列{an｝是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．(eq\f(9,4)，3）B．［eq\f(9，4）,3）C．(1，3）D．（2，3）答案(1）C（2)D解析(1)中，A是遞減數(shù)列,B是擺動(dòng)數(shù)列,D是有窮數(shù)列,故選C.(2)中，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，要證{an}遞增，則應(yīng)有eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(3－a〉0，，a〉1，,a7＝（3－a）×7－3〈a8＝a8－6，））解得2〈a〈3，選D.反思與感悟（1）有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列：判斷給出的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無(wú)窮數(shù)列,只需觀察數(shù)列是有限項(xiàng)還是無(wú)限項(xiàng)．若數(shù)列含有限項(xiàng)，則是有窮數(shù)列,否則為無(wú)窮數(shù)列．(2）數(shù)列的單調(diào)性：若滿足an<an＋1,則是遞增數(shù)列；若滿足an〉an＋1，則是遞減數(shù)列;若滿足an＝an＋1，則是常數(shù)列；若an與an＋1的大小不確定時(shí)，則是擺動(dòng)數(shù)列．跟蹤訓(xùn)練1已知下列數(shù)列:(1)2000,2004，2008，2012；(2)0，eq\f（1,2),eq\f（2,3），…,eq\f（n－1，n)，…；(3)1，eq\f（1,2)，eq\f(1,4)，…，eq\f（1，2n－1），…；(4)1,－eq\f（2,3），eq\f（3,5），…，eq\f（（－1）n－1·n，2n－1）,…;(5)1，0，－1，…，sineq\f（nπ，2），…；(6）3，3，3,3，3，3.其中有窮數(shù)列是________，無(wú)窮數(shù)列是________，遞增數(shù)列是________，遞減數(shù)列是________，常數(shù)列是______，擺動(dòng)數(shù)列是________．(將正確答案的序號(hào)填在橫線上)答案（1)(6)（2)（3）(4)(5)(1)（2)(3）(6)(4)（5)題型二觀察法寫數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式例2根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．（1)eq\f(2，3），eq\f（4,15），eq\f(6,35），eq\f(8，63），…;（2）eq\f(1，2），2,eq\f(9,2）,8，eq\f（25,2),…；(3)－1，2,－3，4,…；(4）2，22，222，2222，….解（1）分子均為偶數(shù)，分母分別為1×3，3×5，5×7，7×9，…是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積．故an＝eq\f（2n,（2n－1)（2n＋1))。(2)將分母統(tǒng)一成2，則數(shù)列變?yōu)閑q\f(1，2)，eq\f(4,2）,eq\f（9，2),eq\f(16，2），eq\f(25，2)，…,其各項(xiàng)的分子為n2,∴an＝eq\f(n2，2).（3）該數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值與序號(hào)相同，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故an＝(－1)n·n。(4）由9，99，999，9999，…的通項(xiàng)公式可知,所求通項(xiàng)公式為an＝eq\f（2,9）(10n－1)．反思與感悟(1）用觀察歸納法寫出一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維規(guī)律，具體可參考以下幾個(gè)思路:①先統(tǒng)一項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，如都化成分?jǐn)?shù)、根式等．②分析這一結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規(guī)律與對(duì)應(yīng)序號(hào)間的關(guān)系式．③對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況,可先觀察其絕對(duì)值，再以(－1)k或(－1）k＋1處理符號(hào)．④對(duì)于周期數(shù)列可以考慮拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列之和的形式或利用周期函數(shù)來(lái)解決．(2)熟記一些基本數(shù)列的通項(xiàng)公式，如:①數(shù)列－1，1，－1，1，…的通項(xiàng)公式是an＝(－1)n。②數(shù)列1，2,3，4，…的通項(xiàng)公式是an＝n.③數(shù)列1,3，5，7,…的通項(xiàng)公式是an＝2n－1。④數(shù)列2,4，6，8，…的通項(xiàng)公式是an＝2n。⑤數(shù)列1，2,4，8，…的通項(xiàng)公式是an＝2n－1.⑥數(shù)列1，4，9,16，…的通項(xiàng)公式是an＝n2。跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．（1)1,3,7，15，31，…；(2）4，44，444,4444，…；(3）－1eq\f（1,4），3eq\f(2，9)，－5eq\f（3，16），7eq\f（4,25），－9eq\f(5,36)，…；(4）2，－eq\f(4，5）,eq\f（1,2）,－eq\f(4，11）,eq\f(2，7)，－eq\f(4，17），…；（5）1，2，1，2,1，2,…。解答案不唯一．（1)觀察發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)分別加上1后，數(shù)列變?yōu)?,4，8，16，32，…，新數(shù)列的通項(xiàng)為2n,故原數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝2n－1.（2)各項(xiàng)乘eq\f(9,4)，變?yōu)?，99，999，…，各項(xiàng)加上1后,數(shù)列變?yōu)?0，100，1000，…，新數(shù)列的通項(xiàng)為10n，故原數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(4，9)（10n－1)．（3)所給數(shù)列有這樣幾個(gè)特點(diǎn)：①符號(hào)正、負(fù)相間；②整數(shù)部分構(gòu)成奇數(shù)列；③分母為從2開始的自然數(shù)的平方；④分子依次大1.綜合這些特點(diǎn)寫出表達(dá)式，再化簡(jiǎn)即可．由所給的幾項(xiàng)可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an＝（－1)neq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（（2n－1）＋\f(n，（n＋1)2)）），所以an＝（－1）neq\f(2n3＋3n2＋n－1，（n＋1）2).（4）數(shù)列的符號(hào)規(guī)律是正、負(fù)相間，使各項(xiàng)分子為4,數(shù)列變?yōu)閑q\f（4，2），－eq\f(4，5)，eq\f(4，8），－eq\f（4，11），…，再把各分母分別加上1，數(shù)列又變?yōu)閑q\f(4，3）,－eq\f(4，6),eq\f(4，9）,－eq\f（4，12）,…，所以an＝eq\f（4×(－1）n＋1,3n－1）。(5）an＝eq\f(3，2）＋(－1）neq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,2）)）或者可寫成分段函數(shù)形式：an＝eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（1,n為奇數(shù),n∈N*，，2，n為偶數(shù)，n∈N*.））題型三通項(xiàng)公式的應(yīng)用例3已知數(shù)列{an｝的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1，n(n＋2））（n∈N*），則(1）計(jì)算a3＋a4的值；(2)eq\f(1,120）是不是該數(shù)列中的項(xiàng)？若是,應(yīng)為第幾項(xiàng)？若不是，說明理由．解(1）∵an＝eq\f(1,n(n＋2）)，∴a3＝eq\f(1,3×5）＝eq\f(1,15)，a4＝eq\f（1,4×6）＝eq\f(1,24)，∴a3＋a4＝eq\f（1，15)＋eq\f(1，24）＝eq\f（13，120).（2)若eq\f(1,120）為數(shù)列{an}中的項(xiàng),則eq\f(1,n(n＋2）)＝eq\f（1，120），∴n（n＋2）＝120，∴n2＋2n－120＝0，∴n＝10或n＝－12(舍），即eq\f(1,120)是數(shù)列{an｝的第10項(xiàng)．反思與感悟(1)利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求某項(xiàng)的方法數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)an與它的位置序號(hào)n之間的關(guān)系，只要用序號(hào)代替公式中的n,就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)．(2)判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)的方法先假定它是數(shù)列中的第n項(xiàng),然后列出關(guān)于n的方程．若方程解為正整數(shù)，則是數(shù)列的一項(xiàng)；若方程無(wú)解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項(xiàng)．跟蹤訓(xùn)練3已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－n2＋n＋110。(1)20是不是｛an}中的一項(xiàng)?（2)當(dāng)n取何值時(shí)，an＝0?解（1)令an＝－n2＋n＋110＝20，即n2－n－90＝0，∴(n＋9)（n－10）＝0，∴n＝10或－9(舍）．∴20是數(shù)列{an｝中的一項(xiàng)，且為數(shù)列｛an｝中的第10項(xiàng)．（2)令an＝－n2＋n＋110＝0，即n2－n－110＝0,∴(n－11）(n＋10)＝0，∴n＝11或n＝－10(舍），∴當(dāng)n＝11時(shí)，an＝0。1．下列數(shù)列的關(guān)系是（）（1）1,4,9,16，25；(2）25，16，9，4,1；(3）9,4，1，16，25。A．都是同一個(gè)數(shù)列B．都不相同C．（1),（2)是同一數(shù)列D．（2），(3)是同一數(shù)列答案B解析三個(gè)數(shù)列中的數(shù)字相同，但排列的順序不同，故三個(gè)數(shù)列均不相同．2．下列數(shù)列中，是有窮數(shù)列的是(）(1)1，1,1，1，…；（2）6，5,4，3,…；(3）eq\f(1，10)，eq\f(1,8)，eq\f（1,6)，eq\f(1，4),eq\f（1，2）；（4)2，－2，2,－2。A．（2)，(3)B．（2)，(3)，(4）C．(1），(2）,（3），(4）D．(3)，(4)答案D解析（1)，(2)是無(wú)窮數(shù)列,（3),（4)是有窮數(shù)列．3．?dāng)?shù)列｛an｝滿足an＋1＝an＋1，則數(shù)列｛an｝是（)A．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列答案A解析∵an＋1－an＝1〉0,∴｛an｝為遞增數(shù)列．4．?dāng)?shù)列－1，eq\f(8，5），－eq\f(15,7)，eq\f（24,9），…的一個(gè)通項(xiàng)公式是(）A．a(chǎn)n＝（－1）n·eq\f（n2＋n，2n＋1）B．a(chǎn)n＝(－1）n·eq\f（n2＋3,2n－1）C．a(chǎn)n＝（－1）n·eq\f(（n＋1）2－1,2n－1）D．a(chǎn)n＝(－1）n·eq\f（n（n＋2)，2n＋1)答案D解析數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正，分母是3,5，7，9，可表示為2n＋1，分子可調(diào)整為1×3,2×4,3×5，4×6,…故通項(xiàng)an＝（－1)neq\f(n(n＋2），2n＋1)。5．已知數(shù)列1，eq\r（3），eq\r（5）,eq\r（7），…,eq\r（2n－1)，…，則3eq\r（5）是它的(）A．第28項(xiàng)B．第24項(xiàng)C．第23項(xiàng)D．第22項(xiàng)答案C解析數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝eq\r(2n－1）。令eq\r(2n－1）＝3