2022年高一上數(shù)學：第2課時補集

第2課時補集

學習目標核心素養(yǎng)

1.了解全集的含義及其符號表示.（易混

點）

2.理解給定集合中一個子集的補集的1.通過補集的運算培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng).

含義，并會求給定子集的補集.（重點、2.借助集合思想對實際生活中的對象

難點）進行判斷歸類，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng).

3.會用Venn圖、數(shù)軸進行集合的運

算.（重點）

自主預習司番新翔

N1NHUYUXITAZXIZNHI

「新知酶n

1.全集

（1）定義：如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素,那么就稱這個

集合為全集.

（2）記法：全集通常記作D

思考：全集一定是實數(shù)集R嗎？

提示：全集是一個相對概念，因研究問題的不同而變化，如在實數(shù)范圍內解

不等式，全集為實數(shù)集R,而在整數(shù)范圍內解不等式，則全集為整數(shù)集Z.

2.補集

對于一個集合4由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的

文字語言

集合稱為集合A相對于全集U的補集，記作皿

符號語言[,uA={x\x^U,

圖形語言

1.已知全集U={0,l,2},且[己={2},則A=()

A.{0}B.{1}

C.0D.{0,1}

D[Vt/={0,l,2},[uA=[2},

."={0,1},故選D.]

2.設全集為U,M={0,2,4},[uM={6},則U等于()

A.{0,2,4,6}B.{0,2,4}

C.{6}D.。

A「.'”={0,2,4},[uM={6},

.?.U=MU[uM={0,2,4,6},

故選A.]

3.若集合A={x|x>l},貝比RA=.

{小<1}[VA={x|x>l},

，[RA={尤|尤}.]

合作探究。提素養(yǎng)

HEZUOTANJ1U丁1SUYANG

類型1/補集的運算

【例1】⑴已知全集為U,集合A={1,357},CuA={2,4,6},CuB={1,4,6},

則集合B=；

(2)已知全集U={x[%W5},集合A={x|-3Wx<5},則[必=.

(1){2,3,5,7)(2){小<一3或x=5}[(1)法一(定義法)：因為A={1,3,5,7},

Ct/A={2,4,6},所以U={1,2,345,6,7).

又CuB={l,4,6},

所以B={2,3,5,7}.

法二(Venn圖法)：滿足題意的Venn圖如圖所示.

由圖可知8={2,3,5,7}.

(2)將集合U和集合A分別表示在數(shù)軸上，如圖所示.

由補集的定義可知luA={x|x<—3或x=5}.]

現(xiàn)件方法

2

求集合的補集的方法

(1)定義法：當集合中的元素較少時，可利用定義直接求解.

(2)Venn圖法：借助Venn圖可直觀地求出全集及補集.

(3)數(shù)軸法：當集合中的元素連續(xù)且無限時，可借助數(shù)軸求解，此時需注意

端點問題.

。跟蹤訓練

1.(1)設集合A={x￡N*|xW6},B={2A},則上8等于(

A.{2,4}B.{0,1,3,5}

C.{1,3,5,6}D.{九GN*X6}

(2)已知U={x|x>0},A={x\2Wx<6},則]uA=.

(1)C(2)[x[0<x<2,或x?6}[⑴因為4={X￡N*|XW6}={1,2,3,4,5,6},5

={2,4},所以[AB={1,3,5,6}.故選C.

(2)如圖，分別在數(shù)軸上表示兩集合，則由補集的定義可知，［uA={x|0a<2,

或x26}.］

d型吆集合交'并'補集的綜合運算

【例2】設全集為R,A={尤|3Wx<7},B={x|2<x<10},求CRB,CR(AU8)

及(［RA)C3.

［解］把集合A,8在數(shù)軸上表示如下：

710?

由圖知［RB={X|XW2,或x210},AUB={x［2<x<10},所以［R(4UB)={x|xW2,

或x210}.

因為［RA={4r<3,或x27},

所以(［RA)nB=32<x<3,或7Wx<10}.

?律方法

解決集合交、并、補運算的技巧

(1)如果所給集合是有限集，則先把集合中的元素一一列舉出來，然后結合

3

交集、并集、補集的定義來求解.在解答過程中常常借助于Venn圖來求解.

(2)如果所給集合是無限集，則常借助數(shù)軸，把已知集合及全集分別表示在

數(shù)軸上，然后進行交、并、補集的運算.解答過程中要注意邊界問題.

?跟蹤訓:鼬

2.全集U={x\x<lQ,xWN*},A^U,BJU,（C（/B）AA={1,9},AnB={3},

（CuA）n（CuB）={4,6,7},求集合A,B.

［解］法一（Venn圖法）：根據(jù)題意作出Venn圖如圖所示.

由圖可知4={1,3,9},B={2,3,5,8}.

法二(定義法)：(［/)AA={1,9},(［以)C(［必)={4,6,7},.?.［uB={1,4,6,7,9}.

又U={12,3,4,5,6,7,8,9},

/.B={2,3,5,8).

V(C(/B)nA={l,9},ACB={3},

/.A={1,3,9).

蟠型”與補集有關的參數(shù)值的求解

"呆究問題］

1.若A,8是全集U的子集，且(［uA)n3=0,則集合A,8存在怎樣的關

系？

提示：B^A.

2.若A,8是全集U的子集，且(［uA)UB=U,則集合A,3存在怎樣的關

系？

提示：A18.

【例3】設集合4={小+加20},B={x［—2<x<4},全集U=R,且(CuA)nB

=0,求實數(shù)機的取值范圍.

,,結合數(shù)軸

［思路點撥］法一：|由A求［以|-------->

4

建立建的不等關系

等價轉化

法二：1MA)CB=0|----------三王

［解］法一(直接法)：由A={Hx+"z20}={x|x2—"?},得［uA={x|x<—"?}.

因為5={x［—2<x<4},(［uA)C8=0,

-m-20244

所以一mW—2,即機22,

所以m的取值范圍是{〃巾%>2}.

法二(集合間的關系)：由(［uA)GB=0可知8三A,

又3={x|—2vx<4},A={x\x+m^0}={x\x^—m},

結合數(shù)軸：

----------(1_i=1——.

-m-244

得一mW：—2,即“22.

［母題探究］

1.(變條件)將本例中條件"(CuA)n8=0”改為，其他條件

不變，則機的取值范圍又是什么？

［解］由已知得A={x|x2一m},所以［必={小<一6},又(CuA)CB=B,所

以一，〃24,解得mW—4.

2.(變條件)將本例中條件"(［M)nB=。"改為“(［uB)UA=R"，其他條

件不變，則，”的取值范圍又是什么？

［解］由已知A={4r2一加},

［4={x|xW—2或x24}.

又(CuB)UA=R,

所以一機W—2,解得機三2.

規(guī)律方法

由集合的補集求解參數(shù)的方法

(1)如果所給集合是有限集，由補集求參數(shù)問題時，可利用補集定義并結合

知識求解.

(2)如果所給集合是無限集，與集合交、并、補運算有關的求參數(shù)問題時，

5

一般利用數(shù)軸分析法求解.

G課堂小結C

1.求某一集合的補集的前提必須明確全集，同一集合在不同全集下的補集

是不同的.

2.補集作為一種思想方法，為我們研究問題開辟了新思路，在正向思維受

阻時，改用逆向思維，如若直接求A困難，則使用“正難則反”策略，先求［以,

再由［u(［”A)=A求4

當堂達標》國巴基

DAZGTAZCDABIACGUSHUAZGJI

1.思考辨析

(1)全集一定含有任何元素.()

(2)集合[RA=[QA.()

(3)一個集合的補集一定含有元素.()

[答案]⑴X(2)X(3)X

2.U={0,l,2,3,4},集合A={1,2,3},8={2,4},則([以)1^為()

A.{1,2,4}B.{2,3,4}

C.{0,2,3,4}D.{0,2,4}