初中數(shù)學(xué)建模常見類型與舉例

1、初中數(shù)學(xué)建模初探 隨著經(jīng)濟(jì)的飛速開展和計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用,數(shù)學(xué)日益成為一種技術(shù),其手段就是計(jì)算和數(shù)學(xué)建模.數(shù)學(xué)建模是解決實(shí)際問題的過程，在這一個(gè)過程中，建立數(shù)學(xué)模型是最關(guān)鍵、最重要的環(huán)節(jié)，也是學(xué)生的困難所在。它需要運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和工具，對(duì)局部現(xiàn)實(shí)世界的信息現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等加以簡(jiǎn)化、抽象、翻譯、歸納，然后利用適宜的數(shù)學(xué)工具描述事物特征的一種數(shù)學(xué)方法。一、 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要使學(xué)生初步學(xué)會(huì)建立數(shù)學(xué)模型的方法，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，應(yīng)著重注意以下幾點(diǎn)：  1、審題        建立數(shù)學(xué)模型，首先要認(rèn)真審題

2、。蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家斯托利亞爾說過，數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)。實(shí)際問題的題目一般都比擬長(zhǎng)，涉及的名詞、概念較多，因此要耐心細(xì)致地讀題，深刻分解實(shí)際問題的背景，明確建模的目的；弄清問題中的主要事項(xiàng)，盡量掌握建模對(duì)象的各種信息；挖掘?qū)嶋H問題的內(nèi)在規(guī)律，明確所求結(jié)論和對(duì)所求結(jié)論的限制條件。 2、簡(jiǎn)化        根據(jù)實(shí)際問題的特征和建模的目的，對(duì)問題進(jìn)行必要簡(jiǎn)化。抓住主要因素，拋棄次要因素，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，用精確的語(yǔ)言作出假設(shè)。 3、抽象      &

3、#160; 將條件與所求問題聯(lián)系起來，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量或適當(dāng)建立坐標(biāo)系，將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子、圖形或表格等形式表達(dá)出來，從而建立數(shù)學(xué)模型。        按上述方法建立起來的數(shù)學(xué)模型，是不是符合實(shí)際，理論上、方法上是否到達(dá)了優(yōu)化，在對(duì)模型求解、分析以后通常還要用實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?。二、初中?shù)學(xué)建模的主要類型  一切數(shù)學(xué)概念、公式、方程式和算法系統(tǒng)等都是數(shù)學(xué)模型，可以說，數(shù)學(xué)建模的思想滲透在中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中。因此，只要我們深入鉆研教材，挖掘教材所蘊(yùn)涵的應(yīng)用數(shù)學(xué)的材料，

4、并從中總結(jié)提煉，就能找到數(shù)學(xué)建模教學(xué)的素材。例如：最大最小問題，包括面體積最大小、用料最省、費(fèi)用最低、效益最好等，可以建立函數(shù)或不等式模型。行程、工程、濃度問題，可以建立方程組、不等式組模型。1、函數(shù)模型當(dāng)涉及到總運(yùn)費(fèi)最少或利潤(rùn)最大等決策性問題時(shí)，可通過建立函數(shù)模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)來解決.2、直角三角形模型當(dāng)涉及測(cè)量高度、測(cè)量距離、航海、攔水壩等應(yīng)用型問題時(shí)，可考慮建立直角三角形的模型，利用直角三角形的知識(shí)使問題獲得解決.3、方程組模型現(xiàn)實(shí)生活中廣泛地存在等量關(guān)系，如利息和稅率、百分比、工程施工、行程問題等，通常都需要建立方程組的模型來解決問題.4、不等式組模型生

5、活中的不等關(guān)系主要表達(dá)在市場(chǎng)營(yíng)銷、生產(chǎn)決策、統(tǒng)籌安排等方面，對(duì)于此類實(shí)際問題可以考慮通過建立不等式組的模型來解決.5、幾何模型生活中諸如邊角余料加工、拱橋計(jì)算、修復(fù)殘破輪片等問題，涉及應(yīng)用一定幾何圖形的性質(zhì)需建立幾何模型，用幾何知識(shí)加以解決. 三、強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用現(xiàn)已成為當(dāng)今各國(guó)課程內(nèi)容改革的共同特點(diǎn)。在美國(guó)，人們提出了“用數(shù)學(xué)效勞于現(xiàn)實(shí)世界的口號(hào)。近年來，我國(guó)對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用給予了高度重視，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中也開始進(jìn)行建模教學(xué)的探索，但所作的努力還不夠。一般說來，運(yùn)用較少的數(shù)學(xué)知識(shí)、與教材內(nèi)容密切相關(guān)的、相對(duì)簡(jiǎn)單的建模活動(dòng)可以在課堂教學(xué)中進(jìn)行，而需要綜合運(yùn)用多種知識(shí)、與教材內(nèi)容聯(lián)系不緊密的、相對(duì)復(fù)雜的建模

6、活動(dòng)應(yīng)在課外活動(dòng)中進(jìn)行。有些建模問題比擬復(fù)雜，可以將其分解、分步解決；或在教師帶著下解決某些環(huán)節(jié)，其具體求解過程可留給學(xué)生課后解決，最后再組織學(xué)生宣講、交流或?qū)懗尚≌撐?，這樣既發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用，又表達(dá)了以學(xué)生為主體的原那么，也培養(yǎng)了學(xué)生的探索精神和數(shù)學(xué)能力。數(shù)學(xué)建模將各種知識(shí)綜合應(yīng)用于解決實(shí)際問題中,是培養(yǎng)和提高同學(xué)們應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析問題,解決問題的能力的必備手段之一.數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)結(jié)合正常的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行切入,把培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)落實(shí)在平時(shí)的教學(xué)過程中,以教材為載體,以改革教學(xué)方法為突破口,通過對(duì)教學(xué)內(nèi)容的處理和再創(chuàng)造到達(dá)在學(xué)中用,在用中學(xué)。 數(shù)學(xué)建模題型舉例1、建立二元一次方程組的模型解

7、決實(shí)際問題。例1、利用兩塊長(zhǎng)方體木塊測(cè)量一張桌子的高度，首先按圖的方式放置。再交換木塊的位置，按圖的方式放置。測(cè)量數(shù)據(jù)。如圖。求桌子的高度。解析：利用二元一次方程組模型，找到兩個(gè)未知量和兩個(gè)相等關(guān)系，特別是圖形中隱含的等量關(guān)系。設(shè)：木塊長(zhǎng)為a、寬為b、桌子的高為x，依題意有： 解得：X=75例2、玲玲家準(zhǔn)備裝修一套新住房，假設(shè)甲、乙兩個(gè)裝飾公司合作，需6周完成，共需裝修費(fèi)5.2萬(wàn)元；假設(shè)甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周才能完成，共需裝修費(fèi)4.8萬(wàn)元。玲玲的爸爸媽媽商量后決定，只選一個(gè)公司單獨(dú)完成。1如果從節(jié)約時(shí)間的角度考慮應(yīng)選哪家公司？2如果從節(jié)約開支的角度考慮呢？說明理由。解

8、析：利用二元一次方程組數(shù)學(xué)模型，節(jié)約時(shí)間久應(yīng)考慮效率、節(jié)約開支就得計(jì)算總費(fèi)用，通過這兩方面的計(jì)算得到?jīng)Q策。2、建立分式方程模型解決實(shí)際問題。例3、小明去離家2.4千米的體育館看球賽，進(jìn)場(chǎng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)門票放在家中，此時(shí)離比賽開始還有45分鐘，于是他立即步行勻速回家取票，在家取票時(shí)用時(shí)2分鐘，取到票后，他馬上騎自行車勻速趕往體育館。小時(shí)騎自行車從價(jià)趕往體育館比從體育館步行回家所用時(shí)間少20分鐘，騎自行車的速度是步行速度的3倍。1小明步行的速度單位：米/分是多少？2小明能否在球賽開始前趕到體育館？解析：1利用數(shù)學(xué)模型“路程=時(shí)間速度列方程 2由上面的模型計(jì)算來去，共用的時(shí)間，再與45分鐘盡心比擬，如果小

9、于45分鐘就可以提前趕到。3、建立一元二次方程模型解決實(shí)際問題。例4、某市某樓盤準(zhǔn)備以5000元/的均價(jià)對(duì)外銷售，由于國(guó)務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后，購(gòu)房者持幣觀望，為了加快資金周轉(zhuǎn)，房地產(chǎn)開發(fā)商對(duì)價(jià)格經(jīng)過兩次下調(diào)后，決定以每平米4050元的均價(jià)開盤銷售。1求平均每次下調(diào)的百分率。2某人準(zhǔn)備以開盤均價(jià)購(gòu)置一套100平米的房子，開發(fā)商還給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇。打9.8折銷售；不打折，送兩年物業(yè)管理費(fèi)，物業(yè)管理費(fèi)是每平米每月1.5元。請(qǐng)問哪種方案更優(yōu)惠？解析：模型“a1xn =b其中a為原來量，x為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)決數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量?！?表示增長(zhǎng)，“-表示下降減少。此題由模型a1+xn

10、=b列方程，分別計(jì)算兩種方程的總花費(fèi)，比擬大小得出結(jié)論。4、建立一元一次不等式組模型解決實(shí)際問題。例5、開學(xué)初，小芳和小亮去學(xué)校商店購(gòu)置學(xué)習(xí)用品，小芳用18元錢買了1支鋼筆和3本筆記本；小亮用了1元錢買了同樣的鋼筆2支和筆記本5本。1求每支鋼筆和每本筆記本的價(jià)格。2校運(yùn)會(huì)后，班主任拿出200元學(xué)校獎(jiǎng)勵(lì)基金給班長(zhǎng)，購(gòu)置上述價(jià)格的鋼筆和筆記本48件，作為獎(jiǎng)品，獎(jiǎng)給校運(yùn)會(huì)中表現(xiàn)突出的同學(xué)，要求筆記本數(shù)不少于鋼筆數(shù)，共有多少種購(gòu)置方案？解析：1利用二元一次方程組模型，由小芳、小亮花費(fèi)錢數(shù)等量關(guān)系列一元一次方程組。2由花銷不多于200元和筆記本數(shù)量不少于鋼筆數(shù)量里餓不等式組，根據(jù)不等式組解得確定購(gòu)置方案

11、。5、建立一次函數(shù)模型求解實(shí)際問題。例6、2010年我國(guó)西南地區(qū)遭受了百年一遇的旱災(zāi)，但在這次旱情中，某市因近年來“森林城市的建設(shè)而受災(zāi)較輕。據(jù)統(tǒng)計(jì)，該市2016年全年植樹5億棵，修養(yǎng)水源3億立方米，假設(shè)該市以后每年年均植樹5億棵，到2015年“森林城市的建設(shè)將全面完成。那時(shí)，樹木可以長(zhǎng)期保持修養(yǎng)水源11億立方米。1從2016年到2015年這七年間，該市一共植樹多少億棵？2假設(shè)把2016年作為第一年，該樹木修養(yǎng)水源的能力y億立方米與第x年成一次函數(shù)，求出該函數(shù)解析式，并求出到第3年即2011年可以修養(yǎng)多少水源？解析：利用一次函數(shù)模型，設(shè)樹木修養(yǎng)水源的能力y億立方米與第x年所成的一次函數(shù)為y=k

12、x+b。再將第一年1，3，第七年7,11代入解析式求解。6、建立二次函數(shù)模型解決幾何問題。例7、小明在一次高爾夫球爭(zhēng)霸賽中，從山下O點(diǎn)打出一球向球洞A點(diǎn)飛去，球的飛行路線為拋物線，如果不考慮空氣阻力，當(dāng)球到達(dá)最大水平高度12米時(shí)，球移動(dòng)的水平距離為9米，山坡OA與水平方向OC的夾角為30°，O、A兩點(diǎn)相距8分米。1求出點(diǎn)A的坐標(biāo)及支線OA的解析式。2求出球的飛行路線所在拋物線的解析式。3判斷小明這一桿能否吧高爾夫球從O點(diǎn)直接打入球洞A點(diǎn)。解析：1解直面三角形，求A點(diǎn)的坐標(biāo)，再求解析式。 2將O點(diǎn)坐標(biāo)直接代入頂點(diǎn)式，求a。 3當(dāng)X=OC=12時(shí)，比擬此時(shí)的y值與a的縱坐標(biāo)得出結(jié)論。例8

13、、某公園有一個(gè)拋物線形狀的觀景拱橋ABC，其橫截面如圖，在圖中建立的直角坐標(biāo)系中，拋物線的解析式為y=-+c,且過頂點(diǎn)C0,5。長(zhǎng)度單位：m1直接寫出C的值。2現(xiàn)因搞慶典活動(dòng)，方案沿拱橋的臺(tái)階外表鋪設(shè)一條寬度為1.5m的地毯，地毯的價(jià)格為20元/。求購(gòu)置地毯需多少元？3在拱橋加固維修時(shí)，搭建的“腳手架為矩形EFGHH、G分別在拋物線的左右側(cè)上，并鋪設(shè)斜面EG，矩形EFGH的周長(zhǎng)為27.5m。求斜面EG的傾斜面GEF的度數(shù)精確到0.1°。解析：1利用二次函數(shù)模型，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，把拱橋與二次函數(shù)模型聯(lián)系起來。 2紅地毯的總長(zhǎng)，就是臺(tái)階的高之和與臺(tái)階平臺(tái)面長(zhǎng)之和。7、運(yùn)用勾股定理模型解決實(shí)際問題。例9、有一塊直角三角形綠地，量得兩直角邊長(zhǎng)分別為6m、8m，現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充局部是以8m為直角邊的直角三角形，求擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長(zhǎng)。解析：1分情況討論。 2利用勾股定理模型把這塊地轉(zhuǎn)化為直角三角形。 AB=AD=10時(shí)，可得CD=CB=6，周長(zhǎng)為32. 當(dāng)AB=AD=10時(shí)，CD=4，AD=4