2018年數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破講義專題四數(shù)列、推理與證明專題四第4講含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第4講推理與證明1.以數(shù)表、數(shù)陣、圖形為背景與數(shù)列、周期性等知識(shí)相結(jié)合考查歸納推理和類比推理，多以小題形式出現(xiàn)．2．直接證明和間接證明的考查主要作為證明和推理數(shù)學(xué)命題的方法，常與函數(shù)、數(shù)列及不等式等綜合命題．熱點(diǎn)一歸納推理1．歸納推理是由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征,推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理．2．歸納推理的思維過程如下：eq\x（實(shí)驗(yàn)、觀察)→eq\x(概括、推廣)→eq\x(猜測一般性結(jié)論)例1(1)(2017·日照市模擬)給出下列等式:eq\r（2)＝2coseq\f(π，4)，eq\r（2＋\r（2))＝2coseq\f（π,8)，eq\r(2＋\r（2＋\r(2)）)＝2coseq\f(π，16),…,請從中歸納出第n(n∈N＊)個(gè)等式：eq\r（2＋\r（2＋…＋\r(2））)＝________。 n個(gè)根號(hào)答案2coseq\f（π，2n＋1）解析因?yàn)橐阎仁降挠疫呄禂?shù)是2，角是等比數(shù)列,公比為eq\f（1,2），角滿足eq\f(π,2n＋1），所以eq\r(2＋…\r(2＋\r(2）))＝2coseq\f(π，2n＋1).(2）(2017屆云南曲靖一中月考)如圖是一個(gè)三角形數(shù)陣：1eq\f（1，3)eq\f（1,5）eq\f（1,7）eq\f（1,9）eq\f(1，11）eq\f（1，13）eq\f（1，15)eq\f（1,17）eq\f（1，19）按照以上排列的規(guī)律，第16行從左到右的第2個(gè)數(shù)為____________．答案eq\f（1,243)解析前15行共有eq\f（1515＋1,2)＝120?所求為a122＝eq\f（1,2×122－1)＝eq\f(1，243)。思維升華歸納遞推思想在解決問題時(shí),從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結(jié)論,然后予以證明，這一數(shù)學(xué)思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用．其思維模式是“觀察—?dú)w納—猜想—證明"，解題的關(guān)鍵在于正確的歸納猜想．跟蹤演練1(1)(2017·貴州省貴陽市第一中學(xué)適應(yīng)性考試）觀察下列不等式：eq\r（1·2)<eq\f（3，2）,eq\r（1·2)＋eq\r(2·3）<4，eq\r（1·2）＋eq\r（2·3)＋eq\r(3·4）〈eq\f（15,2）,eq\r（1·2)＋eq\r(2·3)＋eq\r(3·4)＋eq\r（4·5)〈12，…，照此規(guī)律,第n個(gè)不等式為________________________．答案eq\r（1·2）＋eq\r（2·3)＋eq\r（3·4）＋…＋eq\r（nn＋1)<eq\f(nn＋2,2）解析由歸納推理可得，第n個(gè)不等式為eq\r(1·2)＋eq\r(2·3)＋eq\r（3·4）＋…＋eq\r（nn＋1)<eq\f（nn＋2，2）。（2）用黑白兩種顏色的正方形地磚依照如圖所示的規(guī)律拼成若干個(gè)圖形,則按此規(guī)律,第100個(gè)圖形中有白色地磚________塊；現(xiàn)將一粒豆子隨機(jī)撒在第100個(gè)圖中，則豆子落在白色地磚上的概率是________．答案503eq\f（503,603）解析按拼圖的規(guī)律，第1個(gè)圖有白色地磚(3×3－1）塊，第2個(gè)圖有白色地磚(3×5－2）塊，第3個(gè)圖有白色地磚(3×7－3)塊，…，則第100個(gè)圖中有白色地磚3×201－100＝503(塊）．第100個(gè)圖中黑白地磚共有603塊,則將一粒豆子隨機(jī)撒在第100個(gè)圖中，豆子落在白色地磚上的概率是eq\f（503,603).熱點(diǎn)二類比推理1．類比推理是由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理．2．類比推理的思維過程如下：eq\x（觀察、比較）→eq\x（聯(lián)想、類推)→eq\x(猜測新的結(jié)論）例2(1)已知三角形的角形的面積為S＝eq\f（1,2）(a＋b＋c)r；四面體的四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3,S4，內(nèi)切球的半徑為R。類比三角形的面積可得四面體的體積為（)A．V＝eq\f（1，2)(S1＋S2＋S3＋S4)RB．V＝eq\f（1，3)(S1＋S2＋S3＋S4)RC．V＝eq\f（1，4)(S1＋S2＋S3＋S4）RD．V＝(S1＋S2＋S3＋S4）R答案B解析設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個(gè)面的距離都是R,所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和．類比三角形的面積可得四面體的體積為V＝eq\f（1,3)R(S1＋S2＋S3＋S4)．故選B.（2)若點(diǎn)P0(x0，y0）在橢圓eq\f（x2,a2）＋eq\f（y2，b2)＝1(a〉b>0)外，過點(diǎn)P0作該橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為P1,P2，則切點(diǎn)弦P1P2所在直線的方程為eq\f（x0x，a2)＋eq\f（y0y,b2）＝1。那么對(duì)于雙曲線eq\f（x2,a2）－eq\f(y2,b2)＝1(a〉0，b>0），類似地，可以得到切點(diǎn)弦所在直線的方程為__________________．答案eq\f（x0x，a2）－eq\f(y0y,b2)＝1解析設(shè)P1(x1，y1）,P2(x2，y2）,P0（x0，y0），則過點(diǎn)P1,P2的切線的方程分別為eq\f(x1x，a2）－eq\f(y1y,b2）＝1，eq\f(x2x,a2)－eq\f(y2y,b2)＝1.因?yàn)镻0(x0，y0)在這兩條切線上，所以eq\f(x1x0，a2)－eq\f（y1y0,b2）＝1,eq\f（x2x0，a2)－eq\f（y2y0,b2)＝1，這說明P1(x1，y1)，P2(x2,y2)都在直線eq\f（x0x,a2)－eq\f(y0y，b2)＝1上,故切點(diǎn)弦P1P2所在直線的方程為eq\f(x0x,a2）－eq\f（y0y,b2）＝1.思維升華類比推理是合情推理中的一類重要推理，強(qiáng)調(diào)的是兩類事物之間的相似性，有共同要素是產(chǎn)生類比遷移的客觀因素,類比可以由概念性質(zhì)上的相似性引起，如等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比,也可以由解題方法上的類似引起．當(dāng)然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的類比．跟蹤演練2（1）（2017·哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬)平面上，點(diǎn)A,C為射線PM上的兩點(diǎn),點(diǎn)B，D為射線PN上的兩點(diǎn)，則有eq\f（S△PAB，S△PCD)＝eq\f（PA·PB,PC·PD)；空間中，點(diǎn)A,C為射線PM上的兩點(diǎn)，點(diǎn)B，D為射線PN上的兩點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)為射線PL上的兩點(diǎn)，則有eq\f（VP－ABE，VP－CDF）＝________。答案eq\f(PA·PB·PE,PC·PD·PF)解析由題設(shè)可得eq\f（VP－ABE,VP－CDF)＝eq\f（VE－PAB，VF－PCD）＝eq\f（S△PABPE·sinθ,S△PCDPF·sinθ）＝eq\f（PA·PBsin∠BPA·PE,PC·PDsin∠DPC·PF）＝eq\f(PA·PB·PE,PC·PD·PF）(其中θ是射線PL與平面PAB所成的角)．(2）已知雙曲正弦函數(shù)shx＝eq\f(ex－e－x，2）和雙曲余弦函數(shù)chx＝eq\f（ex＋e－x，2)與我們學(xué)過的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì)，請類比正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的和角或差角公式，寫出雙曲正弦或雙曲余弦函數(shù)的一個(gè)類似的正確結(jié)論______________________________________．答案ch（x－y）＝chxchy－shxshy（答案不唯一)解析chxchy－shxshy＝eq\f(ex＋e－x，2）·eq\f（ey＋e－y，2)－eq\f(ex－e－x，2）·eq\f（ey－e－y，2)＝eq\f(1,4）（ex＋y＋ex－y＋e－x＋y＋e－x－y－ex＋y＋ex－y＋e－x＋y－e－x－y)＝eq\f（1，4)(2ex－y＋2e－(x－y)）＝eq\f（ex－y＋e－x－y,2)＝ch（x－y),同理可得ch（x＋y)＝chxchy＋shxshy，sh(x－y）＝shxchy－chxshy，sh（x＋y)＝shxchy＋chxshy.熱點(diǎn)三直接證明和間接證明直接證明的常用方法有綜合法和分析法，綜合法由因?qū)Ч?，而分析法則是執(zhí)果索因,反證法是反設(shè)結(jié)論導(dǎo)出矛盾的證明方法．例3已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，a1＝1，且點(diǎn)(eq\r（an)，an＋1）(n∈N＊）在函數(shù)y＝x2＋1的圖象上．(1)求數(shù)列{an｝的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列｛bn}滿足b1＝1，，求證：bn·bn＋2<beq\o\al(2，n＋1）。(1）解由已知得an＋1＝an＋1，則an＋1－an＝1,又a1＝1，所以數(shù)列｛an｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．故an＝1＋(n－1)×1＝n.（2）證明由（1）知，an＝n，從而bn＋1－bn＝2n。bn＝（bn－bn－1)＋…＋（b2－b1)＋b1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝eq\f（1－2n，1－2)＝2n－1(n≥2)．又b1＝1＝21－1，所以bn＝2n－1（n∈N*)．因?yàn)閎n·bn＋2－beq\o\al（2,n＋1）＝（2n－1)（2n＋2－1)－（2n＋1－1)2＝(22n＋2－2n＋2－2n＋1）－（22n＋2－2·2n＋1＋1)＝－2n<0,所以bn·bn＋2<beq\o\al（2,n＋1）。思維升華（1）有關(guān)否定性結(jié)論的證明常用反證法或舉出一個(gè)結(jié)論不成立的例子即可．（2)綜合法和分析法是直接證明常用的兩種方法,我們常用分析法尋找解決問題的突破口，然后用綜合法寫出證明過程，有時(shí)候分析法和綜合法交替使用．跟蹤演練3(1）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B,C的對(duì)邊分別為a，b，c.求證：eq\f（1,a＋b)＋eq\f（1,b＋c)＝eq\f（3，a＋b＋c）；（2）已知f(x）＝ax＋eq\f（x－2，x＋1)(a〉1),證明:方程f（x)＝0沒有負(fù)根．證明（1）要證eq\f(1,a＋b)＋eq\f（1，b＋c）＝eq\f(3，a＋b＋c），即證eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f（a＋b＋c，b＋c）＝3,也就是eq\f（c,a＋b）＋eq\f(a，b＋c)＝1，只需證c(b＋c）＋a(a＋b)＝（a＋b)（b＋c），需證c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B，C成等差數(shù)列,故B＝60°,由余弦定理,得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．（2)假設(shè)x0是f（x）＝0的負(fù)根，則x0〈0，且x0≠－1，所以解得eq\f（1,2）<x0〈2，這與x0<0矛盾,故方程f（x)＝0沒有負(fù)根．真題體驗(yàn)1．(2017·全國Ⅱ改編)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對(duì)大家說:我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則可推斷知道自己成績的是____________．答案乙、丁解析由甲說：“我還是不知道我的成績"可推知甲看到乙、丙的成績?yōu)椤?個(gè)優(yōu)秀，1個(gè)良好”．乙看丙的成績,結(jié)合甲的說法，丙為“優(yōu)秀”時(shí)，乙為“良好"；丙為“良好”時(shí),乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成績．丁看甲的成績,結(jié)合甲的說法，甲為“優(yōu)秀”時(shí)，丁為“良好”；甲為“良好"時(shí),丁為“優(yōu)秀"，可得丁可以知道自己的成績．2．(2016·山東）觀察下列等式：eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(sin\f(π，3）））－2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(sin\f（2π,3)））－2＝eq\f（4，3）×1×2;eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（sin\f(π,5））)－2＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(sin\f(2π，5）））－2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(sin\f（3π,5））)－2＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（sin\f（4π,5）））－2＝eq\f（4,3）×2×3；eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(sin\f（π,7)))－2＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（sin\f（2π，7))）－2＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（sin\f（3π，7)))－2＋…＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（sin\f(6π,7）））－2＝eq\f(4，3）×3×4；eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（sin\f（π，9）)）－2＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（sin\f（2π,9)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（sin\f（3π,9))）－2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f（8π，9）)）－2＝eq\f(4,3）×4×5;…照此規(guī)律，eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（sin\f(π，2n＋1））)－2＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（sin\f（2π，2n＋1))）－2＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（sin\f（3π,2n＋1)))－2＋…＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(sin\f(2nπ,2n＋1))）－2＝__________.答案eq\f（4,3)×n×（n＋1）解析觀察等式右邊的規(guī)律：第1個(gè)數(shù)都是eq\f（4,3），第2個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)行數(shù)n，第3個(gè)數(shù)為n＋1。3．（2017·北京)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成,人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：(1)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；（2）女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；（3)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù)．①若教師人數(shù)為4,則女學(xué)生人數(shù)的最大值為________；②該小組人數(shù)的最小值為________．答案612解析（1）若教師人數(shù)為4，則男學(xué)生人數(shù)小于8，最大值為7，女學(xué)生人數(shù)最大時(shí)應(yīng)比男學(xué)生人數(shù)少1人，所以女學(xué)生人數(shù)的最大值為7－1＝6。（2)設(shè)男學(xué)生人數(shù)為x(x∈N＊）,要求該小組人數(shù)的最小值,則女學(xué)生人數(shù)為x－1，教師人數(shù)為x－2。又2（x－2)＞x，解得x＞4,即x＝5，該小組人數(shù)的最小值為5＋4＋3＝12.押題預(yù)測1．將正整數(shù)作如下分組：(1），(2，3）,（4,5,6），（7，8，9，10)，（11，12，13，14,15）,(16，17,18,19，20,21）,(22,23,24，25,26,27，28)，…分別計(jì)算各組包含的正整數(shù)的和如下：S1＝1，S2＝2＋3＝5,S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175，…，試猜測S1＋S3＋S5＋…＋S2015＝________.押題依據(jù)數(shù)表(陣)是高考命題的常見類型，本題以三角形數(shù)表中對(duì)應(yīng)的各組包含的正整數(shù)的和的計(jì)算為依托，圍繞簡單的計(jì)算、歸納猜想等，考查考生歸納猜想能力．答案10084解析由題意知，當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝1＝14；當(dāng)n＝2時(shí)，S1＋S3＝16＝24；當(dāng)n＝3時(shí),S1＋S3＋S5＝81＝34；當(dāng)n＝4時(shí)，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44；……,猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4?！郤1＋S3＋S5＋…＋S2015＝10084。2．已知下列不等式：x＋eq\f（1，x)≥2,x＋eq\f(4，x2）≥3，x＋eq\f（27，x3）≥4，…，其中x〉0，則第n個(gè)不等式為________________．押題依據(jù)根據(jù)n個(gè)等式或不等式歸納猜想一般規(guī)律的式子是近幾年的高考熱點(diǎn)，相對(duì)而言，歸納推理在高考中出現(xiàn)的機(jī)率較大．答案x＋eq\f(nn，xn)≥n＋1解析已知所給不等式的左邊第一個(gè)式子都是x，不同之處在于第二個(gè)式子，當(dāng)n＝1時(shí)，為eq\f(1,x);當(dāng)n＝2時(shí)，為eq\f（4，x2）；當(dāng)n＝3時(shí)，為eq\f(27,x3);……顯然式子中的分子與分母是對(duì)應(yīng)的,分母為xn，分子是nn，所以不等式左邊的式子為x＋eq\f（nn,xn)，顯然不等式右邊的式子為n＋1，所以第n個(gè)不等式為x＋eq\f(nn,xn)≥n＋1.3．設(shè)數(shù)列{an｝是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和,證明：數(shù)列{Sn｝不是等比數(shù)列．押題依據(jù)反證法是一種重要的證明方法，直接證明不易證明時(shí)常采用反證法．證明假設(shè)｛Sn}是等比數(shù)列，則Seq\o\al(2,2）＝S1S3，即aeq\o\al(2,1）(1＋q）2＝a1·a1(1＋q＋q2）．因?yàn)閍1≠0，所以（1＋q）2＝1＋q＋q2，即q＝0，這與q≠0矛盾，故｛Sn｝不是等比數(shù)列．A組專題通關(guān)1．（2017屆遼寧葫蘆島普通高中月考)下面四個(gè)推理，不屬于演繹推理的是(）A．因?yàn)楹瘮?shù)y＝sinx(x∈R)的值域?yàn)閇－1,1］，2x－1∈R，所以y＝sin(2x－1）（x∈R)的值域也為［－1,1]B．昆蟲都是6條腿，竹節(jié)蟲是昆蟲，所以竹節(jié)蟲有6條腿C．在平面中，對(duì)于三條不同的直線a，b，c，若a∥b，b∥c則a∥c，將此結(jié)論放到空間中也是如此D．如果一個(gè)人在墻上寫字的位置與他的視線平行，那么，墻上字跡離地的高度大約是他的身高，兇手在墻上寫字的位置與他的視線平行，福爾摩斯量得墻壁上的字跡距地面六尺多，于是,他得出了兇手身高六尺多的結(jié)論答案C解析C中的推理屬于合情推理中的類比推理，A，B，D中的推理都是演繹推理．2．(2017屆三湘名校教育聯(lián)盟聯(lián)考）下面結(jié)論正確的是(）①一個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)是1,2,3，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝n(n∈N*）；②由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理；③在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適;④“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯(cuò)誤的．A．①② B．②③C．③④ D．②④答案D解析①所給條件無法確定整個(gè)數(shù)列滿足通項(xiàng)公式．例如第四項(xiàng)是否為4，①錯(cuò)誤；②由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì),是合情推理，②正確；③類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的三棱錐作為類比對(duì)象較為合適，③錯(cuò)誤；④所給命題滿足三段論推理,但其結(jié)論卻是錯(cuò)誤的，④正確．故選D.3．設(shè)a，b,c∈(－∞，0），則a＋eq\f(1，b),b＋eq\f（1，c)，c＋eq\f(1，a)（)A．都不大于－2B．都不小于－2C．至少有一個(gè)不大于－2D．至少有一個(gè)不小于－2答案C解析假設(shè)a＋eq\f（1,b），b＋eq\f(1，c），c＋eq\f(1，a)都大于－2，即a＋eq\f（1,b）〉－2，b＋eq\f（1,c)〉－2，c＋eq\f（1,a）〉－2,將三式相加，得a＋eq\f（1,b）＋b＋eq\f(1，c）＋c＋eq\f（1,a）〉－6，又因?yàn)閍＋eq\f（1，a）≤－2，b＋eq\f（1，b）≤－2，c＋eq\f(1，c)≤－2，所以a＋eq\f(1，b)＋b＋eq\f(1，c）＋c＋eq\f（1,a)≤－6，所以假設(shè)不成立，故選C.

4．(2017屆河南省鄭州、平頂山、濮陽市二模）平面內(nèi)凸四邊形有2條對(duì)角線，凸五邊形有5條對(duì)角線,以此類推，凸13邊形的對(duì)角線條數(shù)為(）A．42 B．65C．143 D．169答案B解析由題設(shè)可知當(dāng)n＝4時(shí),對(duì)角線的條數(shù)f（4）＝2＝3－1＝eq\f（4－14－2，2)－1;當(dāng)n＝5時(shí)，對(duì)角線的條數(shù)f(5）＝5＝6－1＝eq\f（5－15－2,2)－1；可以歸納：對(duì)角線的條數(shù)與邊數(shù)的函數(shù)關(guān)系f（n)＝eq\f（n－1n－2,2）－1.當(dāng)n＝13時(shí)，對(duì)角線的條數(shù)f（13）＝eq\f（13－113－2,2)－1＝65，故選B。5．（2017屆江西師范大學(xué)附屬中學(xué)月考）一名法官在審理一起珍寶盜竊案時(shí),四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙說：“我沒有作案,是丙偷的”;丙說：“甲、乙兩人中有一人是小偷"；丁說：“乙說的是事實(shí)”．經(jīng)過調(diào)查核實(shí)，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，且這四人中只有一人是罪犯,由此可判斷罪犯是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁答案B解析∵乙、丁兩人的觀點(diǎn)一致，∴乙、丁兩人的供詞應(yīng)該是同真或同假．若乙、丁兩人說的是真話，則甲、丙兩人說的是假話,由乙說真話推出丙是罪犯的結(jié)論；由甲說假話，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的結(jié)論，矛盾，∴乙、丁兩人說的是假話，而甲、丙兩人說的是真話．由甲、丙的供述內(nèi)容可以斷定乙是罪犯．6．（2017屆湖南長沙長郡中學(xué)模擬)設(shè)函數(shù)f（x)＝eq\f(x,2x＋2）,觀察：f1(x)＝f（x）＝eq\f（x，2x＋2)，f2(x)＝f（f1（x))＝eq\f（x,6x＋4)，f3(x)＝f（f2(x)）＝eq\f(x，14x＋8），f4（x)＝f（f3(x）)＝eq\f(x,30x＋16），…，根據(jù)以上事實(shí)，當(dāng)n∈N*時(shí)，由歸納推理可得fn(1）＝________。答案eq\f(1，3·2n－2）解析通過條件歸納推理可知fn(x)＝eq\f（x，2n＋1－2x＋2n），∴fn(1)＝eq\f（1,2n＋1－2＋2n)＝eq\f（1，3·2n－2).7．(2017·江西省吉安一中、九江一中等八所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)觀察以下三個(gè)不等式:①（12＋22＋32）（32＋42＋52）≥(1×3＋2×4＋3×5）2;②(72＋92＋102）(62＋82＋112)≥(7×6＋9×8＋10×11)2；③（202＋302＋20172）（992＋902＋20162）≥(20×99＋30×90＋2017×2016）2若2x＋y＋z＝－7,x,y,z∈R時(shí)，則(x＋1）2＋（y＋2）2＋(z＋1)2的最小值為________．答案eq\f（2,3)解析[（x＋1）2＋（y＋2）2＋（z＋1）2］（22＋12＋12)≥(2x＋2＋y＋2＋z＋1)2＝4,故(x＋1）2＋(y＋2)2＋（z＋1)2≥eq\f（4，6）＝eq\f（2,3）.8．（2017屆山東省棗莊市第三中學(xué)二調(diào)）對(duì)于大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行以下方式的“分裂"，23＝3＋5,33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，…，仿此,若m3的“分裂數(shù)”中有一個(gè)是39,則m的值為________．答案6解析依據(jù)題設(shè)中所提供的等式很容易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律：53＝21＋23＋25＋27＋29,63＝31＋33＋35＋37＋39＋41,所以m＝6.9．如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，那么對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1,x2，…,xn，都有eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤f

eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（x1＋x2＋…＋xn,n))）。若y＝sinx在區(qū)間（0，π）上是凸函數(shù),那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．答案eq\f(3\r（3)，2）解析由題意知,凸函數(shù)滿足eq\f（fx1＋fx2＋…＋fxn,n）≤f

eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（x1＋x2＋…＋xn,n））)，又y＝sinx在區(qū)間（0，π)上是凸函數(shù)，則sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f（A＋B＋C，3）＝3sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3)，2）.

10．已知a，b,m為非零實(shí)數(shù)，且a2＋b2＋2－m＝0，eq\f（1,a2)＋eq\f(4,b2)＋1－2m＝0。(1）求證：eq\f(1,a2)＋eq\f(4，b2）≥eq\f(9，a2＋b2）；（2）求證:m≥eq\f(7,2）.證明(1）（分析法)要證eq\f（1，a2）＋eq\f(4,b2)≥eq\f（9，a2＋b2）成立，只需證eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(4，b2)))（a2＋b2)≥9,即證1＋4＋eq\f(b2,a2)＋eq\f（4a2，b2)≥9，即證eq\f（b2，a2）＋eq\f（4a2,b2)≥4。根據(jù)基本不等式，有eq\f（b2,a2）＋eq\f（4a2，b2)≥2eq\r(\f(b2,a2）·\f（4a2,b2））＝4成立，當(dāng)且僅當(dāng)b2＝2a2時(shí)“＝”成立．所以原不等式成立．(2）（綜合法)因?yàn)閍2＋b2＝m－2，eq\f（1,a2）＋eq\f（4,b2)＝2m－1，由(1）知(m－2）(2m－1)≥9，即2m2－5m－7≥0,解得m≤－1或m≥eq\f(7,2).又因?yàn)閍2＋b2＝m－2〉0。所以m>2,故m≤－1舍去，所以m≥eq\f(7，2)。B組能力提高11．（2017·北京市海淀區(qū)期末）已知兩個(gè)半徑不等的圓盤疊放在一起(有一軸穿過它們的圓心)，兩圓盤上分別有互相垂直的兩條直徑將其分為四個(gè)區(qū)域，小圓盤上所寫的實(shí)數(shù)分別記為x1,x2，x3，x4，大圓盤上所寫的實(shí)數(shù)分別記為y1，y2,y3，y4，如圖所示．將小圓盤逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)i(i＝1,2，3，4）次,每次轉(zhuǎn)動(dòng)90°，記Ti（i＝1，2,3，4）為轉(zhuǎn)動(dòng)i次后各區(qū)域內(nèi)兩數(shù)乘積之和,例如T1＝x1y2＋x2y3＋x3y4＋x4y1.若x1＋x2＋x3＋x4<0，y1＋y2＋y3＋y4<0，則以下結(jié)論正確的是（)A．T1,T2，T3，T4中至少有一個(gè)為正數(shù)B．T1，T2，T3，T4中至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)C．T1,T2，T3，T4中至多有一個(gè)為正數(shù)D．T1，T2，T3，T4中至多有一個(gè)為負(fù)數(shù)答案A解析根據(jù)題意可知，(x1＋x2＋x3＋x4)（y1＋y2＋y3＋y4）>0,又（x1＋x2＋x3＋x4)(y1＋y2＋y3＋y4)＝T1＋T2＋T3＋T4>0,所以可知T1，T2，T3，T4中至少有一個(gè)為正數(shù)，故選A。12．（2017屆陜西省黃陵中學(xué)月考）有限與無限轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)中一種重要思想方法，如在《九章算式》方田章源田術(shù)（劉徽注)中：“割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣．"說明“割圓術(shù)”是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，再如eq\r(2＋\r(2＋\r(2＋…)））中“…"即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值x，這可以通過方程eq\r（2＋x）＝x確定出來x＝2,類似地可以把循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，把0.eq\o(36,\s\up6(··）)化為分?jǐn)?shù)的結(jié)果為__________．答案eq\f(4，11）解析設(shè)0。eq\o(36，\s\up6(··）)＝x,則x＝0。36＋eq\f(x,100），x＝eq\f(4，11）。13．埃及數(shù)學(xué)中有一個(gè)獨(dú)特現(xiàn)象：除eq\f（2，3)用一個(gè)單獨(dú)的符號(hào)表示以外，其它分?jǐn)?shù)都要寫成若干個(gè)單分?jǐn)?shù)和的形式．例如eq\f（2，5)＝eq\f(1,3）＋eq\f(1，15）,可以這樣理解：假定有兩個(gè)面包，要平均分給5個(gè)人，如果每人eq\f（1，2），不夠，每人eq\f(1,3），余eq\f(1,3），再將這eq\f（1，3)分成5份，每人得eq\f(1，15)，這樣每人分得eq\f(1,3)＋eq\f（1,15).形如eq\f(2，n）(n＝5，7,9，11…）的分?jǐn)?shù)的分解：eq\f（2,5)＝eq\f（1,3)＋eq\f（1，15），eq\f（2,7)＝eq\f（1,4)＋eq\f(1,28），eq\f(2,9）＝eq\f（1,5）＋eq\f(1,45），按此規(guī)律,eq\f(2,11）＝________；eq\f(2,n)＝________(n＝5,7,9,11)．答案eq\f(1，6)＋eq\f（1,66）eq\f（1，\f（n＋1，2)）＋eq\f(1，\f(nn＋1，2））解析eq\f(2，7)＝eq\f（1,4)＋eq\f(1,28),表示兩個(gè)面包分給7個(gè)人，每人eq\f（1，3),不夠，每人eq\f（1,4）,余eq\f（1，4)，再將這eq\f(1,4）分成7份,每人得eq\f(1，28），其中4＝eq\f（7＋1,2)，28＝7×eq\f（7＋1，2)；eq\f(2,9)＝eq\f(1,5）＋eq\f(1,45），表示兩個(gè)面包分給9個(gè)人,每人eq\f（1，4），不夠，每人eq\f(1,5)，余eq\f（1,5)，再將這eq\f（1，5)分成9份,每人得eq\f（1,45)，其中,5＝eq\f(9＋1，2),45＝9×eq\f(9＋1,2).按此規(guī)律，eq\f（2，11)表示兩個(gè)面包分給11個(gè)人，每人eq\f(1，5），不夠,每人eq\f（1，6),余eq\f(1，6)，再將這eq\f（1，6）分成