上海市大團(tuán)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．2019年10月17日是我國第6個(gè)“扶貧日”，某醫(yī)院開展扶貧日“送醫(yī)下鄉(xiāng)”醫(yī)療義診活動(dòng)，現(xiàn)有五名醫(yī)生被分配到四所不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院中，醫(yī)生甲被指定分配到醫(yī)院，醫(yī)生乙只能分配到醫(yī)院或醫(yī)院，醫(yī)生丙不能分配到醫(yī)生甲、乙所在的醫(yī)院，其他兩名醫(yī)生分配到哪所醫(yī)院都可以，若每所醫(yī)院至少分配一名醫(yī)生，則不同的分配方案共有()A．18種 B．20種 C．22種 D．24種2．某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為，若低于60分的人數(shù)是18人，則該班的學(xué)生人數(shù)是（）A．45 B．50 C．55 D．603．已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為，則（）A．3 B． C． D．4．已知函數(shù)，為圖象的對稱中心，若圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn)，滿足，則下列區(qū)間中存在極值點(diǎn)的是（）A． B． C． D．5．一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在雙曲線的右支上，且其中一個(gè)頂點(diǎn)在雙曲線的右頂點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．函數(shù)f(x)＝的圖象大致為()A． B．C． D．7．如圖，棱長為的正方體中，為線段的中點(diǎn)，分別為線段和棱上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．8．函數(shù)（其中，，）的圖象如圖，則此函數(shù)表達(dá)式為（）A． B．C． D．9．tan570°=（）A． B．- C． D．10．年某省將實(shí)行“”的新高考模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語三科必選，物理、歷史二選一，化學(xué)、生物、政治、地理四選二，若甲同學(xué)選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率為A． B． C． D．11．一物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，其曲線如圖所示，則該物體在間的運(yùn)動(dòng)路程為（）m．A．1 B． C． D．212．設(shè)，，分別是中，，所對邊的邊長，則直線與的位置關(guān)系是（）A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個(gè)村子里一共有個(gè)人，其中一個(gè)人是謠言制造者，他編造了一條謠言并告訴了另一個(gè)人，這個(gè)人又把謠言告訴了第三個(gè)人，如此等等．在每一次謠言傳播時(shí)，謠言的接受者都是在其余個(gè)村民中隨機(jī)挑選的，當(dāng)謠言傳播次之后，還沒有回到最初的造謠者的概率是_______．14．若變量x，y滿足：，且滿足，則參數(shù)t的取值范圍為_______.15．如圖所示，點(diǎn)，B均在拋物線上，等腰直角的斜邊為BC，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是________.16．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說“是乙或丙獲獎(jiǎng).”乙說：“甲、丙都未獲獎(jiǎng).”丙說：“我獲獎(jiǎng)了”.丁說：“是乙獲獎(jiǎng).”四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎(jiǎng)的歌手是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，函數(shù)的最小值為1．（1）證明：．（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．18．（12分）已知在中，角，，的對邊分別為，，，的面積為.（1）求證：；（2）若，求的值.19．（12分）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中.若問題中的正整數(shù)存在，求的值；若不存在，說明理由.設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，是等差數(shù)列，__________，，，，是否存在正整數(shù)，使得成立？20．（12分）如圖所示，在四面體中，，平面平面，，且.（1）證明：平面；（2）設(shè)為棱的中點(diǎn)，當(dāng)四面體的體積取得最大值時(shí)，求二面角的余弦值.21．（12分）已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且、、成等比數(shù)列，.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）令，證明：.22．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，為數(shù)列的前項(xiàng)和.求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

分兩類：一類是醫(yī)院A只分配1人，另一類是醫(yī)院A分配2人，分別計(jì)算出兩類的分配種數(shù)，再由加法原理即可得到答案.【詳解】根據(jù)醫(yī)院A的情況分兩類：第一類：若醫(yī)院A只分配1人，則乙必在醫(yī)院B，當(dāng)醫(yī)院B只有1人，則共有種不同分配方案，當(dāng)醫(yī)院B有2人，則共有種不同分配方案，所以當(dāng)醫(yī)院A只分配1人時(shí)，共有種不同分配方案；第二類：若醫(yī)院A分配2人，當(dāng)乙在醫(yī)院A時(shí)，共有種不同分配方案，當(dāng)乙不在A醫(yī)院，在B醫(yī)院時(shí)，共有種不同分配方案，所以當(dāng)醫(yī)院A分配2人時(shí)，共有種不同分配方案；共有20種不同分配方案.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查排列與組合的綜合應(yīng)用，在做此類題時(shí)，要做到分類不重不漏，考查學(xué)生分類討論的思想，是一道中檔題.2、D【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率＝小矩形的高×組距計(jì)算成績低于60分的頻率，再根據(jù)樣本容量求出班級人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，得：低于60分的頻率是（0.005+0.010）×20＝0.30，∴樣本容量（即該班的學(xué)生人數(shù)）是60（人）.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了頻率的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題3、D【解析】

由雙曲線方程可得漸近線方程，根據(jù)傾斜角可得漸近線斜率，由此構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程可知：，漸近線方程為：，一條漸近線的傾斜角為，，解得：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是明確直線傾斜角與斜率的關(guān)系；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略方程表示雙曲線對于的范圍的要求.4、A【解析】

結(jié)合已知可知，可求，進(jìn)而可求，代入，結(jié)合，可求，即可判斷．【詳解】圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn)，滿足，即，，，且，，，，，，當(dāng)時(shí)，為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)，而．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)的簡單應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是性質(zhì)的靈活應(yīng)用．5、D【解析】

因?yàn)殡p曲線分左右支，所以，根據(jù)雙曲線和正三角形的對稱性可知：第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，將其代入雙曲線可解得．【詳解】因?yàn)殡p曲線分左右支，所以，根據(jù)雙曲線和正三角形的對稱性可知：第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，將其代入雙曲線方程得：，即，由得．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．6、D【解析】

根據(jù)函數(shù)為非偶函數(shù)可排除兩個(gè)選項(xiàng)，再根據(jù)特殊值可區(qū)分剩余兩個(gè)選項(xiàng).【詳解】因?yàn)閒(－x)＝≠f(x)知f(x)的圖象不關(guān)于y軸對稱，排除選項(xiàng)B，C.又f(2)＝＝－<0.排除A，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的對稱性及特值法區(qū)分函數(shù)圖象，屬于中檔題.7、D【解析】

取中點(diǎn)，過作面，可得為等腰直角三角形，由，可得，當(dāng)時(shí)，最小，由，故，即可求解.【詳解】取中點(diǎn)，過作面，如圖：則，故，而對固定的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，最?。藭r(shí)由面，可知為等腰直角三角形，，故.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.8、B【解析】

由圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，由周期求出，通過圖象經(jīng)過點(diǎn)，求出，從而得出函數(shù)解析式.【詳解】解：由圖象知，，則，圖中的點(diǎn)應(yīng)對應(yīng)正弦曲線中的點(diǎn)，所以，解得，故函數(shù)表達(dá)式為．故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象及性質(zhì)，三角函數(shù)的解析式等基礎(chǔ)知識；考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

直接利用誘導(dǎo)公式化簡求解即可．【詳解】tan570°=tan（360°+210°）=tan210°=tan（180°+30°）=tan30°=．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

甲同學(xué)所有的選擇方案共有種，甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可，共有種選擇方案，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，可得甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率，故選B．11、C【解析】

由圖像用分段函數(shù)表示，該物體在間的運(yùn)動(dòng)路程可用定積分表示，計(jì)算即得解【詳解】由題中圖像可得，由變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式，可得．所以物體在間的運(yùn)動(dòng)路程是．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的實(shí)際應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.12、C【解析】試題分析：由已知直線的斜率為，直線的斜率為，又由正弦定理得，故，兩直線垂直考點(diǎn)：直線與直線的位置關(guān)系二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用相互獨(dú)立事件概率的乘法公式即可求解.【詳解】第1次傳播，謠言一定不會(huì)回到最初的人；從第2次傳播開始，每1次謠言傳播，第一個(gè)制造謠言的人被選中的概率都是，沒有被選中的概率是．次傳播是相互獨(dú)立的，故為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了相互獨(dú)立事件概率的乘法公式，考查了考生的分析能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)變量x，y滿足：，畫出可行域，由，解得直線過定點(diǎn)，直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與可行域有交點(diǎn)即可，再結(jié)合圖象利用斜率求解.【詳解】由變量x，y滿足：，畫出可行域如圖所示陰影部分，由，整理得，由，解得，所以直線過定點(diǎn)，由，解得，由，解得，要使，則與可行域有交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，滿足條件，當(dāng)時(shí)，直線得斜率應(yīng)該不小于AC，而不大于AB，即或，解得，且，綜上：參數(shù)t的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.15、【解析】

設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線方程、兩條直線垂直的條件以及兩點(diǎn)間的距離公式列方程，解方程求得的坐標(biāo).【詳解】設(shè)，由于在拋物線上，所以.由于三角形是等腰直角三角形，，所以.由得，化為，可得，所以，解得，則.所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程和運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．16、丙【解析】若甲獲獎(jiǎng)，則甲、乙、丙、丁說的都是錯(cuò)的，同理可推知乙、丙、丁獲獎(jiǎng)的情況，可知獲獎(jiǎng)的歌手是丙．考點(diǎn)：反證法在推理中的應(yīng)用.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）2；（2）【解析】分析：（1）將轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，求函數(shù)的最小值（2）分離參數(shù)，利用基本不等式證明即可．詳解：（Ⅰ）證明：，顯然在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，即．（Ⅱ）因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，即實(shí)數(shù)的最大值為．點(diǎn)睛：本題主要考查含兩個(gè)絕對值的函數(shù)的最值和不等式的應(yīng)用，第二問恒成立問題分離參數(shù)，利用基本不等式求解很關(guān)鍵，屬于中檔題．18、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）利用，利用正弦定理，化簡即可證明（2）利用（1），得到當(dāng)時(shí)，，得出，得出，然后可得【詳解】證明：（1）據(jù)題意，得，∴，∴.又∵，∴，∴.解：（2）由（1）求解知，.∴當(dāng)時(shí)，.又，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查正弦與余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題19、見解析【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)及、，可求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，由即可求得的值；根據(jù)等式，變形可得，分別討論?、佗冖壑械囊粋€(gè)，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式代入化簡，檢驗(yàn)是否存在正整數(shù)的值即可.【詳解】∵在等差數(shù)列中，，∴，∴公差，∴，∴，若存在正整數(shù)，使得成立，即成立，設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的公比為的公比為，若選①，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，滿足成立.若選②，∵，∴，∴，∴，∴方程無正整數(shù)解，∴不存在正整數(shù)使得成立.若選③，∵，∴，∴，∴，∴解得或（舍去），∴，∴當(dāng)時(shí)，滿足成立.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，遞推公式的簡單應(yīng)用，補(bǔ)充條件后求參數(shù)的值，屬于中檔題.20、（1）見證明；（2）【解析】

（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而得到，利用勾股定理得到，利用線面垂直的判定定理證得平面；（2）設(shè)，利用椎體的體積公式求得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得時(shí)，四面體的體積取得最大值，之后利用空間向量求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：因?yàn)椋矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以平?（2）解：設(shè)，則，四面體的體積.，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，四面體的體積取得最大值.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，同理可得平面的一個(gè)法向量為，則.由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識點(diǎn)有面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定，椎體的體積，二面角的求法，在解題的過程中，注意巧用導(dǎo)數(shù)求解體積的最大值.21、（1）,（2）證明見解析【解析】

（1）利用首項(xiàng)和公差構(gòu)成方程組，從而求解出的通項(xiàng)公式；由的通項(xiàng)公式求解出的表達(dá)式，根據(jù)以及，求解出的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求解出的前項(xiàng)和，根據(jù)不等關(guān)系證明即可.【詳解】（1）設(shè)首項(xiàng)為，公差為.由題意，得，解得，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，∴，.當(dāng)時(shí)，滿