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文檔簡(jiǎn)介

§5.2化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

一、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二、拉格朗日配方法一、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

對(duì)于二次型,我們討論的主要問(wèn)題是:尋求可逆的線性變換,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.由上可知:

即尋找可逆矩陣

C

使CTAC為對(duì)角陣.此問(wèn)題稱為把對(duì)稱陣

A

合同對(duì)角化.

設(shè)對(duì)稱陣A

的n個(gè)特征值為:

1,2,

,n,

對(duì)角陣

=

diag

(

1,2,

,n),

則總存在正交陣

P

使得P

1AP=,

即PTAP=.

定理

5.2任給二次型f

=

xTAx,總有正交變換

x

=

Py,使f化為標(biāo)準(zhǔn)形:其中1,2,,n是f

的矩陣A的n個(gè)特征值.

推論

任給二次型f

=

xTAx,總有可逆變換x=Cz,使f化為規(guī)范性:其中r是f

的秩.

用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟:1.寫(xiě)出二次型

f的矩陣

A

.

2.求出矩陣A的所有特征值:

1,2,

,n.

3.對(duì)每個(gè)

=i

求出對(duì)應(yīng)方程(AE)x=0的基礎(chǔ)解系,并正交、單位化得:P1,P2,,Pn.4.得正交矩陣:P

=

(P1,P2,,Pn).5.正交變換x

=

Py

將f化為標(biāo)準(zhǔn)形:例1求一個(gè)正交變換

x=Py,將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形.

解f的矩陣為:A的特征值為:對(duì)1=4,對(duì)2=3=

5,正交化得：?jiǎn)挝换茫旱谜痪仃?P

=

(P1,P2,P3)故正交變換將f化為標(biāo)準(zhǔn)形:說(shuō)明:則可逆變換(其中K=PC)將f化為規(guī)范形:例2

二次型經(jīng)正交變換

化為標(biāo)準(zhǔn)形:求a,b

及正交矩陣P.解f的矩陣為:由f的標(biāo)準(zhǔn)形可知A的特征值為:對(duì)1=1,對(duì)2=0,對(duì)3=4,故所求正交陣為

P

=

(P1,P2,P3)二、拉格朗日配方法1.若二次型含有

xi

的平方項(xiàng),則先把含有xi

的乘積項(xiàng)先集中,然后配方,再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行,直到都配成平方項(xiàng)為止.例3用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,并求所用變換矩陣.解可將f化為標(biāo)準(zhǔn)形:所用變換矩陣為2.若二次型中不含有平方項(xiàng),但有aij

0

(ij),則先作可逆變換化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型再按1中方法配方.例4化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,并求所用的變換矩陣.解例4化二次型

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