數(shù)學物理方程課件第十二講

調和方程

建立方程、定解條件格林公式及其應用格林函數(shù)強極值原理、第二邊值問題解的唯一性§1.1方程的導出§1建立方程、定解條件§1.2定解條件和定解問題§1.3變分原理物理背景：用于描述穩(wěn)定或平衡的物理現(xiàn)象。調和方程，又稱拉普拉斯(Laplace)方程，其三維形式為這個方程相應的非齊次方程，稱為泊松(Poisson)方程，即這類方程在力學、物理學問題中經(jīng)常遇到。前面兩章推導的波動方程和熱傳導方程如果去掉了時間導數(shù)項，那么方程就可以轉化為泊松方程或調和方程。流體力學中的速度勢和流函數(shù)都滿足調和方程；靜電場中的電位勢滿足泊松方程。調和方程舉例：靜電場電勢u

確定所要研究的物理量：根據(jù)物理規(guī)律建立微分方程：對方程進行化簡：拉普拉斯方程

泊松方程§1-1方程的導出

下面我們回憶物理學中導出調和方程和泊松方程的實例。歷史上導致調和方程的一個著名實例來自牛頓萬有引力。根據(jù)萬有引力定律，位于(x0，y0，z0)處質量為M的質點對位于(x，y，z)處具有單位質量的質點的引力,其大小等于M/r2，而作用方向沿著這兩點的連線，指向(x0，y0，z0)點，其中r為兩點之間的距離。寫為向量形式，即為F(x,y,z)稱為引力場函數(shù)。顯然引力場函數(shù)是位勢函數(shù)φ(x,y,z)=M/r的梯度：F=gradφ。除了允許相差一個任意常數(shù)外，位勢函數(shù)是任意確定的。

對于以密度ρ(x,y,z)分布在區(qū)域Ω上的質量而言，根據(jù)疊加原理，它所產(chǎn)生的總引力位勢為

通過直接計算可以驗證，φ(x,y,z)在Ω外滿足調和方程Δφ＝0，還可以進一步驗證，若ρ(x,y,z)滿足Holder條件，則φ(x,y,z)在Ω內滿足泊松方程Δφ＝－4πρ。另一個例子是靜電場的電位勢。設空間有一電荷密度為ρ(x,y,z)的靜電場，在此電場內任取一個封閉曲面Σ包圍的區(qū)域G

，由靜電學知，通過Σ向外的電通量等于G中總電量的4π倍，即成立其中,E為電場強度矢量，而n為Σ上的單位外法線向量。利用格林公式并注意到G的任意性，可得divE=4πρ。又由庫侖定律可知，靜電場是有勢的，即存在靜電位勢u=u(x,y,z)

，使E=-gradu。于是得到靜電位勢u滿足以下的泊松方程Δu＝－4πρ。特別地，當某區(qū)域內沒有電荷存在時，此區(qū)域內的靜電位勢滿足調和方程。

與復變函數(shù)中一樣，我們把具有關于空間變量的二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足調和方程的函數(shù)稱為調和函數(shù)。復變函數(shù)中涉及的只是二元函數(shù)。三維Laplace方程:§1.2拉普拉