2023屆上海市高三年級上冊學(xué)期統(tǒng)一模擬數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023屆上海市高三上學(xué)期統(tǒng)一模擬數(shù)學(xué)試題一、填空題1．已知，則____________．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)即可得.【詳解】解：.故答案為：.2．己知集合，，則________；【答案】##（-1，3]【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，可得集合B，根據(jù)并集運算的法則，即可得答案.【詳解】由題意得，所以．故答案為：（-1,3]3．在平面直角坐標系中，角以O(shè)x為始邊，且．把角α的終邊繞端點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)弧度，這時終邊對應(yīng)的角是，則________；【答案】【分析】由已知可得，，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】依題意.因為，所以．故答案為：.4．已知，若，則___．【答案】【分析】先通過求出，再令，，將所得式子相減即可.【詳解】由已知得，解得，令得，令得，兩式相減得，得.故答案為：.5．數(shù)列滿足，且與的等差中項是5，則________；【答案】【分析】根據(jù)定義得到為等比數(shù)列，公比為2，由與的等差中項是5列出方程，求出首項，從而利用等比數(shù)列的求和公式計算出答案.【詳解】，則為等比數(shù)列，公比為2，又，解得：，所以．故答案為：6．己知某產(chǎn)品的總成本C（單位：元）與年產(chǎn)量Q（單位：件）之間的關(guān)系為．設(shè)該產(chǎn)品年產(chǎn)量為Q時的平均成本為（單位：元/件），則的最小值是________；【答案】60【分析】根據(jù)題意可得，根據(jù)基本不等式，即可得答案.【詳解】由題意得，當且僅當，即當時等號成立．所以的最小值是60．故答案為：607．已知是邊長為2的正六邊形內(nèi)的一點，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】畫出圖形，結(jié)合圖形，利用平面向量的數(shù)量積的幾何意義判斷求解即可．【詳解】畫出圖形如圖，，它的幾何意義是的長度與在向量的投影的乘積，由圖可知，在處時，取得最大值，，此時，可得，即最大值為6，在處取得最小值，此時，最小值為，因為是邊長為2的正六邊形內(nèi)的一點，取不到臨界值，所以的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查向量的數(shù)量積的幾何意義及其應(yīng)用，考查了向量在幾何中的應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，是中檔題．8．已知橢圓方程為，雙曲線方程為，若該雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個交點以及橢圓的兩個焦點恰為一個正六邊形的六個頂點，則橢圓的離心率與雙曲線的離心率之和為______．【答案】【分析】利用已知條件求出正六邊形的頂點坐標，代入橢圓方程，求出橢圓的離心率；利用漸近線的夾角求解雙曲線的離心率即可．【詳解】橢圓方程為，雙曲線方程為，若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，可得橢圓的焦點坐標，，正六邊形的一個頂點，，橢圓離心率，同時，雙曲線的漸近線的斜率為，即，可得雙曲線的離心率為．故答案為．【點睛】本題考查橢圓以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力屬于中檔題．9．己知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點為，則________；【答案】2023【分析】根據(jù)條件得到與均關(guān)于對稱，故兩函數(shù)的交點也關(guān)于對稱，對于每一組對稱和，都有，，從而求出答案.【詳解】因為，所以函數(shù)關(guān)于對稱，又的圖像關(guān)于對稱，所以兩函數(shù)的交點也關(guān)于對稱，對于每一組對稱和，都有，．從而．故答案為：2023．10．著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，我們經(jīng)常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也經(jīng)常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象特征，如某體育品牌的LOGO為，可抽象為如圖所示的軸對稱的優(yōu)美曲線，下列函數(shù)中，其圖象大致可“完美”局部表達這條曲線的函數(shù)是________；（填寫你認為正確的序號）①；②③；④；【答案】③【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可排除②④，然后根據(jù)趨近的函數(shù)值可排除①，從而得到結(jié)果.【詳解】由圖像對稱性可知，應(yīng)為偶函數(shù)，對于②，∵，∴為奇函數(shù)，②錯誤；對于④，∵，∴為奇函數(shù)，④錯誤；對于③，，∴為偶函數(shù)，滿足；由圖像可知，當x從正方向無限接近0時，；對于①，當x從正方向無限接近0時，，，，①錯誤．對于③，當x從正方向無限接近0時，，，，滿足；故排除可得③正確故答案為:③.11．如圖，已知，是直角兩邊上的動點，，，，，，則的最大值為___________.【答案】【分析】以點為原點，，所在直線為軸，軸建立平面直角坐標系，設(shè)，利用三角函數(shù)關(guān)系表示，，的坐標，由題干條件分析可知為的中點，為的中點，即可得到，的坐標，進而得到與，整理可得為關(guān)于的函數(shù)，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可求得最大值.【詳解】如圖，以點為原點，，所在直線為軸，軸建立平面直角坐標系，設(shè)，則，，在中，，，所以設(shè)，，，即.由題意可知為的中點，為的中點，所以，，所以，，所以（其中，為銳角），所以的最大值為，此時，即，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：題目中給出垂直關(guān)系，可利用坐標法處理此題，設(shè)，點坐標即可用關(guān)于的三角函數(shù)關(guān)系表示，則將問題整理為關(guān)于的正弦型函數(shù)求最大值問題.12．一個單位方格的四條邊中，若存在三條邊染了三種不同的顏色，則稱該單位方格是“多彩”的．如圖，一個1×3的方格表的表格線共含10條單位長線段，現(xiàn)要對這10條線段染色，每條線段染為紅黃藍三色之一，使得三個單位方格都是多彩的，這樣的染色方式種數(shù)為________（答案用數(shù)值表示）．【答案】5184【分析】固定四邊形一條邊的顏色時，求出一個四邊形的染色方式種數(shù)，進而可以計算3個這樣的四邊形的染色方式種數(shù).【詳解】任選一個四邊形的一條邊，當這條邊的顏色確定時，這個四邊形的染色方法有種，同時每種方法都會確認與其相鄰的四邊形的一條邊的顏色，.故答案為：5184二、單選題13．已知，那么在下列不等式中，不成立的是A． B． C． D．【答案】D【分析】利用作差法可判斷A、B選項的正誤，利用正弦、余弦值的有界性可判斷C、D選項的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】，則，，又、，，.可得：ABC成立，D不成立.故選：D.【點睛】本題考查不等式正誤的判斷，一般利用作差法來進行判斷，同時也要注意正弦、余弦有界性的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.14．如圖，正方體中，M是的中點，則（

）A．直線與直線相交，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線AC異面，直線平面D．直線與直線垂直，直線∥平面【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，以D點為坐標原點，建立空間直角坐標系，用空間向量來研究直線和平面、直線和直線的位置關(guān)系較為簡單，用向量的共線定理證明兩直線是否平行或異面，根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量垂直或平行，得出直線與平面是否平行或垂直，再對選項進行逐一分析判斷即可得出結(jié)論.【詳解】解：因為是正方體，不妨設(shè)棱長為2，以D為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系：則，，，，，，，，又M為的中點，故可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨取，故可得．設(shè)平面的法向量為則，即，不妨取，故可得．對A：因為，，故BM，不相交，故錯誤；對B：，，不存在非零實數(shù)，使得，故MB，不平行，故錯誤；對C：，平面的法向量為，不存在非零實數(shù)，使得，故MB與平面不垂直，故錯誤；對D：，，則，故直線MB與垂直；又，故MB與平面平行，故正確；故選：D．15．如圖所示，已知直線與曲線相切于兩點，函數(shù)，則對函數(shù)描述正確的是（

）A．有極小值點，沒有極大值點 B．有極大值點，沒有極小值點C．至少有兩個極小值點和一個極大值點 D．至少有一個極小值點和兩個極大值點【答案】C【分析】由題設(shè)，令與切點橫坐標為且，由圖存在使，則有三個不同零點，結(jié)合圖象判斷的符號，進而確定單調(diào)性，即可確定答案.【詳解】由題設(shè)，，則，又直線與曲線相切于兩點且橫坐標為且，所以的兩個零點為，由圖知：存在使，綜上，有三個不同零點，由圖：上，上，上，上，所以在上遞減，上遞增，上遞減，上遞增.故至少有兩個極小值點和一個極大值點.故選：C.16．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前n項和，若對任意，且，總有恒成立，則實數(shù)的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)與的關(guān)系式求出的通項公式，再求出，再令求出的前和，求出其最大值即為的最小值【詳解】，當時，

，解得當時，整理得：，又各項均為正數(shù)是以為首項，公差的等差數(shù)列令令的最小值為故選：B三、解答題17．如圖，在三棱錐中，AB是外接圓的直徑，是邊長為2的等邊三角形，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點，，.(1)求證：平面平面ABC；(2)求直線AB與平面AEF所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先利用直徑所對圓周角為直角和勾股定理得到線線垂直，再利用線面垂直和面面垂直的判定定理進行證明；（2）建立空間坐標系，寫出相關(guān)點的坐標，求出直線的方向向量和平面的法向量，再利用線面角的向量法進行求解.【詳解】（1）證明：由題意知，則，所以.又，所以，所以，又，所以平面PAC，又平面ABC，所以平面平面ABC.（2）解：以C為坐標原點，CA，CB在直線分別為x軸，y軸，過C且垂直于平面ABC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以.設(shè)平面AEF的法向量為，則則，取，得.設(shè)直線AB與平面AEF所成的角為，則，所以直線AB與平面AEF所成角的正弦值為.18．已知數(shù)列滿足，．(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)數(shù)列滿足，為數(shù)列的前n項和，若恒成立，求m的取值范圍．【答案】(1)證明見解析；；(2)【分析】（1）由遞推公式得到，即可得到是以為首項，為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式計算可得；（2）依題意可得，令則，利用錯位相減法求出，即可得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，再解一元二次不等式即可；【詳解】（1）解：數(shù)列滿足，，整理得，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，整理得．（2）解：數(shù)列滿足，令，所以數(shù)列的通項公式為，所以①，②，①－②得：，整理得．∴，所以當時，取得最小值為，即，∴，解得，所以19．某溫泉度假村擬以泉眼C為圓心建造一個半徑為12米的圓形溫泉池，如圖所示，M、N是圓C上關(guān)于直徑AB對稱的兩點，以A為圓心，AC為半徑的圓與圓C的弦AM、AN分別交于點D、E，其中四邊形AEBD為溫泉區(qū)，Ⅰ、Ⅱ區(qū)域為池外休息區(qū)，Ⅲ、Ⅳ區(qū)域為池內(nèi)休息區(qū)，設(shè)．(1)當時，求池內(nèi)休息區(qū)的總面積（Ⅲ和Ⅳ兩個部分面積的和)：(2)當池內(nèi)休息區(qū)的總面積最大時，求AM的長．【答案】(1)(2)【分析】(1)計算出的長，利用三角形的面積公式可求得池內(nèi)休息區(qū)的總面積；(2)將用含的代數(shù)式表示出來，可得到池內(nèi)休息區(qū)的總面積關(guān)于的函數(shù)表達式，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值，并求出對應(yīng)的值，由此可得到的長.【詳解】（1）因為為直徑，所以，在中，因為，所以，，所以池內(nèi)休息區(qū)總面積；（2）在中，因為，，所以，，，由，得，則池內(nèi)休息區(qū)總面積，；設(shè)，，因為，又，所以，使得，則當時，在上單調(diào)增，當時，在上單調(diào)遞減，即是極大值，也是最大值，所以，此時．20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓M：(a>b>0)的左頂點為A，過點A的直線與橢圓M交于x軸上方一點B，以AB為邊作矩形ABCD，其中直線CD過原點O.當點B為橢圓M的上頂點時，△AOB的面積為b，且AB=.（1）求橢圓M的標準方程；（2）求矩形ABCD面積S的最大值；（3）矩形ABCD能否為正方形？請說明理由.【答案】（1）；（2）最大值為；（3）存在，理由見解析.【分析】（1）由題可得，解出即可求出橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，表示出點B坐標，進而得出，由的方程為，得出，即可得出矩形面積，求出最大值；（3）若矩形為正方形，則，，根據(jù)零點存在可得出方程有解，即可判斷.【詳解】解：（1）由題意：，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）顯然直線的斜率存在，設(shè)為且，則直線的方程為，即，聯(lián)立得，解得，，所以，直線的方程為，即，所以，所以矩形面積，所以當且僅當時，矩形面積的最大值為.（3）若矩形為正方形，則，即，則，令，因為，又的圖象不間斷，所以有零點，所以存在矩形為正方形.【點睛】本題考查橢圓中四邊形的面積問題，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程，表示出矩形的相鄰兩邊邊長，進而可求出最值.21．已知函數(shù)的極小值為1．(1)求實數(shù)a的值；(2)設(shè)函數(shù)．①證明：當時，，恒成立；②若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)1(2)①證明見解析；②或【分析】（1）求導(dǎo)之后，討論單調(diào)性，再根據(jù)題設(shè)條件列式即可求解（2）①法一：先判定的單調(diào)性，再結(jié)合（1）的結(jié)論放縮即可；法二：直接利用（1）的結(jié)論放縮即可②研究的單調(diào)性，極值的符號，再結(jié)合零點存在性定理的推論即可求解【詳解】（1）的定義域為，．當時，恒成立，在上單調(diào)遞增，無極小值；當時，令，；令，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以的極小值為，即．綜上，．（2）①法一：，．∵，∴，即在上單調(diào)遞減．∴．由（1）知，的最小值為，即（當且僅當時，等號成立）．∴，即．法二：由（