2023年湖南省邵陽市雙清區(qū)高三一診考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.近年來，隨著4G網(wǎng)絡(luò)的普及和智能手機(jī)的更新?lián)Q代，各種方便的?斗相繼出世，其功能也是五花八門.某大學(xué)為

了調(diào)查在校大學(xué)生使用。"P的主要用途，隨機(jī)抽取了56290名大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，各主要用途與對(duì)應(yīng)人數(shù)的結(jié)果統(tǒng)計(jì)如

圖所示，現(xiàn)有如下說法：

①可以估計(jì)使用。川主要聽音樂的大學(xué)生人數(shù)多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學(xué)生人數(shù)；

②可以估計(jì)不足10%的大學(xué)生使用國斗主要玩游戲；

③可以估計(jì)使用app主要找人聊天的大學(xué)生超過總數(shù)的

其中正確的個(gè)數(shù)為（

戰(zhàn)人髀天

I44<o—ITrltK,新聞，賁訊

玩游我

r6?；＜＞—?,圖片

「《咕）-1聽喬樂

）找附近的人

1，珈一］找共同興趣的人

2.費(fèi)馬素?cái)?shù)是法國大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的，形如2"+1（“eN）的素?cái)?shù)（如：2?"+1=3）為費(fèi)馬索數(shù)，在不超過30的正偶

數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù)，則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是（）

2141

A.—B.—C.—D.—

155153

V-2V2

3.設(shè)橢圓E：=+與=1（?！?。＞0）的右頂點(diǎn)為4,右焦點(diǎn)為尸，8、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線8戶交

ab

直線AC于M,且M為4c的中點(diǎn)，則橢圓E的離心率是（）

2111

A.—B.—C.-D.一

3234

4.劉徽是我國魏晉時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家，他在《九章算術(shù)》中對(duì)勾股定理的證明如圖所示.“勾自乘為朱方，股自乘為青

方，令出入相補(bǔ)，各從其類，因就其余不移動(dòng)也.合成弦方之幕，開方除之，即弦也”.已知圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊

長為1,其中“正方形ABCD為朱方，正方形3EFG為青方”，則在五邊形AGF/。內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，此點(diǎn)取自朱方的概

率為（）

5.以下關(guān)于f（x）=sin2x-cos2x的命題，正確的是

A.函數(shù)/（X）在區(qū)間（0,4］上單調(diào)遞增

B.直線x需是函數(shù)y=〃x）圖象的一條對(duì)稱軸

O

C.點(diǎn)（?,o］是函數(shù)y=/（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

D.將函數(shù)y=/（x）圖象向左平移需!個(gè)單位，可得到y(tǒng)=J^sin2x的圖象

O

6.將函數(shù).y=sin（3x+°）的圖象沿x軸向左平移￡個(gè)單位長度后，得到函數(shù)/（x）的圖象，則“展二'是"/⑺是

96

偶函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知復(fù)數(shù)4=6-8i,z2=-\,則五=（）

z?

A.8—6iB.84-6iC.—8+6iD.—8—6i

8.已知定點(diǎn)丹（-4,0）,6（4,0）,N是圓O:d+y2=4上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)6關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為"，線段耳”的

垂直平分線與直線F2M相交于點(diǎn)p,則點(diǎn)p的軌跡是（）

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓

9.已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中三視圖的長、寬、高分別為2,a,b,且2a+6=g（a>0/〉0）,則

此三棱錐外接球表面積的最小值為（）

iEHffi

B?—7tC.4萬D.5乃

4

X>1

10.已知實(shí)數(shù)X,y滿足,則z=f+），2的最大值等于（）

x+2y—6WO

A.2B.272C.4D.8

r224

11.已知雙曲線C：r方>0）的右焦點(diǎn)為尸，過原點(diǎn)。作斜率為一的直線交C的右支于點(diǎn)A,若|。4|=|0*,

a2h23

則雙曲線的離心率為（）

A.百B.75C.2D.73+1

12.若兩個(gè)非零向量入B滿足僅+B）?"6）=0,且,+4=2卜—年則￡與石夾角的余弦值為（）

3,31,1

A.-B.i—C.-D.士一

5522

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，AABC的外接圓半徑為2百，。為BC邊上一點(diǎn)，且8D=2DC=4,N8A￡）=90。，則AABC的面積

為.

14.已知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)q=1,函數(shù)=（2q,+l）cosx在R上有唯一零點(diǎn)，則數(shù)列|｛4｝的前〃項(xiàng)和

S“=?

15.曲線/（x）=（x2+x）歷X在點(diǎn)（1,八1））處的切線方程為.

x>y

16.設(shè)乂y滿足約束條件<3x+yN0,則目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最小值為一.

3光-y<6

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成，圓錐的側(cè)面用

于藝術(shù)裝飾，如圖1.為了便于設(shè)計(jì)，可將該禮品看成是由圓。及其內(nèi)接等腰三角形ABC繞底邊上的高所在直線

7T

A。旋轉(zhuǎn)180。而成，如圖2.已知圓。的半徑為10cm,設(shè)<夕<,，圓錐的側(cè)面積為Sc〃/.

(1)求S關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式；

(2)為了達(dá)到最佳觀賞效果，要求圓錐的側(cè)面積S最大.求S取得最大值時(shí)腰A3的長度.

18.(12分)如圖,設(shè)點(diǎn)8(1,0)為橢圓E:[+與=l(a>A>0)的右焦點(diǎn)，圓C:(尤一4)2+：/=/,過工且斜率為

ab~

網(wǎng)人>0)的直線/交圓C于A,B兩點(diǎn)，交橢圓E于點(diǎn)P,Q兩點(diǎn)，已知當(dāng)％=百時(shí)，AB=2瓜

(1)求橢圓E的方程.

(2)當(dāng)「瑪=與時(shí)，求APQC的面積.

221

19.(12分)已知橢圓C:jr+v==l(a>/7>0)的左頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)分別為￡,工，離心率為一，P是橢圓上

a'b-2

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與左、右頂點(diǎn)重合)，且耳用的周長為6,點(diǎn)尸關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為。，直線AP,Q￡交于點(diǎn)

V

(1)求橢圓方程;

(2)若直線PF?與橢圓交于另一點(diǎn)N,且=4s△傷w,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

20.(12分)如圖，A3CO是正方形，點(diǎn)P在以8。為直徑的半圓弧上(尸不與3,。重合)，E為線段8c的中點(diǎn),

現(xiàn)將正方形A8CO沿8c折起，使得平面ABC0J_平面BCP.

(1)證明：族，平面。CP.

(2)三棱錐。一BPC的體積最大時(shí)，求二面角8—PD—石的余弦值.

21.(12分)如圖，正方形AG/C是某城市的一個(gè)區(qū)域的示意圖，陰影部分為街道，各相鄰的兩紅綠燈之間的距離相等,

A~/處為紅綠燈路口，紅綠燈統(tǒng)一設(shè)置如下：先直行綠燈30秒，再左轉(zhuǎn)綠燈30秒，然后是紅燈1分鐘，右轉(zhuǎn)不受紅

綠燈影響，這樣獨(dú)立的循環(huán)運(yùn)行.小明上學(xué)需沿街道從/處騎行到A處(不考慮4/處的紅綠燈)，出發(fā)時(shí)的兩條路線

(IfF,ITH)等可能選擇，且總是走最近路線.

(1)請(qǐng)問小明上學(xué)的路線有多少種不同可能？

(2)在保證通過紅綠燈路口用時(shí)最短的前提下，小明優(yōu)先直行，求小明騎行途中恰好經(jīng)過E處，且全程不等紅綠燈

的概率；

(3)請(qǐng)你根據(jù)每條可能的路線中等紅綠燈的次數(shù)的均值，為小明設(shè)計(jì)一條最佳的上學(xué)路線，且應(yīng)盡量避開哪條路線？

22.(10分)在數(shù)列｛%｝中，已知q=1,且〃4用=(〃+l)a.+3”(〃+l),n&N*.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

n(n+\\,,]1

(2)設(shè)2=△~-，數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和為北，證明：一＜[＜一.

4%43

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

根據(jù)利用a/N主要聽音樂的人數(shù)和使用。印主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)作大小比較，可判斷①的正誤；計(jì)算使用

W主要玩游戲的大學(xué)生所占的比例，可判斷②的正誤；計(jì)算使用。加主要找人聊天的大學(xué)生所占的比例，可判斷③

的正誤.綜合得出結(jié)論.

【詳解】

使用即P主要聽音樂的人數(shù)為5380,使用即，主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)為4450,所以①正確；

Q130

使用初〃主要玩游戲的人數(shù)為813(),而調(diào)查的總?cè)藬?shù)為5629(),而面?！恪?,故超過10%的大學(xué)生使用〃主

要玩游戲，所以②錯(cuò)誤；

使用在主要找人聊天的大學(xué)生人數(shù)為1654(),因?yàn)槿鹚寓壅_.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查統(tǒng)計(jì)中相關(guān)命題真假的判斷，計(jì)算出相應(yīng)的頻數(shù)與頻率是關(guān)鍵，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.B

【解析】

基本事件總數(shù)〃=15,能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和只有8=3+5,20=3+17,22=5+17,共有3個(gè)，根據(jù)古

典概型求出概率.

【詳解】

在不超過30的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù)，基本事件總數(shù)〃=15

能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的只有8=3+5,20=3+17,22=5+17,共有3個(gè)

31

則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是P=-

本題正確選項(xiàng)：B

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，考查列舉法解決古典概型問題，是基礎(chǔ)題.

3.C

【解析】

\0F\]

連接。M,OM為AA6C的中位線，從而AOEM?AAFB,且—==，進(jìn)而由此能求出橢圓的離心

照22

率.

【詳解】

如圖，連接OM,

22

橢圓E：―-+-^71（。>/?>0）的右頂點(diǎn)為4,右焦點(diǎn)為尸,

a2b2

5、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，不妨設(shè)3在第二象限,

直線Bb交直線AC于M,且M為AC的中點(diǎn)

為AABC的中位線,

W1

???AOFM-M.FB,且照=2’

C1

/.-------=-,

a-c2

c1

解得橢圓E的離心率e=—=：.

a3

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.C

【解析】

首先明確這是一個(gè)幾何概型面積類型，然后求得總事件的面積和所研究事件的面積，代入概率公式求解.

【詳解】

因?yàn)檎叫蜛BC。為朱方，其面積為9,

五邊形AG77Z)的面積為SAHCD+SHGFE+Sgel+SZEF=37,

9

所以此點(diǎn)取自朱方的概率為點(diǎn).

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了幾何概型的概率求法，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.D

【解析】

利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)得到/(%)=0sin(2x-3)，再逐項(xiàng)判斷正誤得到答案.

4

【詳解】

f(x)=sin2x-cos2x=\[2sin(2x-—)

4

I27ri7T7T\

A選項(xiàng)，工￡0,二-=>2%一丁￡(一~函數(shù)先增后減，錯(cuò)誤

(3J4412

B選項(xiàng)，工=1=2%-￡=0不是函數(shù)對(duì)稱軸，錯(cuò)誤

84

C選項(xiàng)，x=fTTn2x-gTT=TCf,不是對(duì)稱中心，錯(cuò)誤

444

D選項(xiàng)，圖象向左平移需二個(gè)單位得到y(tǒng)=J^sin(2(x+工)一工)=0sin2x,正確

884

故答案選D

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱軸，對(duì)稱中心，平移，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中化簡(jiǎn)三

角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

6.A

【解析】

求出函數(shù)y=/(x)的解析式，由函數(shù)>=/(x)為偶函數(shù)得出(P的表達(dá)式，然后利用充分條件和必要條件的定義判斷

即可.

【詳解】

將函數(shù).y=sin(3x+e)的圖象沿x軸向左平移^■個(gè)單位長度，得到的圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式為

/(x)=sin3x+—+(p=sin3x+—+°,

\3)

若函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)，則￡+°=覬+1(kGZ),解得。="+三(2€2),

326

7T

當(dāng)％=0時(shí)，(p=z

6

因此，“e=="是“y=f(%)是偶函數(shù)”的充分不必要條件.

6

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查充分不必要條件的判斷，同時(shí)也考查了利用圖象變換求三角函數(shù)解析式以及利用三角函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，

考查運(yùn)算求解能力與推理能力，屬于中等題.

7.B

【解析】

分析：利用f=_1的恒等式，將分子、分母同時(shí)乘以i,化簡(jiǎn)整理得五=8+6i

Z2

Z]6—8z6i—8i~.

詳解：一=-=—=8+6;,故選B

z2~i—z-

點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)問題是高考數(shù)學(xué)中的?？紗栴}，屬于得分題，主要考查的方面有：復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的

模、共物復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，在運(yùn)算時(shí)注意,=_1符號(hào)的正、負(fù)問題.

8.B

【解析】

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

因?yàn)榫€段耳M的垂直平分線與直線與M相交于點(diǎn)P,如下圖所示：

所以有PF；=PM=Pg一嶼，而QN是中點(diǎn)，連接QV,故MF『2ON=4,

因此P瑪—P耳=4(4(鳥耳)

當(dāng)N在如下圖所示位置時(shí)有，所以有==Pg+M用，而O,N是中點(diǎn)，連接QV,

故MF?=2ON=4,因此尸￡-尸鳥=4（4＜乙片），

綜上所述：有歸￡一戶周=4（4＜鳥耳），所以點(diǎn)P的軌跡是雙曲線.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線的定義，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和推理論證能力，考查了分類討論思想.

9.B

【解析】

根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐，并以該三棱錐構(gòu)造長方體，于是得到三棱錐的外接球即為長方體的外接球，進(jìn)而

得到外接球的半徑，求得外接球的面積后可求出最小值.

【詳解】

由已知條件及三視圖得，此三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)位于長方體ABC。-ABIGA的四個(gè)頂點(diǎn)，即為三棱錐且

長方體A8CD-A耳GA的長、寬、高分別為2,a,。，

...此三棱錐的外接球即為長方體ABC。-AgCQ的外接球,

且球半徑為R=>+〃+廿="+,

22

.??三棱錐外接球表面積為4萬("+

=萬（4+。2+02）=5萬（。-1）2

2

121

.?.當(dāng)且僅當(dāng)。=1,匕=:7時(shí)，三棱錐外接球的表面積取得最小值為二》.

24

故選B.

【點(diǎn)睛】

(1)解決關(guān)于外接球的問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離都等于球的半徑，同時(shí)要作一圓

面起襯托作用.

(2)長方體的外接球的直徑即為長方體的體對(duì)角線，對(duì)于一些比較特殊的三棱錐，在研究其外接球的問題時(shí)可考慮通

過構(gòu)造長方體，通過長方體的外球球來研究三棱錐的外接球的問題.

10.D

【解析】

畫出可行域，計(jì)算出原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離，由此求得二的最大值.

【詳解】

畫出可行域如下圖所示，其中A[l,g),C(2,2),由于|04|

所以原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離為2加.

所以z的最大值為（201=8.

本小題主要考查根據(jù)可行域求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

11.B

【解析】

222

以。為圓心，以|。尸|為半徑的圓的方程為V+y2=c2,聯(lián)立卜2/，可求出點(diǎn)A,則

憶一*1（cc）

b2

V4

=

lj+h27>整理計(jì)算可得離心率.

【詳解】

解：以。為圓心，以|。耳為半徑的圓的方程為l+y2=c2,

a>jc2+b2

%2+y2=2

cX-

聯(lián)立VV,取第一象限的解得,C

序下=1

b2

整理得（9c2-5a2）（c2-5/）=0,

C25c2

則==士＜1（舍去），二=5,

a29a2

.\e=—=\[5.

a

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線離心率的求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題.

12.A

【解析】

設(shè)平面向量3與萬的夾角為6,由已知條件得出口=M，在等式忖+5=2,-萬|兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)

算律可求得cos6的值，即為所求.

【詳解】

設(shè)平面向量a與坂的夾角為8,?.■（￡+孫（力）=片一日=同2第2=0,可得W=

在等式歸+q=2正.兩邊平方得7+2]小廣=啟-8￡出+4廣，化簡(jiǎn)得cos6=|.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用平面向量的模求夾角的余弦值，考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.3百

【解析】

先由正弦定理得到N84C=120,再在三角形A8。、AOC中分別由正弦定理進(jìn)一步得到8=C,最后利用面積公式計(jì)

算即可.

【詳解】

依題意可得BC=6,由正弦定理得.姓八=2R,即sinNBAC=-4==，3,由圖可

sinABAC4V32

知N3AC是鈍角，所以NB4C=120°，ND4C=30，在三角形45。中，AD=BDsinB,

=4sin3,在三角形AOC中，由正弦定理得超1=———即A￡)=4sinC,

sinCsinZDAC

所以，sinB=sinC,故8=C=3(T,AB=2。AD=2,故△ABC的面積為

-ABBCsmB^3y/3.

2

故答案為：373.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理解三角形，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，要靈活運(yùn)用正弦定理公式及三角形面積公式，本題屬于中檔

題.

14.T+'-n-2

【解析】

由函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，可得唯一零點(diǎn)為x=0,代入可得數(shù)列｛%｝的遞推關(guān)系式，再進(jìn)行配湊轉(zhuǎn)換為等比數(shù)列，最

后運(yùn)用分部求和可得答案.

【詳解】

因?yàn)?(x)為偶函數(shù)，/(x)在R上有唯一零點(diǎn)，

所以/(0)=0，,4+1=2。,,+1,二+1=2(。,+1),

???｛為+1｝為首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.所以2"-1,S?=2n+1-?-2.

故答案為：2"+'-n-2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的零點(diǎn),同時(shí)也考查了由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)，考查了數(shù)列的分部求和，屬于中

檔題.

15.2x—y—2,—Q

【解析】

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程.

【詳解】

解：Vy(x)=(x2+x)lnx,

:.f(x)=(2x+l)lnx+(x2+x)~=(2x+l)lnx+x+l,

則/⑴=2,

又/（1）=0,即切點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,

則函數(shù)在點(diǎn)（1,/U））處的切線方程為y=2（x—1）,

即2x—y—2=0,

故答案為：2%-》-2=0.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和切線斜率之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

16.-1

【解析】

x>y

根據(jù)工，）'滿足約束條件卜x+yNO,畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)z=2x+y,轉(zhuǎn)化為y=-2x+z,平移直線），=-2x,

3x-y<6

找到直線y=-2x+z在.丫軸上截距最小時(shí)的點(diǎn)，此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=2x+），取得最小值.

【詳解】

x>y

由X，y滿足約束條件3x+y>0,畫出可行域如圖所示陰影部分：

3x-y<6

將目標(biāo)函數(shù)z=2x+y,轉(zhuǎn)化為y=_2x+z,

平移直線y=-2%，找到直線y=-2x+z在y軸上截距最小時(shí)的點(diǎn)A（l,-3）

此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=2x+y取得最小值，最小值為-1

故答案為：-1

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線性規(guī)劃求最值，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)S=400兀sin%。/。，(0<。(工)(2)側(cè)面積S取得最大值時(shí)，等腰三角形的腰AB的長度為"四cm

23

【解析】

JT

試題分析：(1)由條件，AB=20cos^,BD=20cos6?sine,所以S=400?sin，cos2e,(0<^<—)；(2)

S=400〃sinecos2e=40()Hsine-sin3e)^x=sin8,所以得〃x)=x—丁，通過求導(dǎo)分析，得f(x)在》=岑

時(shí)取得極大值，也是最大值.

試題解析：

(1)設(shè)四交BC于點(diǎn)。，過G作O￡_LAB，垂足為E,

在AAOE中，AE=10cos0,AB=2AE=20cos6,

在AABD中，BD=AB?sin。=20cos夕sin。，

JI

所以S=400^-sin^cos2^,(0<^<—)

(2)要使側(cè)面積最大，由(1)得：

S=4007rsinecos2g=400乃卜inJ-sin'e)

☆x=sin。，所以得了(%)=%-

由/'(%)=1—3/=0得：*=去

當(dāng)o，/時(shí)，r（x）＞。，當(dāng)XG時(shí)，r（x）＜o(jì)

所以『（x）在區(qū)間o,上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減,

所以/（X）在x=g時(shí)取得極大值，也是最大值;

所以當(dāng)sin。=且時(shí)，側(cè)面積S取得最大值,

3

此時(shí)等腰三角形的腰長AB=20cos6=20,1—sii?。=20

答：側(cè)面積S取得最大值時(shí)，等腰三角形的腰A3的長度為型底cm.

3

18.(1)—+^=1(2)—

989

【解析】

（1）先求出圓心C（a,0）到直線/的距離為"=I,L'2'再根據(jù)AB=2遙得到6+出土=/,解之即得a

炳+14

1X'

的值，再根據(jù)c=l求出b的值得到橢圓的方程.（2）先求出2[-1，一|

Q，再求得APQC的面積

1397

【詳解】

⑴因?yàn)橹本€/過點(diǎn)6（1,0）,且斜率％=6.

所以直線/的方程為y=G（x—1）,即島一），一百=0,

|\/36Z--\/31

所以圓心C（a,0）到直線/的距離為d=j的21，

又因?yàn)锳B=2^/6，圓C的半徑為a,

的丫,23（a-l）22

所以|——+d-2=a-,H即n6+1-----L=/,

I2）4

解之得，。=3或。=一9（舍去）.

所以從=a1-c1=8，

所以所示橢圓E的方程為二+乙=1.

98

c1

(2)由(1)得，橢圓的右準(zhǔn)線方程為m:x=9,離心率e=-=—,

a3

10

則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為d="=3=10,

e1

3

22

啟8

所以9一巧,=10,即%=1,把/=-1代入橢圓方程土+匕=1彳潺，外=±§，

98

因?yàn)橹本€/的斜率攵＞(),

所以％=-|,,PIT,-1]

因?yàn)橹本€/經(jīng)過招(1,0)和-1)

4

所以直線/的方程為)，=§(九一1),

y=g(i)，

聯(lián)立方程組(2-2得3%2-4x—7=0,

1981,

7

解得》=-1或%=丁

所以23)，

所以APQC的面積S=4C/V(%-%)=；x2x(震+：]=義＜

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線和圓、橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓的方程的求法,考查三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知

識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.

19.(1)不+了=1；⑵，4)或[2'一4]

【解析】

(1)根據(jù)△2耳月的周長為2a+2c,結(jié)合離心率，求出a，c,即可求出方程；

(2)設(shè)P(m,〃)，貝!|Q(-〃?,-〃)，求出直線AM方程，若OF2斜率不存在，求出M,P,N坐標(biāo)，直接驗(yàn)證是否滿足題

意，若斜率存在，求出其方程，與直線AM方程聯(lián)立，求出點(diǎn)M坐標(biāo)，根據(jù)S&EW=45小4，和P，K，N三點(diǎn)

共線，將點(diǎn)N坐標(biāo)用機(jī)，〃表示，RN坐標(biāo)代入橢圓方程，即可求解.

【詳解】

(1)因?yàn)闄E圓的離心率為:，百心的周長為6,

2a+2c=6,

設(shè)橢圓的焦距為2c,貝!J￡=1,

a2

b2+c2=a2,

解得a-2,c-l>b-V3,

22

所以橢圓方程為±+±=1.

43

22

(2)設(shè)則2L+±=i,且。(一九一〃)，

43

所以AP的方程為、=—^5+2)①.

m+2

若加=一1,則QK的方程為x=l②，由對(duì)稱性不妨令點(diǎn)P在x軸上方，

-L

9M

則P,,聯(lián)立①，②解得BD

-2-

尸工的方程為y=-5(x-l),代入橢圓方程得

a

3X2+-(X-1)2=12,整理得7f一6X—13=0,

4

19

-X-X|I

言竺”--------=7*4,不符合條件.

ix^-x|Af；|

若相。一1,則。工的方程為v=—7—(X-D,

-m-1

即丫=\(1)③.

m+1

x=3m+4,

聯(lián)立①，③可解得.所以"(3m+4,3〃).

y=3〃，

因?yàn)樵O(shè)

2M=4SAAF?W,N(XN,yN)

所以;XIA6|x|%J=4x；x|AEJx|%|，即|y“|=4|y/.

3/2

又因?yàn)镸,N位于x軸異側(cè)，所以

因?yàn)镻,6,N三點(diǎn)共線，即哥應(yīng)與所共線，

------3〃

F2P=(m-1,n),F2N=(xN-1,--)

所以〃(/-1)=一秒(加一1),即

43

所以加|一加2=空，解得根=!，所以〃=±定，

1924

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為［;，苧)或g，—苧

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及應(yīng)用、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論思想和計(jì)算求解能力，屬于較難題.

20.(1)見解析(2)叵

5

【解析】

(D利用面面垂直的性質(zhì)定理證得CD_L平面8PC,由此證得DCLBP,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)證得BP,PC,由此

證得BP±平面DCP.

(2)判斷出三棱錐0-3PC的體積最大時(shí)P點(diǎn)的位置.建立空間直角坐標(biāo)系，通過平面BPO和平面的法向量,

計(jì)算出二面角8—QD—E的余弦值.

【詳解】

(1)證明：因?yàn)槠矫鍭8CD_L平面BPCABCD是正方形，

所以。C_L平面8PC.

因?yàn)锽Pu平面8PC,所以。C_L3P.

因?yàn)辄c(diǎn)P在以BC為直徑的半圓弧上，所以3PLPC.

又DCcPC=C,所以成，平面。CP.

(2)解：顯然，當(dāng)點(diǎn)P位于BC的中點(diǎn)時(shí)，A5CP的面積最大，三棱錐。-3PC的體積也最大.

不妨設(shè)BC=2,記AO中點(diǎn)為G,

以E為原點(diǎn)，分別以麗，而，刀的方向?yàn)閤軸、＞軸、z軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz,

則E(0,0,0),B(1,0,0),D(-1,0,2),P(0,1,0),BD=(-2,0,2),ED=(-1,0,2),PD=(-1,-1,2)

設(shè)平面BDP的法向量為比=(內(nèi)，x,4),

BD-in--2x.+2z,-0,

貝川—11令%=1,得濟(jì)=(1,1,1).

PD?th=-x]-y,+2Z]=0,

設(shè)平面DEP的法向量為萬=(%，%，Z2)，

ED?n=—%,+2z,=0,

貝！J—22令尤，=2,得萬=(2,0,1),

PS-n=-x2-y2+2z2=Q,

2+1_715