(2.1)-第1章引言近世代數(shù)

近世代數(shù)(ContemporaryAbstractAlgebra)2第1章引言

(IntroductiontoGroups)第1章引言一、正方形的對(duì)稱給定一個(gè)正方形，對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊苿?dòng)，如旋轉(zhuǎn)、

反轉(zhuǎn)等，使其能和原來的圖像重合。注意我們只考慮凈效應(yīng)，例如，把這個(gè)正方形旋轉(zhuǎn)90度與旋轉(zhuǎn)450度認(rèn)為是相同的。問題：有多少種可能的移動(dòng)方式？引言為方便，可假設(shè)這個(gè)正方形是透明的，比如是一塊

正方形玻璃。另外，給這塊正方形玻璃的四個(gè)角分別著粉(P)、綠(G)、黑(B)、白(W)四種顏色。

現(xiàn)在我們斷言：上述問題的答案是：任意滿足要求的

移動(dòng)都和下面8個(gè)之一等價(jià)。

引言

旋轉(zhuǎn)(4種)5引言反射(4種)6引言

移動(dòng)后的正方形與原來的重合。移動(dòng)后圖形的位置完全取決于任一特定角的落點(diǎn)

及定向(面朝上或朝下)。顯然，每個(gè)角的最后位置有八種可能。那么為什么沒有其它移動(dòng)方式了？引言

現(xiàn)在我們有兩個(gè)問題：如何從數(shù)學(xué)的角度更好地表述這8種移動(dòng)？連續(xù)施行兩種移動(dòng)是否仍是這8種移動(dòng)之一？

如果是，如何決定是哪一個(gè)呢？引言引言第一個(gè)問題的解答：令S={P,G,B,W}.每個(gè)移動(dòng)可看作集合S到其自身的一個(gè)映射,如

R90:P→W,W→B,G→P,B→G.第二個(gè)問題的解答：兩個(gè)連續(xù)的移動(dòng)可看作兩個(gè)映射的合成。可驗(yàn)證任何兩個(gè)連續(xù)的移動(dòng)一定是前述八種移動(dòng)方式之一,如：

D現(xiàn)在我們有一個(gè)新的發(fā)現(xiàn)：令該集合中任兩個(gè)映射的合成仍屬于這個(gè)集合。為方便，把兩個(gè)映射f,g的合成記作fg.這個(gè)集合連同這個(gè)合成運(yùn)算一起構(gòu)成了一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)，

即8階二面體群。通過8階二面體群來初步認(rèn)識(shí)一下群所具有的性質(zhì)。引言

任兩個(gè)映射的合成見如下表(Cayley表)由英國(guó)數(shù)學(xué)家ArthurCayley于1854引入。引言

D4與映射的合成具有如下性質(zhì)：對(duì)任意的D4中任意元素A,B,C,

(1)AB∈D4

(運(yùn)算封閉)；(2)R0A=AR0=A,(R0為單位元)；(3)存在X∈D4中,使得AX=XA=R0(X稱為A的逆元);(4)(AB)C=A(BC).這四個(gè)性質(zhì)實(shí)際也是任意群所具有的性質(zhì).引言由上述Cayley表可發(fā)現(xiàn)如下事實(shí)本次課到此結(jié)束謝謝！14第1章引言

(IntroductiontoGroups)第1章引言

二、二面體群類似地,可以考慮正n邊形的對(duì)稱,可得2n階二面體群Dn，稱為正n邊形的對(duì)稱群.(包括旋轉(zhuǎn)和反射兩種對(duì)稱)n為偶數(shù)時(shí),一半反射以兩條對(duì)邊中點(diǎn)連線為對(duì)稱軸,另一半反射以對(duì)點(diǎn)連線為對(duì)稱軸.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),所有反射以一個(gè)點(diǎn)及其對(duì)邊中點(diǎn)連線為對(duì)稱軸.

15引言

平面和空間的對(duì)稱平面(空間)的對(duì)稱是指平面(空間)點(diǎn)集上的雙射,使得任何兩點(diǎn)的距離等于它們對(duì)應(yīng)像的距離,也稱為保距變換.

平面對(duì)稱:平移,旋轉(zhuǎn)(點(diǎn)),反射(線)空間對(duì)稱:平移,旋轉(zhuǎn)(線),反射(面)幾何上看,平面對(duì)稱具有如下性質(zhì)：平移:無不動(dòng)點(diǎn)

旋轉(zhuǎn):只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)

反射:有一條不動(dòng)直線

16引言

平面和空間的對(duì)稱

空間繞一條線L旋轉(zhuǎn)180度,限制在包含L的任何一個(gè)平面上是該平面上的反射.

平面的反射可以在空間中移動(dòng)實(shí)現(xiàn),而空間的反射只能在更高維空間中實(shí)現(xiàn).

平面中的對(duì)稱可由不在一條直線的三點(diǎn)及像確定.17引言

平面圖形的對(duì)稱平面中圖形F的對(duì)稱是指平面的對(duì)稱,它把圖形F保持不動(dòng),這些對(duì)稱全體稱為

F的對(duì)稱群.

平面中有界圖形